第02講全等三角形的判定

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握全等三角形的幾種判定方法。

①全等三角形的判定2.掌握直角三角形的判定方法。

②直角三角形的全等判定3.能夠熟練運用全等三角形的判定方法判定全等。

4,對全等三角形的應用

思維導圖

邊邊邊（SSS）

知識點01邊邊邊（SSS）判定全等

1.概念：

分別對應相等的兩個三角形全等。

2.數學語言：

如圖：在△ABC與4DEF中：

AB=DE

<AC=DFAAABC^ADEF（SSS）O

BC=EF

F

1

題型考點：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學即練1】

1.如圖，已知AB=DC,若用定理SSS證明△/BC之△DC2,則需要添加的條件是(

A.OA=ODB.AC=DBC.OB=OCD.BC=CB

【即學即練2】

2.如圖，在和△48。中，CD=BD,AC=AB.求證:△ACD沿LABD.

知識點02邊角邊(SAS)判定全等

1.概念：

對應相等的兩個三角形全等o

2.數學語言：

如圖：在△ABC與4DEF中：

AB=DE

<NA=ND

AC=DF

.,.△ABC^ADEFO

題型考點：①添加全等判定條件。

②全等判定。

2

【即學即練11

3.如圖，在△48尸和中，點E、F在BC上,AF=DE,/AFB=NDEC,添加下列一個條件后能

用“S/S”判定尸且△OCE的是（）

C.N4=NDD.AB=DC

【即學即練2】

4.如圖，點。在線段BE上，AB//CD,AB=DE,BD=CD.△48。和△EDC全等嗎？為什么？

知識點03角邊角（ASA）判定全等

1.概念：

對應相等的兩個三角形全等O

2.數學語言：

如圖，在△ABC與4DEF中：

Z=ND

<AB=DE

ZB=NE

.'.△ABC^ADEFO

題型考點：①添加全等判定條件。

②全等判定。

3

【即學即練11

5.如圖，點3,F,C,E在同一直線上，AC=DF,Nl=/2,如果根據“4SL4”判斷△/BC以ADEF,那

么需要補充的條件是（）

A.AB=DEB.ZA=ZDC.BF=CED.NB=/E

【即學即練2】

6.（2023春?東明縣期末）如圖，點尸、C是4D上的兩點，且BC〃EF,AB//DE,AF=DC,求證：AABC

空XDEF.

知識點04角角邊（AAS）判定全等

3.概念:

________________________________對應相等的兩個三角形全等。

4.數學語言：

如圖，在△ABC與aDEF中：

Z=ZD

<NB=NE

BC=EF

.'.△ABC^ADEFo

題型考點：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學即練1】

4

7.如圖，己知/1=N2,若用“44S”證明△/C2之△3D4,還需加上條件（

A.AD=BCB.BD=ACC./D=/CD.ZDAB^ZCBA

【即學即練2】

8.如圖，在△/BC中,N￡>_L3C于點D,于￡.4D與BE交于F,若BF=AC,求證：△/。。名

△BDF.

知識點05直角三角形的直角邊與斜邊（HL）判定全等

5.概念:

直角三角形的對應相等的兩個三角形全等=

6.數學語言：

如圖：在RtZ\ABC與Rt^DEF中:

AC=DF

'AB=DE

：.RtAABC^RtADEFo

題型考點：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學即練1】

5

9.如圖，DCLAE,垂足為C,且NC=CD,若用“HL”證明△/BC0△DEC,則需添加的條件是（）

A.CE=BCB.AB=DEC.ZA=ZDD./ABC=/E

【即學即練2】

10.如圖所示，在△A8C中，CBLAB,NB/C=45°，下是延長線上一點，點/在8c上，且/E=CF.求

證：RtAABE義RtACBF.

尋找全等判定條件的方法總結:

題型精講

6

題型01補充判定全等的條件

【典例1】

如圖，/A=/D,BC=EF,要得到△48。^△。匹R只需添加（)

A.AC=DFB./E=/BC.AB=DED.DE//AB

【典例2】

不能使的條件（)

C./C=/DD./B=/E

【典例3】

如圖，Z1=Z2,下列條件中不能使△45。之△4CQ的是（

A.AB=ACB./B=/CC.ZADB=ZADCD.DB=DC

【典例4】

如圖,已知/E=/C,/C=NE,下列條件中，無法判定△NBC且△4DE的是（)

E

A.NB=/DB.BC=DEC.Z1=Z2D.AB=AD

【典例5】

如圖，在△/2C和△。斯中，如果4B=Z）E,BC=EF.在下列條件中不能保證的是（)

7

AD

A.NB=/DEFB./A=NDC.AB//DED.AC=DF

【典例6】

如圖，若要用“應”證明以孔△/2D,則還需補充條件（）

A.ZBAC=ZBADB.AC=AD或BC=BD

C.NABC=NABDD.以上都不正確

題型02全等三角形的判定證明

【典例1】

如圖，點3,E,C,廠在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=CF.求證：4ABC會4DFE.

【典例2】

如圖，在四邊形中，8。平分N/DC,點￡在線段8。上，ZA=ZDEC=90°,AB=CE.求證：△

ABD烏AECD.

【典例3】

如圖，AB=AD,AC平分/BAD.求證：△48C也△4DC.

【典例4】

如圖，ZC=ZE,點。在3c邊上，BC=DE,Z1=Z2,NC和。￡相交于點。.求證：AABC出AADE.

【典例5】

已知：如圖，ZA=ZB,AE=BE,Z1=Z2,點。在/C邊上.

