2024—2025學年度高三年級九月份質量監測數學試題【注意事項】1.本試卷全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必將自己的姓名、班級、考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.3.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，填空題和解答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對應框內，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.第Ⅰ卷選擇題（58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，,則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由已知得，因為，所以，故選A．2.已知復數，其中為虛數單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數的除法運算化簡，找到共軛復數即可.【詳解】結合題意：，所以.故選：B.3.下列函數在定義域中既是奇函數又是減函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據指對冪函數的性質依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，函數為奇函數，在定義域上無單調性，故錯誤；對于B選項，函數為奇函數，當時，為減函數，故函數在定義域內為減函數，故B正確；對于C，由于函數均為增函數，故在定義域內為單調遞增函數，故C錯誤；對于D選項，函數為非奇非偶函數，故錯誤.故選：B4.已知下列四個命題：：設直線是平面外的一條直線，若直線不平行于平面，則內不存在與平行的直線.：過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行.：如果直線和平面滿足，那么.：設均為直線，其中在平面內，則“”是“且”的充分不必要條件.其中真命題的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據線面平行的性質和判斷定理可判斷、、的正誤，根據線面垂直的判斷定理可判斷的正誤.【詳解】對于，因為直線不平行于平面，故與相交，若內存在與平行的直線，由線面平行的判斷定理可得，矛盾，故正確.對于，過直線外一點，有無數個平面與這條直線平行，故錯誤.對于，如果直線和平面滿足，則異面或相交或平行，故錯誤.對于，若，因為在平面內，則且，但若且，在相交的條件下才有，故是且的充分不必要條件，故正確.故選：B.5.的展開式中的系數是（）A.﹣10 B.0 C.10 D.30【答案】C【解析】【分析】根據乘法的分配律以及二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，含的項是，所以的系數是.故選：C6.平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態.若與的夾角為45°，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據,先求得，再由，即可求解.【詳解】∵三個力平衡，∴，∴.設與的夾角為，則，即，解得故選：A7.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+【答案】D【解析】【分析】根據導數的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數的導數為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.8.已知矩形（）的周長為12，把沿向折疊，折過去后交于點.當的面積取最大值時，的長度為（）A.3 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據題意設，用表示，以及面積，結合基本不等式即可求得結果【詳解】由題意可知，矩形的周長為12，，即，設，則，而為直角三角形，∴，∴，∴，∴.當且僅當，即時，此時，滿足，即時，面積.取最大值.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的部分圖像如圖所示，則（）A.B.的圖像關于點對稱C.的圖像關于直線對稱D.函數為偶函數【答案】ABC【解析】【分析】首先根據得到，根據得到，根據得到，從而得到，再依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，，，所以.因為，所以，，.又因為，所以，，.因為，所以，即，故A正確.對選項B，令，解得，，所以的圖像關于點對稱，故B正確.對選項C，令，解得，，所以的圖像關于直線對稱，故C正確.對選項D，，因為，定義域為，，所以為奇函數，故D錯誤.故選：ABC10.已知a，，有一組樣本數據為，3，，，8，10，，12，13，若在這組數據中再插入一個數8，則（）A.平均數不變 B.中位數不變 C.方差不變 D.極差不變【答案】AD【解析】【分析】求出樣本數據的平均數，判斷A的真假；令取特殊值，驗證B的真假；利用方差的計算公式求方差判斷C的真假；因為8不是最值，所以插入8不影響極差，可判斷D的真假.【詳解】對于A選項，原數據的平均數為8，插入一個數8，平均數不變，正確；對于B選項，取，，原數據的中位數為9，新數據的中位數為8.5，錯誤；對于C選項，新數據的方差為，錯誤；對于D選項，因為，所以8不是最值，故新數據的極差不變，正確．故選：AD11.如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（）A.直線平面B.棱與平面所成角的正切值為C.若平面，則動點Q的軌跡是一條線段D.若，那么Q點的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】以為坐標原點建立坐標系，用空間坐標求解A,，B選項;對C，D選項:設，根據條件求出滿足的方程,判斷其軌跡即可.【詳解】以為坐標原點，以分別為軸建立坐標系，則設平面的法向量，由得，令得，所以取，因為，故，所以直線平面，故A正確;對B:設與平面所成角為，則，所以，故B錯誤;對C:設平面的法向量，由得，令得，所以取，因為Q為正方形內一動點（含邊界），設，因為平面，所以，即，令得，此時為棱的中點，令得，此時為棱的中點，在正方形內的軌跡為線段，故C正確;對D:由得，即，在正方形內的軌跡為以為圓心，半徑為的四分之一圓周，那么Q點的軌跡長度為，故D正確.故選:ACD【點睛】對空間幾何中的軌跡或最值問題求解時可以建立空間直角坐標系,幾何關系轉化為代數關系,可從方程上判斷軌跡形狀,從函數的角度求最值.第Ⅱ卷非選擇題（92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數列的前n項和為，則______.【答案】81【解析】【分析】運用等差數列的性質公式計算即可.【詳解】根據題意，知道，則，則，若公差為，所以，則.