重慶市育才中學2024-2025學年高二上學期10月月考數學試題

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一、單選題

1.經過兩點/（2,7）,8（4,6）的直線的斜率為（）

1八1

A.—B.—2C.-D.2

22

2.經過橢圓，+（=1的右焦點用的直線/交橢圓于A,8兩點，片是橢圓的左焦點，則

△AKB的周長是（）

A.8B.9C.10D.20

3.圓G：/+,2=4與圓C?:/+/+6x+8y—24=0的位置關系為（）.

A.相交B.內切C.外切D.外離

4.下列可使1，b,己構成空間的一個基底的條件是（）

A.a=mb+ncB.a,己兩兩垂直

C.|51=|ft|=|c|=1D.a+b+c=0

5.已知圓錐的母線長為4,底面的半徑。4=2,用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的

小圓錐底面的半徑。4=1,則截得圓臺的體積為（）

A2若n、A「1也nJd"

A.-----7iB.2,3兀C.-----7iD.一兀

333

6.在四棱錐尸-4BCD中，底面A8CD是正方形，側面尸DC是正三角形，且平面尸DC，底

面48cD,E為線段PC的中點.記異面直線尸工與DE所成角為6,貝！|cos6的值為（）

A.—B.0C.—D.—

446

7.如圖，己知正方體N2CD-44G。的棱長為2,M.N分別為線段《4、8c的中點，

若點尸為正方體表面上一動點，且滿足平面MDC,則點尸的軌跡長度為（）

試卷第1頁，共4頁

A.2V2B.V5c.V2D.2

8.已知三棱錐P-48c中，/XASC是邊長為2的正三角形，尸PCIAC,若三棱

錐尸-/8C的外接球體積為亍，則直線尸4與平面/3C所成角的余弦值為（）

V3口Gvn八百

A.----Jz5.----rL?-----U?--

2443

二、多選題

9.關于曲線町;2=1,下列說法正確的是（）

A.若曲線￡表示兩條直線，則〃7=0,〃>0或〃=0,m>0

B.若曲線E表示圓，則〃?=〃>0

C.若曲線E表示焦點在.v軸上的橢圓，貝心">">0

D.若曲線E表示橢圓，貝！］根R”

10.已知直線<：>-2=機。+1）（加eR）,直線4：x-2y+4=0（2eR）,則下列說法正確的

為（）

A.若4_L4，則〃7=-2

B.若兩條平行直線4與，2間的距離為2不，則4=-5

C.直線4過定點（-1,2）

D.點P（2,6）到直線4距離的最大值為2而

11.如圖，在直棱柱4BCD-4BGR中,底面ABCD為菱形，且48=/4=2,ABAD=60°,

M為線段AG的中點，N為線段3c的中點，點尸滿足麗=2而+〃瓦瓦（0W2<1,0<〃<1）

則下列說法正確的是（）

A.若〃=1時，三棱錐尸-D3C的體積為定值

試卷第2頁，共4頁

B.若丸=；時，有且僅有一個點P,使得產。，尸"

C.若％+〃=；,則|PN|+|PC|的最小值為3

D.若2=0,〃=:，則平面。尸河截該直棱柱所得截面周長為拽土Ml

26

三、填空題

12.已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經過點(右,G),則它的標準方程

是.

13.若1,3,1為空間中兩兩夾角都是60。的單位向量，則|23+B-3即=.

14.己知/C,5。為圓。:無2+了2=8的兩條相互垂直的弦，垂足為尸(2,6),圓心。到/C,

AD的距離分別為4，d2,則片+/=,四邊形N5CD的面積的最大值為.

四、解答題

15.已知直線/經過點4-5,1),點8(3,7).

(1)求直線/的方程；

⑵若圓C經過點”(1,0),點N(3,2),且圓心在直線/上，求圓C的方程.

16.如圖，在三棱柱4BC-481cl中，AC=6,BC=8,48=10,44=8,點。是的

中點，CG，平面/Be.

⑴求證：NG〃平面cr>q；

(2)求44與平面所成角的正弦值.

17.如圖，在三棱錐P-48c中，BC=BA=PC=PA=PB=也,且/CA4=/CPN=90。.

試卷第3頁，共4頁

(2)若棱尸N上存在不同于P,A的動點滿足而=4萬，使二面角P—8C—M的余弦

值為巳7，求4的值.

