第6講復數

(教師尊享?命題分析)

課標要求命題點五年考情命題分析預測

2023全國卷乙T1；2023全國卷甲T2；

2022全國卷乙T2；2022全國卷甲T1；

1.通過方程的復數的概2022新高考卷IT2；2022浙江T2；

本講每年必考，主

解，認識復數.念2021全國卷甲T3；2021新高考卷

要考查復數的有關

2.理解復數的IIT1；2020全國卷IT1；2020全國卷

概念和運算，復數

代數表示及其IIIT2；2019全國卷IIT2

的幾何意義，一般

幾何意義，理2023新高考卷IT2；2022全國卷甲

以選擇題的形式出

解兩個復數相T1；2022新高考卷IT2；2022新高考

現，屬于送分題.預

等的含義.復數的運卷IIT2；2021新高考卷IT2；2021新

計2025年高考命題

3.掌握復數代算高考卷HT1；2021全國卷乙T1；2021

穩定，常規備考的

數表示式的四全國卷甲T3；2020新高考卷IIT2；

同時要注意對復數

則運算，了解2019全國卷IIIT2

幾何意義的理解和

復數加、減運2023新高考卷HT1；2021新高考卷

應用.

算的幾何意義.復數的幾IIT1；2020全國卷HT15；2020北京

何意義T2；2019全國卷IT2；2019全國卷

IIT2

?＜敷材鶻］蹣凝葡一.

6學生用書P131

1.復數的有關概念

名稱含義

復數的定形如a+歷(a,6GR)的數叫做復數，其中實部為①a,虛部為②—

義—i為虛數單位且i2=③一1.

。+歷為實數"=0;。+歷為虛數"邦；。+歷為純虛數u⑷a=0且厚0

復數分類

(a,Z?￡R).

=且(a,b,c,d￡R).

復數相等

注意實數能比較大小，虛數不能比較大小.

共物復數a+份與c+di互為共軌復數u⑤a=c且/=一d(〃，b,c,d￡R).

建立平面直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做⑥實軸，y

復平面

軸叫做⑦虛軸.

說明實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，各

象限內的點都表示虛數.

設而對應的復數為z=o+bi,則向量次的模叫做復數z=a+6i的模或絕對

復數的模

值，記作1zI或1a+bi1,即IzI=Ia+b\1=⑧小十爐.

N

2.復數的幾何意義

復數z=a+—?一一對應》復平面內的點Z(a,6)(a,kR)

弋平面向量0Z。。。))

思維拓展

(1)n<IzIS-2表示以原點。為圓心，以為和r2為半徑的兩圓所夾的圓環;

(2)Iz—(a+歷)I—r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.

3.復數的四則運算

(1)復數的運算法則

設zi=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,dGR).

運算法則運算形式

加法zi+z2=(a+歷)+(c+di)=⑨(a+c)+(1+d)i.

減法zi—Z2=(〃+bi)—(c+di)=⑩(a—c)+(b—d)i.

乘法Z1-Z2—(〃+歷)?(c+di)=@)(ac-bd)+(ad+Z7c)i.

Z1_a+bi_(a+bi)(c—di)_ac+bd,be—ad.(,1?\

除法22221

z2c+di(c+di)(c—di)c+dc+d^0,

(2)復數的運算律

對任意的Zl,Z2,Z3eC：

交換律：Z1+Z2=(J^_ZJ上句—.結合律：(Z1+Z2)+Z3=(@Z1+(Z2+

加法運算律

Z3).

交換律：Z1Z2=Z2Z1.結合律：(Z1Z2)Z3=Z1(Z"3).分配律：Z\(Z2+Z3)

乘法運算律

=Z1Z2+Z1Z3.

(3)復數加、減運算的幾何意義：復數的加、減法可以按照向量的加、減法來進行

若復數zi，Z2對應的向量次1，至2不共線，則復數Z1+Z2是以近1，至2為兩鄰邊的平行四

邊形的對角線文所對應的復數；復數Zl—Z2是而i—應2=礪所對應的復數.

:翻顫弋

1.下列說法正確的是(D)

A.復數z=a一歷(a,bGR)中，虛部為6

B.復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小

C.已知z=a+6i(a,bGR),當a=0時，復數z為純虛數

D.復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模

2J2023南京市六校聯考］復數z=五五(i為虛數單位)，則IzI=(D)

A1c岑D岑

3

O212

解析解法一z=^=y)所以⑵=W)+(-7)

155

等，故選D.

