專題28圓

【考查題型】

圓周角定理

圓周角定理推論

已知圓內接四邊形求角度

【知識要點】

知識點一圓的有關概念

圓的定義：在一個平面內，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A所形

成的圖形叫圓。這個固定的端點。叫做圓心，線段0A叫做半徑。

圓的表示方法：以0點為圓心的圓記作。0,讀作圓0。

圓的特點：在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。

確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。

備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小。

【補充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓。

圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸;

2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦（例如：右圖中的AB）。

直徑的概念：經過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。

備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍。

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作好，讀作圓弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

優弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優弧。

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

考查題型一圓的周長和面積問題

典例1.（2021?江蘇徐州?統考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正

方形的對角線之比為3：1,則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

變式LL（2022?山東濰坊?中考真題）《墨子?天文志》記載：“執規矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟

數學之美.如圖，正方形MCD的面積為4,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形AB'C'D,

若A?:AB=2:1,則四邊形AB'C'D'的外接圓的周長為.

變式-2.（2021?四川內江?四川省內江市第六中學校考一模）把一個圓心為O,半徑為廠的小圓面積增加一倍，

兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個圓（包括原來的小圓），則這四個圓的周長之比（按從小到大順序排

列）是—.

變式1-3.（2021?廣西百色?統考中考真題）據國際田聯《田徑場地設施標準手冊》，400米標準跑道由兩個平

行的直道和兩個半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長87米；跑道的彎道是半圓

形，環形跑道第一圈（最內圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間.

某校據國際田聯標準和學校場地實際，建成第一圈彎道半徑為36米的標準跑道.小王同學計算了各圈的長：

第一圈長：87x2+2兀（36+1.2x0）=400（米）；

第二圈長：87x2+2兀（36+1.2x1）=408（米）；

第三圈長：87x2+2兀（36+1.2x2）=415（米）；

請問：

（1）第三圈半圓形彎道長比第一圈半圓形彎道長多多少米？小王計算的第八圈長是多少？

（2）小王緊靠第一圈邊線逆時針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時針騎自行車（均以所靠邊線長計路程），

在如圖的起跑線同時出發，經過20秒兩人在直道第一次相遇.若鄧教練平均速度是小王平均速度的2倍,

求他們的平均速度各是多少？

（注：在同側直道，過兩人所在點的直線與跑道邊線垂直時，稱兩人直道相遇）

變式1-4.（2021?江蘇宿遷?統考一模）一塊含有30。角的三角板ABC如圖所示，其中NC=90。，ZA=3O°,

BC=3cm.將此三角板在平面內繞頂點A旋轉一周.

（1）畫出邊旋轉一周所形成的圖形；

（2）求出該圖形的面積.

知識點二垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt^,用勾股，求長度；

2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分。

考查題型二利用垂徑定理求解

典例2.（2022.安徽.統考中考真題）已知。。的半徑為7,是。。的弦，點尸在弦上.若B4=4,PB

=6,則OP=（）

A.714B.4C.V23D.5

變式2-1（2022?四川瀘州.統考中考真題）如圖，AB是。。的直徑，OO垂直于弦AC于點。，。。的延長

線交于點若AC=4&，DE=4,則3C的長是（）

A.1B.72C.2D.4

變式22（2021.四川涼山?統考中考真題）點尸是。。內一點，過點尸的最長弦的長為10cm,最短弦的長

為6cm,則OP的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

變式2-3.（2021?四川自貢?統考中考真題）如圖，A8為。。的直徑，弦COLAS于點孔OE1AC于點E,

若OE=3,OB=5,則CO的長度是（）

A.9.6B.46C.5A/3D.19

變式2-4.（2022?青海?統考中考真題）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分,

如果C是。。中弦A8的中點，CD經過圓心。交。O于點。，并且AB=4m,CD=6m,則。。的半徑長

為m.

變式25（2022.上海?統考中考真題）如圖所示，小區內有個圓形花壇。，點C在弦AB上，AC=11,BC=2L

OC=13,則這個花壇的面積為.（結果保留乃）

變式2-6.（2022.黑龍江牡丹江?統考中考真題）。。的直徑CD=10,A8是。。的弦，AB1CD,垂足為

OM:OC=3:5,則AC的長為.