18.已知動點”與兩個定點0(0,0),4-3,0)的距離的比為

2

⑴求動點M的軌跡方程；

⑵過點5(0,-2)且斜率為k的直線/與動點”的軌跡交于尸，。兩點，若赤?麗=-3,求I尸。I

的值.

19.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創詞匯，它是一種使用幾何度量空間

的幾何用語，定義如下：在平面直角坐標中的任意兩點可(久2，乃)的曼哈頓距離為

d(MN)=k-尤21+|必一刃.已知在四邊形/BCD中，AE=2EC=4,ZACB=90°,

岳，且8E平分//8C,若將V/BC沿線段NC向上折疊，使二面角

為直二面角，如圖所示，折疊后點3在新圖形中對應點記為

(折疊前)(折疊后)

⑴計算的大小；

(2)若A/CD所在平面為a,設尸ea,且/PB，E=/DB'E,記點P的軌跡為曲線「

(i)判斷:T是什么曲線，并求出對應的方程；

(ii)設/為平面。上過點3且與直線NB垂直的直線，已知N在直線/上，M在：T上，求

d(M,N)的最小直

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ADBBCCBDABCDAC

題號11

答案ACD

1.A

【分析】根據條件，利用經過兩點的直線斜率的計算公式，即可求解.

【詳解】因為直線經過兩點4(2,7),8(4,6),所以直線的斜率為左=7--二6—1

2-42

故選：A.

2.D

【分析】為焦點三角形，周長等于兩個長軸長，再根據橢圓方程，即可求出△，片3

的周長.

【詳解】

22

???片,月為橢圓工+匕=1的兩個焦點,

2516

用+M用=10,忸周+忸閶=10,

:AAKB的周長為|48|+卜聞+忸居|=|皿|+|/閭+忸耳卜忸居|=10+10=20.

故選：D.

3.B

【分析】由兩圓的位置關系計算即可.

【詳解】由題意可得C?:x2+y2+6x+8y-24=0=>(x+3)2+(y+4)2=49,

故兩圓的圓心分別為：G(0,0)C(-3,T),設兩圓半徑分別為小弓,則〃=2,々=7,

易知乃_八=5=|C￡|=J(-3-0丫+(4-0y,故兩圓內切.

故選：B

4.B

【分析】判斷三個向量是否共面即可得.

答案第1頁，共15頁

【詳解】選項AD中，三個向量a1,c一定共面，選項C中，a,B,c可能共面，只有選項B

中，a,B,c一定不共面，

故選：B.

5.C

【分析】作出圓錐的軸截面，利用求得圓臺的高為〃=百，結合圓臺的

體積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，作出圓錐的軸截面等腰△必LB,

則SN=4,GU=2,可得S0=J"-。/=2百，

用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐底面的半徑Q4=1,

由△SO14s△so/,可得型="=_L,所以SO=2SQ,

SO0A2

則001=6，即圓臺的高為％=百，

所以圓臺的體積為廠=；忒12+22+k2)、6=孚.

故選：C.

6.C

【分析】根據題意，過尸作尸o，z)c,以。為坐標原點建立空間直角坐標系，結合空間向

量的坐標運算以及異面直線的夾角公式，代入計算，即可求解.

【詳解】

答案第2頁，共15頁

過P作尸O，DC,因為側面PDC是正三角形，所以。是CO的中點,

又因為平面尸DC,底面4BC。，且DC為兩平面的交線，POu平面尸DC,

所以尸O_L底面A8CD,

以。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

設/8=2,貝必（2,-1,0）,。（0,1,0）,。（0,-1,0）,尸（0,0,⑻,￡（0,1當

所以西=（2,-1,-6），瓦=（0,■|，￥＜）,

PA-DE,3V6

則cos6=|I二---------

\PA^DE\272xV34

故選：C

7.B

【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，計算出麗?皮=0,而?萬法=0,從而得

到NGJ_平面MDC,從而點尸在線段NG上時，滿足平面MDC,點尸的軌跡長度為

NC\=a+22=V5.

【詳解】以。為坐標原點，D4OC,他所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標系，

則0（0,0,0）,C（0,2,0）（2,0,1）,N（l，2,0）,G（0,2,2）,

則雨=（-1,0,2）,皮=（0,2,0）,痂=（2,0,1）,

故南灰=（-1,0,2）.（0,2,0）=0,麗.麗=（-1,0,2（2,0,）=-2+2=（,

所以陽_L正，鶯_L麗7,

又CDcDM=D,CD,DMu平面M）C,

所以NG_L平面

答案第3頁，共15頁

故當點尸在線段NG上時，滿足沏，平面"DC,

點P的軌跡長度為NC、=^12+22=V5.