1+iI1+iI二=*=逗，故選

解法二IZ|=|D.

l+2i|l+2iI#+22V55

3.[2021新高考卷I]已知z=2—i,則z(5+i)=(C)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

解析因為z=2—i,所以z(z+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i,故選C.

4.［2023合肥市二檢］設i是虛數單位，復數z=二，則在復平面內z所對應的點位于

1—1

(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析因為z=3=2i=_］+’,所以在復平面內z所對應的點為(一1,1),位

1—1(1—1)(1+1)

于第二象限.故選B.

f=瞧誦方畫

。學生用書P132

命題點1復數的概念

例1(1)［全國卷III］復數’的虛部是(D)

解析—=—————=—=-+-i,所以復數的虛部為之.故選D.

l-3i(l+3i)(l—3i)10101010

(2)[2023全國卷甲]設czGR,(a+i)(1-ai)=2,貝1|。=(C)

A.-2B.-l

C.lD.2

解析：(a+i)(1—i?i)=fl+i—a2i—ai2=2a+(1—a2)i=2,2a=2且1—/=o,

解得a=l,故選C.

(3)[2022全國卷甲]若z=l+i,則Iiz+32I=(D)

A.4V5B.4V2

C.2V5D.2V2

解析因為z=l+i,所以iz+3，=i(1+i)+3(IT)=—1+i+3—3i=2—2i,所

以Iiz+3zI=I2-2iI=J22+(-2)故選D.

方法技巧

1.求解與復數有關概念問題的技巧：將復數化為z=a+bi(a,66R)的形式，然后根據復

數的有關概念求解即可.

2.若兩個復數相等，則它們的實部與實部相等，虛部與虛部相等.

3.復數的概念中的常用性質

=±

(1)zr±z2^l^2；Z]%=五?a;(—)=芻(Z2#O).

z2z2

⑵IZ|=|Z|,Iz2|=|Z|2=z-z,|Z1-Z2I=IZlI-IZ2LI—I=4^4-

Z?IZ2?

訓練1(1)[2023全國卷乙]設2=嚀三，則5=(B)

i+iz+ib

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

解析z=W3^=T'2：i)=]一3,所以2=l+2i,故選B.

1+12+151—1+1—I2

(2)[2022全國卷乙]已知z=l—2i,且z+a2+6=0,其中a,6為實數，貝I](A)

Z?=-2B.Q=19Z?=2

C.〃=l,Z?=2D.Q=-1,b=-2

解析由題意知z=l+2i,所以z+〃z+b=l—2i+o(l+2i)+》=〃+Z?+l+(,2a—2)i

?(a+b+1=0,._fa=1,一,

=0,所以)解得)故選A.

12a—2=0,(b=—2,

(3)[2023武漢市5月模擬]設復數z滿足三為純虛數，貝Ulzl=(A)

z+1

A.lB.y/2C.A/3D.2

解析因為二為純虛數，所以可設三二=歷(Z#0),則2=上生.

z+1z+11—bi

2\(1-匕2)2」2

(1+bi)__l-b2?2b.(2b)_

解法一因為z=H——-i,所以IzI—|

21+匕2(1+匕2)2c2

(l-di)(l+bi)1+d-J(1+ZJ2)

l+2b2+b4

~~2=1,故選A.

(1+b2)

1+歷Il+biI41+82

解法二Iz故選A.

1-bi

命題點2復數的運算

例2(1)[2023新高考卷I]己知z=露，則z—2=(A)

A.-iB.i

C.OD.l

m衣_Li(l—i)1.

解析因為z=-------=-----------------------=--1,

2+2i2(l+i)(l-i)2

所以5=|i,所以z—z=—1i—1i=—i.

故選A.

(2)[2022全國卷甲]若z=—1+bi,則二=(C)

ZZ—1

A.-1+V3iB.-1-V3i

n1后

C.--+-iD.-——i

3333

解析二=—1+V3i_—1+V3i_*i.故選c.

zz—1(—1+V3i)(—1—V3i)-13

方法技巧

1.復數運算的解題策略

(1)復數的加法、減法、乘法運算類比多項式的運算.

(2)復數的除法運算是分子、分母同乘分母的共軻復數，即分母實數化.

2.復數運算中的常用結論

(1)

a+bi,.

(2)—：—=b~ai.

1

(3)i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(〃￡N).