變式2-7.（2021?廣西河池?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以“（2,3）為圓心，A8為直徑的圓

與x軸相切，與y軸交于A,C兩點，則點8的坐標是.

考查題型三利用垂徑定理求解實際問題

典例3.（2022.湖北鄂州?統考中考真題）工人師傅為檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了

一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90。，將形狀規則的鐵球放入槽內時，若同時具有圖（1）所

示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求.圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已

知。。的直徑就是鐵球的直徑，是。。的弦，CD切。。于點E,ACLCD.BDLCD,若CZ）=16cm,

AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

變式3-1.（2021.貴州黔東南.統考中考真題）小明很喜歡鉆研問題，一次數學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦

片（如圖所示）讓小明求瓦片所在園的半徑，小明連接瓦片弧線兩端量的弧的中心C到AB的距離

CQ=1.6cm,AB=6.4cm,很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm.

變式3-2.（2022.四川自貢.統考中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長

20厘米，弓形高CO為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米.

變式33（2022?湖北荊州?統考中考真題）如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB=20cm,

底面直徑BC=12cm,球的最高點到瓶底面的距離為32cm,則球的半徑為cm（玻璃瓶厚度忽略不計）.

變式3-4.（2022.貴州遵義?統考中考真題）數學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28。，求北

緯28緯線的長度.

小組成員查閱相關資料，得到如下信息：

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2,赤道半徑Q4約為6400千米，弦3C/OA,以3C為直徑的圓的周長就是北緯28。緯線

的長度；（參考數據：兀=3,sin28°?0.47,cos28。70.88,tan28°?0.53）

根據以上信息，北緯28。緯線的長度約為千米.

變式3-5.（2021.湖北恩施.統考中考真題）《九章算術》被尊為古代數學“群經之首”，其卷九勾股篇記載：

今有圓材埋于壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.間徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱

形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道長1尺，問圓形木材

的直徑是多少？（1尺=10寸）

答：圓形木材的直徑寸；

變式36（2022?湖北宜昌?統考中考真題）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1）,隋代建造的

趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖2是根據某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，

橋的主橋拱是圓弧形，表示為4i.橋的跨度（弧所對的弦長）AB=26m,設45所在圓的圓心為。，半徑

OC±AB,垂足為￡>.拱高（弧的中點到弦的距離）CD=5m.連接08.

圖1圖2

（1）直接判斷AD與8。的數量關系；

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）.

知識點三與圓有關的角

圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角。

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，

所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應的其余各組量分別相等。

圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=|圓心角）

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。

在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

考查題型四弧、弦、圓心角之間的關系

典例4.（2021?四川廣安?統考中考真題）如圖，公園內有一個半徑為18米的圓形草坪，從A地走到B地有

觀賞路（劣弧AB）和便民路（線段AB）.已知A、3是圓上的點，。為圓心，ZAOB=120。，小強從A走到

B,走便民路比走觀賞路少走（）米.

A.6兀-66B.6兀一

C.12%-94D.12^-1873

變式4-1.（2021?甘肅武威?統考中考真題）如圖，點45C2E在0。上，AB=CD,ZAOB=42°,貝iUCEE>=

()

A.48°B.24°C.22°D.21°

變式4-2.（2021?湖北武漢?統考中考真題）如圖，A8是。。的直徑，2c是。。的弦，先將8C沿BC翻折交

A8于點O.再將沿A3翻折交于點E.若BE=DE，設NABC=a,則a所在的范圍是（）

A.21.9。<a<22.3。B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<a<23.5°

變式43（2020?山東青島?中考真題）如圖，8。是的直徑，點A,C在。。上，AB=AD>AC交BD

于點G.若/COD=126。.則NAG3的度數為（）

D

A.99°B.108°C.110°D.117°

變式4-4.（2020?四川瀘州?中考真題）如圖，。0中，淞ZABC=10°.則N80C的度數為（）

B.90°C.80°D.70°

變式4-5.（2020?貴州貴陽?統考中考真題）如圖，AABC是。。的內接正三角形，點。是圓心，點。，E分

別在邊AC,AB上，若DA=EB,則NOOE的度數是___度.