故則.故答案為：8113.已知拋物線、分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，且與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則b＝______.【答案】【解析】【分析】根據題意可知，，根據題意，列出方程求解即可.【詳解】如圖所示，因為拋物線所以，因為拋物線的準線過雙曲線的左焦點，所以，所以，又因為雙曲線的一條漸近線，所以，因為，所以即，化簡得，又因為，聯立解得故答案為：.14.已知實數，滿足，，則______.【答案】【解析】【分析】由已知條件考慮將兩個等式轉化為統一結構形式，令，得到，研究函數的單調性，求出關系，即可求解.【詳解】實數，滿足，，，，則，，所以在(0,+∞)單調遞增，而，.故答案為:.【點睛】本題考查函數單調性應用，換元法是解題的關鍵，構造函數是難點，屬于中檔題.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在銳角中，a，b，c分別為內角A、B，C的對邊，且.（1）求A的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助正弦定理將角化邊后，借助余弦定理計算即可得；（2）由為銳角三角形可得角的范圍，再借助三角恒等變換化簡后計算即可得.【小問1詳解】由題及正弦定理得：，即，則，∵，∴；【小問2詳解】由為銳角三角形知，，故，則，有，即，故的取值范圍為.16.如圖，AB是圓的直徑，MA與圓所在的平面垂直，C是圓上不同于A、B的一點.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平面可得，結合是圓的直徑可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得平面平面；（2）法一：可建立適當空間直角坐標系，并分別求出平面與平面法向量，借助空間向量夾角公式計算；法二：作于，作于，連接，借助線面垂直的判定定理與性質定理可得到為二面角的平面角，從而只需計算出即可得解.【小問1詳解】∵平面，平面，∴，∵是圓的直徑，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；【小問2詳解】法一：如圖，建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，則有，令，得，設平面的法向量，則有，令，得，則，，二面角的正弦值為.法二：作于，作于，連接，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，、平面，∴平面，∵平面，∴，∴為二面角的平面角，，∵平面，平面，∴，，∵平面，平面，∴，，則，二面角的正弦值為.17.已知函數，.（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）求函數的單調區間；（3）當時，證明：.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由導數的幾何意義求解即可；（2）求導可得，分情況討論：當時，f′x>0恒成立，得的增區間為0,+∞；當，由f′x>0，得增區間，由f′（3）由題意得到函數，要證明，只需證明，再利用導數求出即可得證.【小問1詳解】，由曲線y=fx在點1,f1處的切線與直線，.【小問2詳解】的定義域為，當時，f′x>0，在0,+當時，由，得.當時，f′x>0，當時，f′x<0，綜上：當時，在0,+∞上是增函數；當時，在單調遞增，在單調遞減.【小問3詳解】當時，，令，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.，∴.【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數y=fx，y=gx，，構造函數，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故.18.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為，且該橢圓過點，直線l交橢圓E（1）求橢圓E方程；（2）若AB的中點坐標為，求直線l的方程；（3）若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點R為線段PQ的中點，求證：四邊形ARQF為梯形.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用點差法求得直線的斜率，進而求得直線的方程.（3）聯立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數關系，計算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.【小問1詳解】由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.【小問2詳解】設Ax1,y且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.【小問3詳解】由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.【點睛】關鍵點點睛：根據已知條件求得，和是兩個未知參數，要求出兩個參數的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的右焦點以及橢圓所過點”兩個已知條件，再結合即可求得，從而求得橢圓的標準方程.19.某汽車公司最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程（理論上是指新能源汽車所裝載燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現對測試數據進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）由頻率分布直方圖計算得樣本標準差s的近似值為49.75.根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程X近似地服從正態分布，其中μ近似為樣本平均數，σ近似為樣本標準差S.（ⅰ）利用該正態分布，求；（ⅱ）假設某企業從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續航里程位于區間（250.25，399.5）的車輛數，求E（Z）；參考數據：若隨機變量ξ服從正態分布，則，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在x軸上從原點O出發向右運動，已知硬幣出現正、反面的概率都，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車向右移動兩個單位，直到遙控車移到點（59，0）（勝利大本營）或點（60，0）（失敗大本營）時，游戲結束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可