訓練2(1)[2022新高考卷I]若i(1—z)=1,貝！Jz+5=(D)

A.-2B.-l

C.lD.2

解析因為i(l—z)=1,所以z=l—L=l+i,所以5=1—。所以z+5=(1+i)+(1

i

-i)=2.故選D.

(2)[2023重慶二調]已知復數z滿足z+3=42+5i,i是虛數單位，貝!Iz?=(B)

A.-2iB.2i

C.l+iD.l-i

解析令z=a+6i(a,bGR),貝U。+為+3=4。一4歷+5i,即3。一3+(5—5b)i=0,

.'.3a~3—0,5—56=0,解得a=l,b=l,

；.z=l+i,故選B.

命題點3復數的幾何意義

例3(1)[2023新高考卷H]在復平面內，(l+3i)-(3—i)對應的點位于(A)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析因為(l+3i)(3-i)=3—i+9i—3i2=6+8i,所以該復數在復平面內對應的點為

(6,8),位于第一象限，故選A.

(2)［全國卷II］設復數Zl，Z2滿足IZ1I=IZ2I=2,Zl+z2=V3+i,則IZl—z2I=_

2舊.

解析如圖所示，設復平面內復數Zl,Z2所對應的點分別為Zl,Z2,。為原點，則赤=

西+西.

由題知IOPI=VT+1=2=I0Z1I=I0Z2I,所以平行四邊形0Z1PZ2為菱形，且

AOPZi,A0PZ2都是正三角形，所以NOZ2ZI=30°,IZ0I=2I0Z2I-cos30°=2V3,

所以IZl—Z2I=IZ1Z2I=2V3.

方法技巧

1.根據復數、點、向量之間的一一對應關系，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題

時運用數形結合的方法，可以更加直觀地解決問題.

2.思維拓展

Iz-zoI表示在復平面內復數z對應的點與復數Z0對應的點之間的距離；Iz-zoI=r(.r

>0)表示在復平面內復數z對應的點在以復數zo對應的點為圓心、廠為半徑的圓上；Iz-

Z1I=IZ—Z2I表示在復平面內復數Z對應的點在復數Zl,Z2對應點所連線段的垂直平分線

上.

訓練3(1)［2023湖北十一校聯考］復數z滿足Iz-5I=Iz-1I=Iz+iI,則IzI=

(C)

A.V10B.V13

C.3V2D.5

解析解法一由Iz-5I=Iz—1I,得復數z對應的點到點(5,0)和到點(1,0)

的距離相等，所以復數z對應的點在直線x=3上；由Iz—lI=Iz+iI,得復數z對應

的點到點(1,0)和到點(0,—1)的距離相等，所以復數z對應的點在直線y=—x上.因

為直線x=3和直線y=—x的交點為(3,~3),所以z=3—3i,所以IzI=

J32+(-3)2=3位,故選C.

解法二設z=a+bi(a,6GR),由|z—5I=Iz—1I=Iz+iI,得Ia—5+歷I

,,,,,A(a—5)2-\-b2=(a—1)2~\~b2,?

=Ia—1+biI=Ia+(b+1)iI,?(于22解傳

、(a—1)+b2—a2+(6+1),

fa3'貝i］|zI=la2+b2—3V2.

(b=-3,y

(2)［多選/2023石家莊市三檢］已知復數zi=l+2i,復數z滿足Iz—zM=2,則下列說法

正確的有(AD)

A.zi五=5

B.V5-2<IzI<V5+2

C.復數五在復平面內所對應的點為(一1,2)

D.若復數z在復平面內所對應的點為Z(尤，y),則(x-1)2+(y—2)2=4

解析因為復數zi=l+2i,所以痣=1—2i,其在復平面內所對應的點為(1,-2),所以

選項C錯誤；zi?尻'=(l+2i)(l-2i)=5,所以選項A正確；若復數z在復平面內所對

應的點為Z(x,y),則可設復數z=x+yi,由Iz—ziI=2得，I(%—1)+(y—2)iI

=2,即(尤一1)2+(y—2)2=4,所以選項D正確；由D選項的分析知，若設復數z在

復平面內對應的點為Z(x,y'),則Izl—lx2+y2,其幾何意義為圓(A—1)2+(y~

2)2=4上任意一點到原點的距離，圓心(1,2)到原點的距離為逐，半徑為2,所以遙

-2<IzI<75+2,所以選項B錯誤.綜上，選AD.