變式4-6.（2022?江蘇鹽城?統考中考真題）證明：垂直于弦AS的直徑8平分弦以及弦所對的兩條弧.

變式4-7.（2022.湖南懷化?統考中考真題）如圖，點A,B,C,。在。。上，AB=CD.求證:

（1）AC=B￡＞；

（2）AABEs^DCE.

變式4-8.（2021?山東臨沂?統考中考真題）如圖，已知在。。中，AB=BC=CD,0c與AD相交于點E.求

證：

(1)AD//BC

（2）四邊形8COE為菱形.

考查題型五圓周角定理

典例5.（2022.甘肅蘭州.統考中考真題）如圖，△ABC內接于。。，CO是。。的直徑，ZAC￡>=40°,貝！JN5=

()

A.70°B.60°C.50°D.40°

變式5-1.（2022.浙江嘉興.統考中考真題）如圖，在。。中，N3OC=130。，點A在R4c上，則N84C的度

A.55°B.65°C.75°D.130°

變式5?2.（2022.山東棗莊.統考中考真題）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點。在半圓

上?點A,5的讀數分別為86。，30°,則NAC8的度數是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

變式53（2022?湖北宜昌?統考中考真題）如圖，四邊形ABC。內接于。0,連接QB,OD,5。，若NC=U0。,

A.15°B.20°C.25°D.30°

變式54（2022?陜西?統考中考真題）如圖，的。內接于。。NC=46。，連接Q4,則NOAB=（）

A.44°B.45°C.54°D.67°

變式5-5.（2022?浙江湖州?統考中考真題）如圖，已知AB是。。的弦，120°,OC±AB,垂足為C,

0c的延長線交。。于點D.若/4尸。是AD所對的圓周角，則NAP。的度數是

D

變式5-6.（2022.江蘇常州?統考中考真題）如圖，A4BC是0O的內接三角形.若/AfiC=45。，AC=母,

則。。的半徑是.

變式5-7.（2022.四川雅安.統考中考真題）如圖，NDCE是。。內接四邊形ABC。的一個外角，若NDCE

=72。，那么NBOD的度數為.

考查題型六圓周角定理的推論

典例6.（2022?貴州銅仁?統考中考真題）如圖，0408是。O的兩條半徑，點C在。O上，若NAOB=80。,

則-C的度數為（）

A.30°B,40°C,50°D.60°

變式6-1.（2022?廣西梧州?統考中考真題）如圖，OO是的外接圓，且AB=AC,/BAC=36。，在弧

上取點。（不與點A,8重合），連接瓦）,4。，則N54D+N/?）的度數是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

變式6-2.（2022?黑龍江牡丹江?統考中考真題）如圖，BO是。。的直徑，A,C在圓上，ZA=50°,/DBC

的度數是（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

變式6-3.（2022?遼寧營口?統考中考真題）如圖，點4,B,C,。在上，AC±BC,AC=4,ZADC=30°,

則BC的長為（）

r

A.4后B.8C.40D.4

變式6-4.（2022?四川廣元?統考中考真題）如圖，A8是。。的直徑，C、。是。。上的兩點，若/CAB=65。,

則NAOC的度數為（）

c

B

A()

D

A.25°B.35°C.45°D.65°

變式6-5.（2022?四川自貢?統考中考真題）如圖，四邊形ABC。內接于。。，AB為。。的直徑，AABD=20°,

則N3CD的度數是（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

變式6-6.（2022.山東泰安.統考中考真題）如圖，A3是。。的直徑，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,

則。。的半徑為（）

A.2石B.3行C.2A/5D.非

變式6-7.（2022?四川資陽?中考真題）如圖，AABC內接于。O,AB是直徑，過點A作。O的切線4￡）.若

NB=35°,則ZDAC的度數是___________度.

變式6-8.（2022?山東日照?統考中考真題）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師

傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB=12cm,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為.