9

求證：AAEC之ABED.B

題型03全等三角形的判定與性質

【典例1】

已知銳角△/BC中，ZABC=45°,于點。，3￡_L/C于點尸，交4D于點E.

(1)求證：△BDE2△4DC；

(2)若BD=8,DC=6,求線段斯的長度.

【典例2】

如圖，四邊形中，BC=CD,AC=DE,AB//CD,ZB=ZDCE=90°,NC與。￡相交于點尸.

(I)求證：LABC%LECD；

(2)判斷線段/C與DE的位置關系，并說明理由.

【典例3】

如圖所示，在△4BC中，于D,CE_LAB于E,AD與CE交于點、F,且4D=CD.

Cl)求證：△48。之△CFD；

(2)已知3C=7,AD=5,求4F的長.人

BD

【典例4】

如圖，點3、F、C、￡在一條直線上，OA=OD,AC//FD,4D交BE于。.

(1)求證：△NCO0ZXDFO；

D

⑵若BF=CE.求證：AB//DE.

【典例5】

已知：△/8C是等腰三角形，CA=CB,0°<N/C8W90°.點M在邊/C上，點N在邊2C上（點M、

點N不與所在線段端點重合），BN=AM,連接NN,BM,射線NG〃3C,延長3M交射線ZG于點

點E在直線/N上，且/￡=￡>￡.

（1）如圖，當//CB=90°時；

①求證：ABCM沿AACN；

②求NBDE的度數；

（2）當//CB=a,其它條件不變時，的度數是.（用含a的代數式表示）

BNC

備用圖備用圖

題型04全等三角形的應用

【典例1】

12

王強同學用10塊高度都是2c加的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進

一個等腰直角三角板（AC=BC,N4CB=90°），點。在。E上，點4和2分別與木墻的頂端重合.則

兩堵木墻之間的距離是（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.25cm

【典例2】

如圖，要測量小金河兩岸相對的/、8兩點之間的距離，可以在與垂直的河岸8b上取C、D兩點，且

使3C=CO.從點。出發沿與河岸AF垂直的方向移動到點￡,使點/、C、￡在一條直線上.若測量DE

的長為28米，則/、8兩點之間的距離為28米.

【典例3】

小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置/處，。/與地面垂直，兩腳在地面上用力一

蹬，媽媽在距地面1"?高的2處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她.若媽媽與爸爸到04的水平距

離BD、CE分別為1.4根和1.8m,ZBOC=90°.爸爸在C處接住小麗時，小麗距離地面的高度是（）

【典例4】

如圖，一個等腰直角三角形零件放置在一凹槽內，頂點4.B.。分別落在凹槽內壁上，測得4D=5c〃z,BE

=9cm,則該零件的面積為（）

A.14C.98D.196

強化訓練

1.如圖，已知N5C4=N5A4=90°,BC=BD.則證明△A4C之的理由是（）

13

A

A.SASB.ASAC.AASD.HL

2.如圖，點/、8分別在。C、。。上，與3c相交于點E,OA=OB,OC=OD,ZO=40°,Z￡>=20°,

則N4BC等于（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

3.如圖，在四邊形/BCD中，對角線/C,8。相交于點。，且CU=OC,OB=OD.下列結論不一定成立

A.AD=BCB.AB//CDC.ZDAB=ZBCDD.NDAB=/ABC

4.如圖，在△/BC中，ZACB=90°,按如下步驟操作：①以點N為圓心，任意長為半徑作弧，分別交

AC,AB于D,￡兩點；②以點C為圓心，AD長為半徑作弧，交NC的延長線于點尸；③以點尸為圓

心，OE長為半徑作弧，交②中所畫的弧于點G；④作射線CG,若48=40°,則/FCG為（）

5.在△48C中，AB=AC,AB>BC,點。在邊上，CD=2BD,點、E、尸在線段4D上，/1=/2=N

BAC,若△/8C的面積為18,則△/CF與△ADE的面積之和是（）

14

6.如圖，40和CE是△48C的高，交于點R且20=尸。=4,CO=7,則/尸的長為)

A.3B.4C.5D.6

7.在直線/上依次擺放著七個正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3,正放

8.在學習完“探索三角形全等的條件”一節后，一同學總結出很多全等三角形的模型，他設計了以下問題

給同桌解決：如圖，做一個字形框架B42。，其中48=42cm,AP,2。足夠長，PALAB^A,QB

工48于點2,點M從8出發向/運動，同時點N從2出發向0運動，使M,N運動的速度之比3：4,

當兩點運動到某一瞬間同時停止，此時在射線/尸上取點C,使4ACM與4BMN全等,則線段NC的長

24cmC.18c冽或28c加D.18c冽或24c冽

9.如圖，已知：4D與BC交于O點、,0A=0B,要使△/0C0△2。。，添加一個你認為合適的條件為

15

AB

10.在測量一個小口圓形容器的壁厚（厚度均勻）時，小明用“X型轉動鉗”按如圖方法進行測量，其中

OA=OD,OB=OC,測得NB=3c/,EF=5cm,圓形容器的壁厚是cm.

11.如圖，△48C中，ZC=90°,AD平分ABAC交BC于點、D,交的延長線于點￡,DFL

4B交4B于點、F.若BF=BE,AC=4,DF=3.則/￡的長為.

12.如圖，AB=1cm,AC=5cm,NCAB=/DBA=60°,點P在線段4g上以2c加/s的速度由點/向點3

運動，同時，點。在射線8。上運動速度為xc%/s,它們運動的時間為f（s）（當點P運動結束時，點。

運動隨之結束），當點尸，。運動到某處時，有A