(教師尊享?備課題組)

1.［命題點1/浙江高考］已知aGR,若a—1+(a-2)i(i為虛數單位)是實數，則。=

(C)

A.lB.-lC.2D.-2

解析因為。-1+(。-2)i是實數，所以“一2=0,所以a=2.故選C.

2.［命題點1Z2O21全國卷乙］設2(z+z)+3(z-z)=4+6i,貝Uz=(C)

A.l-2iB.l+2iC.l+ID.l-i

解析設z=a+6i(a,bdR),則2=a—歷，代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,可得

4a+6歷=4+6i,所以。=1,b=l,故z=l+i.故選C.

3.［命題點2］在復數范圍內，設方程％2—2尤+%=0的根分別為a,p,且Ia—=2正,則

實數k的值為3或一1.

解析當方程2%+4=0的根為虛數時，a—a+bi,/3—a—bi,a,b^R,則a+Q=

2a=2,.,.a=l,a/3=cr-\-b2=k,k=l+l7,2Ia~PI=I26iI=2y[2,".b2—2,'.k

=3;當x2—2x+左=0的根為實數時，a+￡=2,ap=k,則I</一//I=J(a+￡)2一4鄧

=^4~4k=2V2,；.4-4左=8,；?=—l.故左的值為3或一1.

4.［命題點3］設復數z在復平面內對應的點為Z,原點為O,i為虛數單位，則下列說法正確

的是(C)

A.若IzI=1,則z=±l或z=±i

B.若Iz+1I=1,則點Z的集合為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓

C.若1<IzI<V2,則點Z的集合所構成的圖形的面積為無

D.若Iz-1I=Iz+iI,則點Z的集合中有且只有兩個元素

解析若|z|=l,則點Z的集合為以原點為圓心，1為半徑的圓，有無數個點與復數z對

應，故A錯誤；

若Iz+1I=1,則點Z的集合為以(—1,0)為圓心，1為半徑的圓，故B錯誤；

若1WIzIW&,則點Z的集合為以原點為圓心，分別以1和&為半徑的兩圓所夾的圓

環，所以點Z的集合所構成的圖形的面積為Tix(V2)2—itxl2=n,故C正確；

若Iz—lI=Iz+iI,則點Z的集合是以點(1,0),(0,-1)為端點的線段的垂直平

分線，集合中有無數個元素，故D錯誤.

5.［命題點1,2,3/2023沈陽市三檢］在復平面內，復數zi，Z2對應的點分別是(2,—1),

(1,-3),則絲的虛部是(D)

Z1

A.iB.-iC.lD.-l

解析因為復數zi,Z2在復平面內對應的點分別是(2,—1),(1,一3),所以zi=2—

i,Z2=l—3i,所以二=二=(l_3i)(2+i)所以絲的虛部為一1,故選D.

Z12—i(2—i)(2+i)5z1

(------------------------------:練習幫?練透好題精準分層-----------------------------\

?學生用書?練習幫P327

W基礎練知識通關

1.［2024河南信陽開學考試］i+i?+i3+…+i2025=(C)

A.2025B.l-iC.iD.-i

解析因為—i3=—i,i4=l,i5=i,i6=—1,i—1—i+l=0,所以i+i?+i3

+...+i2025=i,故選C.

2.［2024貴陽模擬］復數z滿足(l+2i)z=3~i,貝UIzI=(A)

A.V2B.V3C.2D.V5

解析解法一因為(l+2i)z=3—i,所以z=W=；：U("：三V，所以?zI=

J(I)+(—g)—V2,故選A.

解法二因為(l+2i)z=3—i,所以z=恕，所以IzI=I恕I=y1^=^=V2,

故選A.

3.［2023高三名校聯考］已知，3=6+i(a,6GR),其中i是虛數單位，貝Ua+6=

D.-3

解析解法一因為但=6+i,所以上瞥=2—ai=6+i,所以1―a=L即『二一「

11b=2,lb=2,

所以q+/?=l,故選B.

解法二因為"2=b+i,所以a+2i=(6+i)i,即a+2i=6i—1,所以1°一°所以a

1A—7

+b=lf故選B.

4.［2024安徽六校聯考］復數z在復平面內對應的點為(遮，一1),則小二=(A)

IZI+1

解析由復數的幾何意義可知，z=V3-i,所以|zl=2,所以［

5.［2024江西四校聯考］設a,bGR且為冷，若復數(a+歷)3是實數，貝!］(A)

A.廿=3t?B.a2=3Z?2

C.b2=9a2D/=9〃

解析因為(a+瓦)3=°3+3°2仇一3而2—陰=(。3—3/)+(3層6—方3)i為實數,(提

示：完全立方和公式為(ci+&)3=a3+3a2b+3ab-+b3')所以3a2%一戶=0.又因為勿夕，所

以3a2—b2,故選A.