變式6-9.（2022?廣東?統考中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于AC為。。的直徑，ZADB=/CDB.

（1）試判斷AABC的形狀，并給出證明；

（2）若AB=，AD=1,求CD的長度.

變式6-10.（2022?貴州遵義?統考中考真題）探究與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續利用

上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側有兩點8,D,連接AD,AB,BC,CD,如果=那么A,B,C,D

四點在同一個圓上.

探究展示：

如圖2,作經過點A,C,。的。。，在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE則

ZAEC+ZD=180°（依據1）

圖2

;NB=ND

.-.ZAEC+ZB=180o

，點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

.??點5,。在點A,C,E所確定的。。上（依據2）

點A,B,C,E四點在同一個圓上

（1）反思歸納：上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？

依據1：;依據2：.

（2）圖3,在四邊形ABCD中，Z1=Z2,/3=45。，則N4的度數為

（3）拓展探究：如圖4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,點。在3C上（不與8C的中點重合），連接AD.作

點C關于AD的對稱點E,連接并延長交AD的延長線于尸，連接AE,DE.

①求證：A,D,B,E四點共圓;

②若AB=26,的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

知識點四圓內接四邊形

圓內接四邊形概念：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫

做圓內接多邊形。這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

性質：圓內接四邊形的對角互補，一個外角等于其內對角。

例：ZBCD+ZDAB=180°,ZBCD=ZDAE

考查題型七已知圓內接四邊形求角度

典例7.（2022?吉林長春?統考中考真題）如圖，四邊形ABCD是。。的內接四邊形.若ZBCD=121。，則ZBOD

的度數為（）

B.121°C.118°D.112°

變式7-1.（2022?湖南株洲?統考中考真題）如圖所示，等邊AABC的頂點A在。。上，邊48、AC與。。分

別交于點。、E,點尸是劣弧DE上一點，且與。、E不重合，連接。尸、EF,則"EE的度數為（）

C

A.115°B.118°C.120°D.125°

變式72（2022?江蘇淮安?統考中考真題）如圖，四邊形ABC。是。。的內接四邊形，若NAOC=160。，則

D

/ABC的度數是（）

A.80°B.100°C.140°D.160°

變式7-3.（2021?廣西貴港?統考中考真題）如圖，點A,B,C,。均在。。上，直徑AB=4,點C是臺。的

中點，點。關于A8對稱的點為E,若/QCE=100。，貝后玄CE的長是（）

A.26B.2C.73D.1

變式7-4.（2022.甘肅武威.統考中考真題）如圖，在。。內接四邊形ABCD中，若NABC=100。，則NAZ）C=

變式7-5.（2022?遼寧錦州?統考中考真題）如圖，四邊形A8CZ）內接于00,為。。的直徑，ZADC=130°,

連接AC,則/8AC的度數為

變式76（2022?遼寧沈陽?統考中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于。。，則AB的長是

（結果保留無）

變式7-7.(2021?山東棗莊.統考中考真題)如圖，。。是AABC的外接圓，點。在BC邊上，的平分

線交于點。，連接BO,CD,過點。作。。的切線與AC的延長線交于點P.

(1)求證：DP//BC；

(2)求證：AABD^ADCP；

(3)當AB=5cm,AC=12cm時，求線段PC的長.

變式7-8(2021.湖南益陽.統考中考真題)如圖，在等腰銳角三角形ABC中，AB^AC,過點8作BDLAC

于。，延長80交AASC的外接圓于點E,過點A作AFLCE于RAE,8C的延長線交于點G.

(1)判斷E4是否平分/DEF,并說明理由；

(2)求證：①BD=CF；?BD2=DE2+AEEG.