8.D

【分析】點尸作平面48。，連接易知過BC中點M,連接尸“，易知直線

產/與平面48c所成角為NP/W;由尸8_L48,尸C_LNC知三棱錐的外接球的直徑尸/,

據外接球體積為于可求出PA及所需邊長，利用余弦定理求cos即可.

【詳解】設三棱錐的外接球的半徑為R,如圖所示，取尸/中點為。，

由于PCLAC,則08=OC=O尸=0/,

故。是三棱錐的外接球的球心，P4=2R,

V三棱錐P-ABC的外接球體積為華，；.幽,=吆,尸/=4,

333

過點尸作7W_L平面4BC,連接易知/〃過8c中點連接尸

因為PA=4,PB=PC=2C，PM=411>

則直線產/與平面/3C所成角為NP4W,

42+(V3)2-(VH)2V3

由余弦定理可得cos/E4M=

2x4x6-3

故選：D.

答案第4頁，共15頁

9.ABCD

【分析】根據曲線方程形式可得A正確，根據橢圓以及圓方程可判斷BCD正確.

【詳解】對于A,若曲線E表示兩條直線，則見〃兩者須有一個為零，此時表示的兩條直線

為尸±或x=±可得A正確;

7n7m

對于B,若曲線E表示圓，則根據圓的方程可知加=〃＞0,即B正確;

對于C,若曲線E表示焦點在〉軸上的橢圓，可將=1化為不

mn

所以！＞工＞0,可得加＞"＞0,即C正確；

nm

對于D,若曲線￡表示橢圓，則根據橢圓方程可知加，且加〉0,〃〉0,即D正確.

故選：ABCD

10.AC

【分析】結合題設直線的方程易得4=m，”=；,進而結合直線垂直與斜率的關系即可判

斷A；先根據直線平行與斜率的關系可得〃〃2時，機=(，再結合平行直線之間的距離公式

求解判斷B；根據直線過定點問題可判斷C；分析可得尸。，乙時，點尸(2,6)到直線4距離最

大，進而求出|尸即可判斷D.

[詳解]由直線＜：＞一2=%(x+1),/2:x-2y+A=0,

則勺=m，與=g.

對于A,若/[-L/z，則勺4=g〃7=-l,解得他=一2,故A正確;

對于B,若〃〃2，則勺,=與，即機=(，

此時4：y—2=；(x+l),BPx-2y+5-0,l2:x-2y+A=0,

因為4與4間的距離為2右，

|5-2|廠

所以+=2,5，解得力=-5或15,故B錯誤；

[x+l=0[x=—1

對于C,由4：＞一2=〃0+1),令〈c八，即＜c，

[y-2=0[y=2

答案第5頁，共15頁

所以直線4過定點0(-1,2),故C正確；

對于D,由C知，直線4過定點。(-1,2),

要使點尸(2,6)到直線4距離最大，則PQLlx,

則點尸(2,6)到直線4距離的最大值為忸0|=J(2+l『+(6-2『=5,故D錯誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】分別根據每一個選項確定點P的軌跡，然后判斷選項即可.

【詳解】對于選項A：當〃=1時，B^P=ABC,故點尸在4G上運動，而與。1平行于平面

所以三棱錐P-的體積為定值.故A正確.

對于選項B：當2=工時，取3C中點記為￡連接EN,易得點尸在EN上運動，

2

當P與點E,N,重合時，由勾股定理可得|尸引2+|2。「=0周2,所以依,尸與，故B錯

對于選項C：當2+〃=g時，取3C中點記為E,取3月中點記為尸連接EF,則點P在線

段￡尸上運動

,易得點C關于直線環的對稱點為。，連接N。，此時點N、E、。三點共線，

故點尸與點￡重合時取得最小值為3,故C正確.

答案第6頁，共15頁

對于選項D：當彳=0,〃=:時，尸為8片的中點，過點尸作的平行線交4B于點E,

1?

過點”作DE的平行線交3￡于點歹，即可得到截面MOE尸尸，易知BE=Q,B1F=q,

3

+I-2x2x-xcos600=—

23122

,易得周長為9"+7巫,故D正確.