6.［角度創新］設復數zi，Z2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，zi=l+2i,i為虛數單位，

則Z1Z2=(B)

A.l-2iB.-5

C.5D.5i

解析因為zi,Z2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，Zi=l+2i,所以Z2=-l+2i,所以

ziZ2=(l+2i)(-l+2i)=-5,故選B.

7.［2023長沙重點中學模擬］設復數z滿足z—Z=2i,IzI=2,復數z所對應的點位于第一

象限，貝壯=(B)

Z

A1+V3inV3—i

A.D.

C—l+biD筌

解析設z=〃+bi(Q￡R,Z?￡R),則z=Q—/?i,所以z—z=2Ai=2i,則Z?=l,所以

\z\=a2+b2=Va2+1=2,解得〃=±b.又因為復數z所對應的點位于第一象限，所

以、a=W,所以z=W+i,所以工=2=離%.）=牛,故選B.

zV3+1（，3+1）“3—1）4

8.［角度創新］若型是純虛數，則復數z可以是（D）

Z

A.—3+4iB.3-4i

C.4+3iD.4-3i

解析解法一因為復數過竺是純虛數，所以設既絲=疝（機￡R且機加），則z=匕2=

zzmi

(3+4i)(—i)_4—3i

顯然當m=1時，z=4—3i,故選D.

mi(—i)m

々力、q___、兒I,.z7z-c、13+4i(3+4i)(a—bi)(3a+4b)+(4a—3b)ie幺3+44

解法一設z=a+歷(a,左R)，則m「=------可------，因為三

是純虛數，所以陰+”-。，所以q=_=結合選項知，選D.

（4a—3bH0,b3

9.［開放題］已知復數2=詈，且Z在復平面內對應的點在第四象限，則。的一個整數值可以

為0（答案不唯一）.

解析z=3=&+皿『”+砌（-）*;二因為Z在復平面內對應的點在第

1+1（l+i）（l—i）222

（彳>0,

四象限，所以《解得一4<a<4,又adZ,所以a可取一3,—2,—1,0,1,

仁<0,

2,3.

理能力練重難通關

10.［2023廣西聯考］設復數z=x+yi,其中尤，y是實數，i是虛數單位，若上=x+i,則復

1—1

數Z的共朝復數在復平面內對應的點位于（D）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

VX|1

'解得

{1-%=0,

］2'所以z=l+2i,所以5=l—2i,所以5在復平面內對應的點為（1,—2）,位于第

1%=1,

四象限，故選D.

11.［2023廣東六校聯考］設復數z=1+當i,其中i是虛數單位，2是z的共輾復數，下列判斷

中錯誤的是（B）

A.zz=1

B.Z2=Z

C.z是方程x2~x+1=0的一個根

D.滿足z〃eR的最小正整數"為3

解析對于A,Z-Z=(|+yi)(|—yi)=1,故A正確；對于B,Z2=(|+yi)2=—|

+—i,z=-~—i,：.Z2=-Z,故B錯誤；對于C,(i+—i)2-(-+—i)+l=-i+—i

-i-—i+l=0,則z是方程X2—x+l=0的一個根，故C正確；對于D,z=-+—i,z2=

2222

—i-f-—i,2=2，z=—(-——i)(-+—i)=—1,故D正確，故選B.

222222

12.［多選］18世紀末，韋塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使復數及其運算具有了

幾何意義.例如，IzI=IOZI,即復數z的模的幾何意義為z在復平面內對應的點Z到

原點。的距離.下列說法正確的是(BCD)

A若I?1=1,則2=±1或z=±i

B.若在復平面內，復數6+5i,—3+4i分別對應向量成與礪(。為坐標原點)，則向量

瓦5對應的復數為9+i

C.在復平面內，復數z對應的點為Z(—1,1),則2對應的點位于第三象限

D.若復數z滿足ISIzI<V2,則復數z在復平面內對應的點所構成的圖形的面積為兀

解析對于A,令z=［+^i,滿足IzI=1,故A錯誤；對于B,由題知瓦一布，

即在復平面內，瓦?對應的復數為6+5i—(-3+4i)=9+i,故B正確；對于C,:點

Z(-1,1),在復平面內對應點(—1,