專題28圓

【考查題型】

圓周角定理

圓周角定理推論

已知圓內接四邊形求角度

【知識要點】

知識點一圓的有關概念

圓的定義：在一個平面內，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉一周，另一個端點A所形

成的圖形叫圓。這個固定的端點。叫做圓心，線段0A叫做半徑。

圓的表示方法：以0點為圓心的圓記作。0,讀作圓0。

圓的特點：在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。

確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。

備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小。

【補充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓。

圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸;

2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦（例如：右圖中的AB）。

直徑的概念：經過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。

備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍。

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作讀作

圓弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

優弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優弧。

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

考查題型一圓的周長和面積問題

典例1.（2021.江蘇徐州?統考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已

知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1,則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】B

【分析】設。B=x,則OA=3x,BC=2x,根據圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積,

進而即可求解.

【詳解】解：由圓和正方形的對稱性，可知：OA=OD,OB=OC,

???圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1,

設OB=x,則OA=3x,BC=2x,

??.圓的面積=兀（3了）2=9收2,正方形的面積==2x2,

9

/.9TIX2-?2X2=—?14,即：圓的面積約為正方形面積的14倍，

故選B.

【點睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對稱性，根據題意畫出圖形，用未知數表示各

個圖形的面積，是解題的關鍵.

變式1-1.（2022?山東濰坊?中考真題）《墨子?天文志》記載：“執規矩，以度天下之方圓.”

度方知圓，感悟數學之美.如圖，正方形ABCD的面積為4,以它的對角線的交點為位似中

心，作它的位似圖形AB'C'D,若4?:AB=2:1,則四邊形A'B'C'D'的外接圓的周長為

A

【答案】4立兀

【分析】根據正方形ABC。的面積為4,求出4?=2,根據位似比求出AB'=4,周長即可

得出；

【詳解】解：?.?正方形ABC。的面積為4,

AB=2,

???A'B':AB=2:1,

AB'=4，

'''A'C=y/42+42=472，

所求周長=40萬;

故答案為：40兀.

【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解

題關鍵求出正方形ABC。的邊長.

變式-2.（2021.四川內江.四川省內江市第六中學校考一模）把一個圓心為。，半徑為r的小

圓面積增加一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個圓（包括原來的小圓），則這四個

圓的周長之比（按從小到大順序排列）是—.

【答案】1：V2：73：2

【分析】設最小的圓的面積是。，則其它三個圓的面積分別是2a,3a,4a.由題意得四個

圓是相似形，根據面積比可求得其相似比，根據周長比等于相似比即可得到答案.

【詳解】解：設最小的圓的面積是。，則其它三個圓的面積分別是2a,3a,4a,

所有的圓都是相似形，面積的比等于半徑的比的平方，

因而半徑的比是1:五:括:2,周長的比等于相似比，即半徑的比，是1:0:括:2.

故答案為：1::6：2.

【點睛】本題主要考查了圓相似形時，解題的關鍵是：掌握面積的比等于相似比的平方，周

長的比等于相似比.

變式1-3.（2021?廣西百色.統考中考真題）據國際田聯《田徑場地設施標準手冊》，400米標

準跑道由兩個平行的直道和兩個半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直

道長87米；跑道的彎道是半圓形，環形跑道第一圈（最內圈）彎道半徑為35.00米到38.00

米之間.

某校據國際田聯標準和學校場地實際，建成第一圈彎道半徑為36米的標準跑道.小王同學

計算了各圈的長：

第一圈長：87x2+27：（36+1.2x0）=400（米）；

第二圈長：87X2+2TT（36+1.2x1）=408（米）；

第三圈長：87x2+2兀（36+1.2x2）=4三（米）；

請問：

（1）第三圈半圓形彎道長比第一圈半圓形彎道長多多少米？小王計算的第八圈長是多少？

（2）小王緊靠第一圈邊線逆時針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時針騎自行車（均以所靠

邊線長計路程），在如圖的起跑線同時出發，經過20秒兩人在直道第一次相遇.若鄧教練平

均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？

（注：在同側直道，過兩人所在點的直線與跑道邊線垂直時，稱兩人直道相遇）

【答案】（1）第三圈彎道比第一圈彎道長15米，第八圈長453米;（2）小王的速度為6.79m/s,

老師的速度為13.58m/s.