6

12

-小白1

22

【分析】設橢圓方程為鼻+2=1,得到方程組，求出。2=10,〃=6,得到答案.

a1b2

5=1

22+l

【詳解】設橢圓方程為0+3=1,則~a7

aba2=4

解得/=10萬=6,故橢圓方程為卻==1.

106

故答案為：介展】

13.V7

【分析】根據給定條件，利用空間向量數量積的運算律求解即得.

【詳解】由a,E為空間中兩兩夾角都是60。的單位向量,

rrrrrrj

得。?b=b?c=c?q=lxlxcos60°=—,

2

所以121+3-3?|=V4a2+b2+9c+4a=74+1+9+2-3-6=77-

故答案為：V7

14.79

答案第7頁，共15頁

【分析】利用圓的性質計算片+因，求出四邊形面積關系式，借助基本不等式求出最大值.

【詳解】取的中點M,N,連接。依題意，OMLACQNLBD,又AC，BD,

則四邊形OMPN是矩形，d；+/=|『+1ON『=|O尸『=7.

22

|AC|=2^/8-c?!,|BD|=2^/8-t/2,四邊形48CZ)的面積為：

SABCD=^\AC\\BD\=2器-d；18-或V(8-片)+強一因)=9,當且僅當4=%時取得等號,

所以當4=%=4時，四邊形的面積的最大值為9.

15.⑴3x-4y+19=0

(2)(x+l)2+(y-4)2=20

【分析】(1)根據條件，利用直線方程的兩點式得直線方程，再化簡，即可求解;

(2)根據條件，利用圓的幾何性質，求出圓心和半徑，即可求解.

【詳解】(1)過點4-5,1),點5(3,7)的直線的兩點式方程為：言=言，

整理得：3x-4y+19=0,所以直線/的方程為3x-4y+19=0.

(2)設線段跖V的中點為尸，則由“(1,0段N(3,2)有尸(2,1),

且直線MN的斜率為左MN=咨=1，

因此線段跖V的垂直平分線/'的方程為：7-1=-(X-2),即x+y-3=0,

由垂徑定理可知，圓心C也在線段的垂直平分線上，

fx+y-3—0[x=~\

則有211O解得“，所以圓C的坐標是(T,4)，

[3x-4y+19=0[>=4

圓的半徑r=|MC\=7(-1-I)2+C4-0)2=2r5,

所以圓C的標準方程是(x+l)。+(y-4)2=20.

答案第8頁，共15頁

16.（1）證明見解析

。、3西

34

【分析】（1）連接BG，設8Gnqc=o,只需證明OD〃/G，再結合線面平行的判定定

理即可得證；

（2）建立適當的空間直角坐標系，求出441的方向向量與平面CD4的法向量，再由向量夾

角公式即可求解.

【詳解】（1）連接&G，設Bqn4c=O,連接OD,由三棱柱的性質可知，

側面BCC4為平行四邊形，二O為BG的中點，

又???。為48中點，，在A/BG中，ODHAC\,

又ODu平面CDB[,ACX(Z平面CDBX,

：.ZG〃平面c。”

GB}

(2)由題意可知C/,CB,CG兩兩垂直，故以C4,CBcq所在直線為x軸、y軸、z

軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

GBl

X

則C(0,0,0),4(6,0,0),4(6,0,8),￡>(3,4,0),4(0,8,8).

UULULUUUll

所以441=(0,0,8),CD=(3,4,0),CB】=(0,8,8),

設平面CDB,的法向量為n=(x,y,z),

答案第9頁，共15頁

?萬=3x+4y=0

則，令x=4,得力=(4,一3,3)；

S?云=8y+82=0

3A/34

設AAl與平面CD8］所成角為6,則sin0=|cosn,AAX|=M

8.V16+9+934

所以AAt與平面CDB,所成角的正弦值為巨叵.

34

17.(1)證明見解析

(2)|

【分析】(1)取NC的中點O,分別證得尸0,30和尸OLZC,利用線面垂直的判定定理。

證得平面4BC,進而證得平面尸/C,平面N3C；

ULILILuum

(2)以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，令==,得到向量流的坐

標，再分別求得平面AfflC和平面P3c的法向量雨=1,1,和7=(1,1,1)結合向量的夾

角公式，列出方程，即可求解.