【分析】（1）根據題意，計算第三圈與第一圈的路程差即可解第一問，根據題中路程公式,

可解得第八圈的路程；

（2）分析兩人在左邊的直道上相遇，且兩人的總路程剛好是第一圈的長度加上兩個半圓賽

道長度的差，小王的速度為nm/s,則老師的速度為2vm/s,列關于"的一元一次方程，解

方程即可解題.

【詳解】解：（1）根據題意得，第三圈彎道比第一圈彎道長：

87x2+2萬（36+1.2x2）-87x2-2%（36+L2xO）=15（米）；

第八圈長：87x2+2萬（36+1.2x7）=453（米）

答：第三圈彎道比第一圈彎道長15米，第八圈長453米.

（2）由于兩人是第一次相遇，教練的速度更快，且是在直道上兩人相遇，

那么兩人一定在左邊的直道上相遇，

兩人的總路程剛好是第一圈的長度加上兩個半圓賽道長度的差：

萬（36+1.2x2）—萬（36+1.2x0）=7.536（米）

設小王的速度為vm/s,則老師的速度為2nm/s

20(v+2v)=400+7.536

/.v=6.79m/s

「.2v=13.58m/s

答：小王的速度為6.79m/s,老師的速度為13.58m/s.

【點睛】本題考查圓的計算、一元一次方程的應用等知識，理解相關路程公式的計算是解題

關鍵.

變式1-4.(2021?江蘇宿遷?統考一模)一塊含有30。角的三角板43c如圖所示，其中NC=90。,

NA=30。，BC=3cm.將此三角板在平面內繞頂點A旋轉一周.

(1)畫出邊8C旋轉一周所形成的圖形；

(2)求出該圖形的面積.

【答案】(1)畫圖見詳解；(2)BC掃過的面積S幽、==9萬.

【分析】(1)由三角板ABC可求AB=2BC=6cm,由勾股定理：AC=

^AB2-BC-=A/36^9=373>邊BC在平面內繞頂點A旋轉一周.圖形是以AB為半徑的圓

去掉以AC為半徑的圓，所形成的圓環，如圖所示；

(2)BC掃過的面積S圓環=萬回2-萬472計算即可.

【詳解】解：(1)：三角板ABC,ZC=90°,ZA=30°,BC=3cm,

AB=2BC=6cm,

，由勾股定理：AC=y/AB2-BC2=V36-9=373>

邊BC在平面內繞頂點A旋轉一周.圖形是以AB為半徑的圓去掉以AC為半徑的圓，所形

成的圓環，如圖所示：

(2)BC掃過的面積S畫環二萬鉆？一萬AC?=36萬一27%=9萬.

【點睛】本題考查畫旋轉圖形，勾股定理，30。直角三角形的性質，圓環面積，掌握畫旋轉

圖形方法，勾股定理，30。直角三角形的性質，圓環面積求法是解題關鍵.

知識點二垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造RtZk,用勾股，求長度；

2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分。

考查題型二利用垂徑定理求解

典例2.（2022?安徽?統考中考真題）已知0。的半徑為7,是。O的弦，點尸在弦A8上.若

B4=4,PB=6,則OP=（）

A.714B.4C.723D.5

【答案】D

【分析】連接。4,過點。作OC，四于點C,如圖所示，先利用垂徑定理求得

AC=BC=^AB=5,然后在R/AAOC中求得oc=2C，再在&APOC中，利用勾股定理即

可求解.

【詳解】解：連接。4,過點。作OCL45于點C,如圖所示，

則AC=BC=—AB,OA=7,

2

:B4=4,PB=6,

AB=R4+PB=4+6=10,

AC^BC^-AB=5,

2

PC=AC-PA=5-4=1,

1

在RrAAOC中，oc=JoA-3=42-52=2",

在RfAPOC中，OP=Joe'+PC?=+12=5,

故選：D

【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的運用，構造直角三角形是解題的關鍵.

變式2-1（2022?四川瀘州?統考中考真題）如圖，A5是。O的直徑，OD垂直于弦AC于點。，

。。的延長線交。。于點E.若AC=40,DE=4,則2C的長是（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【分析】根據垂徑定理求出OD的長，再根據中位線求出BC=2OD即可.

【詳解】設O￡）=x,則。EuCMuDE-ODud-尤.

「AB是。。的直徑，OD垂直于弦AC于點，AC=472

AD=DC=-AC=2.42

2

,。。是△ABC的中位線

：.BC=2OD

,/OA2=OD2+AD2

（4-x）2=￡+（20）2,解得x=i

：.BC=WD=2x=2

故選：C

【點睛】本題考查垂徑定理、中位線的性質，根據垂徑定理結合勾股定理求出。。的長是解

題的關鍵.

變式2-2.（2021?四川涼山?統考中考真題）點P是。。內一點，過點P的最長弦的長為10cm,

最短弦的長為6cm，則OP的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】B

【分析】根據直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是10cm；最短弦即是過點尸且垂直于過

點P的直徑的弦；根據垂徑定理即可求得CP的長，再進一步根據勾股定理，可以求得。尸

的長.

【詳解】解：如圖所示，COLA8于點P.

根據題意，得

AB=10cm,CD=6cm.

.\OC=5,CP=3

?：CD±AB,

：.CP=^CD=3cm.

根據勾股定理，得OP=doc2—CP。=4cm.

故選B.

【點睛】此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理.正確理解圓中，過一點的最長的弦和最短的

弦.

變式2-3.（2021.四川自貢.統考中考真題）如圖，為。。的直徑，弦于點E

OE/AC于點E,若OE=3,OB=5,則CO的長度是（）

A.9.6B.475C.5括D.19

【答案】A

【分析】先利用垂徑定理得出AE=EC,CF=FD,再利用勾股定理列方程即可

【詳解】解：連接OC

'：AB±CD,OELAC

：.AE=EC,CF=FD

\"OE=3,OB=5

：.OB=OC=OA=5

.?.在刈△O4E中

AE=VOA2-OE2=A/52-32=4

：.AE=EC=4

設OF=x,貝I]有AC2-AF2-OC2-OF2

82-（5+X）2=52-X2

X=IA

在RtXOFC中，FC=y]0C2-OF2=752-1.42=4.8

CD=2FC=9.6

故選：A

【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理、方程思想是解題關鍵

變式2-4.（2022?青海?統考中考真題）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心

的圓的一部分，如果C是。。中弦A3的中點,經過圓心。交。。于點。，并且AB=4m,

CD=6m,則QO的半徑長為m.

【答案】y##31

【分析】連接。4,先根據垂徑定理、線段中點的定義可得OCLAB,AC=2m,設。。的半

徑長為nn,則。4=OD=nn,OC=（6-r）m,再在Rt^AOC中，利用勾股定理即可得.

【詳解】解：如圖，連接。4，

??,C是。。中的弦A8的中點，且AB=4m,

:.OC1AB,AC=-AB=2m,

2

設。。的半徑長為rm,則OA=OD=rm,

,/CD=6m,

/.OC=CD-OD=（6-r）m,

在RSAOC中，OC2+AC2=OT,即（6-4+22=產，

解得r=］，

即。。的半徑長為gm,

故答案為：

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵.

變式2-5.（2022?上海?統考中考真題）如圖所示，小區內有個圓形花壇。，點C在弦上,

則這個花壇的面積為.（結果保留萬）

【詳解】解：過點。作OD_LAB于。，連接。8,如圖,

：.AB=AC+BC=32,

：0r>_LA2于。,

：.AD=BD=^AB=16,

：.CD=AD-AC=5,

在HfAOCD中，由勾股定理，得

OD=yJoC2-CD2=，132-52=12,

在RfAOB。中，由勾股定理，得

OB=^BD2+CD2=7162+122=20，

，這個花壇的面積=2()27r=400兀，

故答案為：4007r.

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓的面積，熟練掌握垂徑定理與勾股定理相結合求

線段長是解題的關鍵.

變式2-6.(2022.黑龍江牡丹江.統考中考真題)的直徑CD=10,A8是。。的弦，AB1CD,

垂足為M,OM:OC=3:5,則AC的長為.