【詳解】(1)證明：由BC=BA=G，且NC84=90。，所以么。=后37彳=2，

取/C的中點O,連接尸0,80,可得尸O=BO=L/C=1,

2

再由尸8=JL可得尸。、灰尸=尸笈，即

因為尸。=尸4=血，且。為/c的中點，可得尸O_L/C,

又因為/CcBO=O,且30,/Cu面/BC,所以R9_L平面4BC,

因為尸Ou平面尸/C,所以平面P/C_L平面/BC.

(2)解：由(1)可知尸POVOC,又由O8LZC,

以。為坐標原點，以OC,OB,OP所在直線為無軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系,

如圖所示,則C(1,O,O),5(0,1,0),如-1,0,0),尸(0,0,1),

所以，AP=(1,O,1),SC=(1,-1,0),PC=(1,0,-1),

UULU.UULUHULL

令//=九4尸=(2,0,勾，其中0</<1,可得M(2-l,0"),所以MC=(2-;1,0,-2),

m-BC=x,-y.=0

設平面的法向量為布=(xi，yi，zj,則-''

rh'MC=(2-X)xx--0

令占=1,可得必=1,4=一71，所以沅=1(,1,2—)

ZkA

答案第10頁，共15頁

n-BC-x2-y2-0

設平面P3C的法向量為五=(x2,y2,z2),則<

mPC=x2-z2=0

令*2=1,可得%=1/2=1,所以1=(1,1,1),

設y一，其中te(l,+8),則上式可化為11〃-5今_5=0,即(/一5)(117+1)=0,

A

1o_01

解得「5或"F舍去，所以才=5,解得"才

18.(l)(x-l)2+/=4；

(2)1^21=4.

【分析】(1)利用兩點距離公式及已知距離關系求軌跡方程即可；

(2)設直線方程并聯立M的軌跡方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算列方程求參

數，進而確定弦長即可.

【詳解】(1)設動點W坐標為(x,y),

由即方+<=m(x+3)2+「,

整理得(x_l)2+j2=4.

(2)設直線/的方程為〉=履-2,P,。兩點的坐標分別為(巧,為)，(x2,y2),

答案第11頁，共15頁

2

(x-l)+)2=4

聯立，整理得(1+/-(4t+2)x+l=0(*).

y=kx-2

XX

因為（*）式的兩根為為，/，所以占+無2=半與，l2=TAT＞

\+k1+左

A=（4左+2＞-4（笈2+i）＞o,即左＜-：或后＞o.

貝!）。尸一。0=%々+%y2=XxX2+（砧-2）（注2-2）=（I+左2卜］工2_2Mxi+々）+4=-3,

啰4左+2國々=」代入上式，化簡解得上=2.

將Xi+%2=&jr，

\+k

而上=2滿足A＞0,故直線/的方程為＞=2（xT）.

因為圓心M（l,0）在直線/上，所以|尸。|=4.

兀

19.⑴NDB，E=%

22

⑵(i)曲線「是橢圓，土+匕=1；(ii)5-VTT

69

【分析】（1）先證明平面48,得Rt△9CD,利用勾股定理和余弦定理，結合題設

條件，依次求得人方力后的三邊，再利用余弦定理求出cos即得；

jr

（2）（i）依題建系，利用（1）已得NPB'E=/DB'E=7,借助于向量的夾角公式建立方程,

化簡即得r對應的方程；（ii）將（i）中橢圓所在坐標系逆時針旋轉90。得到橢圓方程為

22

3~+\=1,直線/的方程為V§x+y-5/"=0.設點Af（3cos0,痣sin8）,由引理，可得

|^^+加-5君|

"（M'NLn=J----------廠一,利用輔助角公式和正弦型函數的值域即可求得.

max（n網J

【詳解】（1）

答案第12頁，共15頁

BB'

（折疊前）（折疊后）

在RtZ\/8C中，BE平分NABC,AE=2EC=4,

AR4F

貝！J==2,設CB=x,則AB=2x,

CBEC

由勾股定理，/+36=(24，解得x=2。，即8'C=BC=2內，則BE=收后+2?=4,

在ANCZ)中，AD=DC=4l5,cos/C4D=-^=

V155

在V4DE中，由余弦定理，D￡2=42+(V15)2-2x4x715x^=7,即。￡=g,

又因二面角B'-AC-D為直二面角,且平面B'/Cc平面ACD=AC,B'C_LAC,故有B'C!

平面ACD,

因CDu平面/CD,