【答案】2指或4逐

【分析】分①點M在線段OC上，②點M在線段0。上兩種情況，連接Q4,先利用勾股定

理求出40的長，再在RbACM中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當點M在線段0c上時，連接。4,

???0。的直徑CD=10,

.?@=OC=5,

■：OM.OC^3:5,

3

:.OM=-OC=3,CM=OC-OM=2,

ABLCD,

:.AM=yJo^-OM2=A/52-32=4，

AC=^AM'+CM2="2+2?=2石；

②如圖，當點/在線段0D上時，連接。4,

同理可得：OC=5,OM=3,AM-OM2=4.

:.CM=OC+OM=8,

AC=^]AM2+CM2=A/42+82=475；

綜上，AC的氏為2塢或4A后，

故答案為：2指或46.

【點睛】本題考查了勾股定理、圓，正確分兩種情況討論是解題關鍵.

變式2-7.（2021?廣西河池?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以“（2,3）為圓心,

A8為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A,C兩點，則點8的坐標是.

C

~O

【答案】（4,3-上）

【分析】如圖，連接BC,設圓與x軸相切于點。，連接交BC與點E,結合已知條件,

則可得BCLMO,勾股定理求解進而即可求得3的坐標.

【詳解】如圖，連接BC,設圓與x軸相切于點。，連接血交BC與點E,

C

~oDx

貝IJ"D_Lx軸,

,.?AB為直徑，則NACB=90°,

:.BCYMD,

.?.3C//X軸，

?.?“（2,3）,

：.MB=MD=3,CE=EB=2,

:.ME=dMB2-EB2=打_22=石，CB=4,

DE=MD-ME=3-45,

?.?3C〃x軸，

.-.8（4,3-石）.

故答案為：（4,3-石）.

【點睛】本題考查了圓的性質，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質，勾股定

理，坐標與圖形，掌握以上知識是解題的關鍵.

考查題型三利用垂徑定理求解實際問題

典例3.（2022?湖北鄂州?統考中考真題）工人師傅為檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符

合要求，設計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90。，將形狀規則的鐵球放

入槽內時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求.圖（2）

是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知。。的直徑就是鐵球的直徑，A8是。。的弦，

。切。。于點E,ACLCD,BD±CD,若CZ）=16cm,AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為

（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】c

【分析】連接。4,OE,設OE與AB交于點尸，WAC=BD,AC±CD,BDLCD得四

邊形ABOC是矩形，根據CO與切于點E,OE為。。的半徑得OELCD,OE±AB,

即R4=P8,PE=AC,根據邊之間的關系得R4=8cm,AC=BD=PE=4cm,在R4OAP,

由勾股定理得，PA2+OP2^OA2,進行計算可得。4=10,即可得這種鐵球的直徑.

【詳解】解：如圖所示，連接。4,OE,設OE與A2交于點P,

VAC^BD,ACLCD,BDYCD,

四邊形ABOC是矩形，

與。O切于點E,OE為。。的半徑,

；?OE1CD,OE±AB,

:?PA=PB,PE=AC,

AB=CD=16cm,

PA=8cm,

,/AC=BD=PE=4cm,

在必△OAF,由勾股定理得，

PA2+OP2=OA2

82+（OA-4）2=OA2

解得，OA=10,

則這種鐵球的直徑=2Q4=2x10=20cm,

故選C.

【點睛】本題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是掌握這些知識點.

變式3-1.（2021.貴州黔東南.統考中考真題）小明很喜歡鉆研問題，一次數學楊老師拿來一

個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在園的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB,

量的弧A8的中心C到AB的距離CZ）=1.6cm,AB=6Acm,很快求得圓形瓦片所在圓的半

徑為cm.

【分析】圓的兩弦的中垂線的交點，就是圓心；連接AC,作AC的中垂線，與直線的

交點就是圓心，已知圓心即可作出圓；連接圓心與A,根據勾股定理即可求得半徑.

,：CD是弦AB的垂直平分線,

AD=-AB^3.2,

2

設圓的半徑是r.在直角△A。。中，AO=r,AD=3.2,DO=r-1.6.

根據勾股定理得，r2=3.22+（r-1.6）2,