第13章軸對稱講義-數學八年級上冊人教版

知識梳理

.

一、知識框架:

等腰三角形等邊三角形

生

活軸對稱|作圖形的對稱則

中

的

對

稱

作軸對稱圖形

軸對稱變換|

二、知識梳理：

1.基本概念：

⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.

⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一

個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱.

⑶線段的垂直平分線：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這

條線段的垂直平分線.

⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫

做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做

底角.

⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.基本性質：

⑴對稱的性質：

①不管是軸對稱圖形還是兩個圖形關于某條直線對稱，對稱軸都是任何一

對對應點所連線段的垂直平分線.

②對稱的圖形都全等.

⑵線段垂直平分線的性質：

①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

②與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

⑶關于坐標軸對稱的點的坐標性質

①點P(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為P'(x,-y).

②點P(x,y)關于y軸對稱的點的坐標為P"(-x,y).

⑷等腰三角形的性質：

①等腰三角形兩腰相等.

②等腰三角形兩底角相等(等邊對等角).

③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.

④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一(1條).

⑸等邊三角形的性質：

①等邊三角形三邊都相等.

②等邊三角形三個內角都相等，都等于60°

③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.

④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一(3條).

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對

等邊).

⑵等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

②三個角都相等的三角形是等邊三角形.

③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直線的垂線：

⑵做已知線段的垂直平分線：

試卷第2頁，共12頁

⑶作對稱軸：連接兩個對應點，作所連線段的垂直平分線.

⑷作已知圖形關于某直線的對稱圖形：

⑸在直線上做一點，使它到該直線同側的兩個已知點的距離之和最短.

A

典例分析

9

1.如圖，在VABC中，ZA=50°,ZC=65°,AB=12,3c=10,OE垂直平分AB交AC、

AB于E、。兩點.求ABCE的周長.

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握

相關的知識.先根據三角形的內角和求出加。=65。，推出AC=AB=12,再根據線段垂直

平分線的性質，得至1］班=他，即可求解.

【詳解】解：：在VA3C中，ZA=50°,ZC=65°,

ZABC=180°-ZA-ZC=180o-50o-65o=65°,

ZABC=ZC=65°,

AC=AB=12,

■：垂直平分AB,

BE=AE,

：.ABCE的周長為：BE+CE+BC^AE+CE+BC^AC+BC^12+10^22.

2.如圖，在VABC中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE相交于P點，BQ±AD于

Q,求證：

Q)BP=2PQ.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，三角形全等的判定和性質，三角形外角性質,

直角三角形的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

(1)根據等邊三角形的判定與性質，結合三角形全等的判定定理證明即可.

(2)根據全等三角形的性質，三角形外角性質，直角三角形的性質，證明即可.

【詳解】(1)證明：=

...VABC是等邊三角形，

ZABC=ZBCA=ZCAB=60°,

AB=CA

■：<NEAB=NDCA,

AE=CD

AABERCAD.

：.ZABE=ZCAD；

(2)證明：；ZDAC=/EBA,ZAPE=ZABE+ZBAQ,

：.ZAPE=ZBAQ+ZDAC=ZBAE=60°,

ZBPQ=ZAPE=60°,

BQLAD,

：.ZQBP=30°,

：.BP=2PQ.

3.在直角坐標系中，AABO的頂點坐標分別為。(0,0)、A(2a,0)、8(0-?),線段砂兩端

點坐標為(-根，。+1),,(2a>m>a).直線/〃y軸交x軸于尸(a,0),且線段EF與CD

試卷第4頁，共12頁

關于y軸對稱，線段CD與NM關于直線/對稱.

5KI

(1)求點MM的坐標(用含機，。的式子表示).

(2)AABO與通過平移能重合嗎？能與不能都要說明其理由，若能請你說出一個平移

方案(平移的單位數用加、。表示).

【答案】(1)Af(2a-m,a+1),N(2a-zn,1)；

(2)能重合，理由和方案見解析.

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化，解題時注意：關于y軸對稱的兩點，縱坐標相等,

橫坐標互為相反數；向上平移時，縱坐標增加，向左平移時，橫坐標減小.

(1)先根據跖與co關于y軸對稱，得到斯兩端點坐標，再設CD與直線/之間的距離為

X,根據CD與關于直線/對稱，/與y軸之間的距離為a,求得M的橫坐標即可；

(2)先判定AAB0MFE,得出AABO與AMFE通過平移能重合，再根據對應點的位置，

寫出平移方案即可.

【詳解】(1)???￡F與C。關于y軸對稱，斯兩端點坐標為(-，“，”+1),尸(-犯1),

/.C(m,tz+l),D(m,l),

設CO與直線/之間的距離為X,

?.?CZ)與關于直線/對稱，/與V軸之間的距離為。，

:.MN^y軸之間的距離為a-x,

x=m—a9

:.M的橫坐標為。一(機一〃)二2々一機,

二.M(2a-m,a+Y),N(2a—m,1)；

(2)能重合.

EM=la-m-(-m)=2a=OA,EF=a+l-l=a=OB

又?：EF〃y軸，石以〃入軸，

:.ZMEF=ZAOB=90°,

“ABO名AMFE（SAS）,

\V4?O與AMFE通過平移能重合.

平移方案：將AABO向上平移（。+1）個單位后，再向左平移機個單位，即可重合.

1

精選好題

一、單選題

1.“甲骨文”是中國的一種古老文字，又稱“契文”“殷墟文字”.下列甲骨文中，一定不是軸

對稱圖形的是（）

B.

D.

2.下列說法中正確的是（）

A.兩個全等的三角形是關于某直線對稱的軸對稱圖形

B.兩個全等的等腰三角形是關于某直線對稱的軸對稱圖形

C.關于某直線對稱的兩個三角形是全等形

D.關于某直線對稱的兩個三角形，不一定是全等形

3.如圖，在等腰直角NABC中，。，E是斜邊BC上兩點，BE=BA,CD=CA,則

NDAE的度數（）

試卷第6頁，共12頁

A

C.60°D.75°

4.如圖，在邊長為1的正方形網格中，將AABC先向右平移兩個單位,再關于x軸對稱得

到AA'MC,則點?的坐標是（）

C.（2,-1）D.

5.如圖，VABC的面積等于6,邊AC=3,現將VABC沿AB所在直線翻折，使點C落在

直線AD上的C'處，點尸在直線AD上，則線段3尸的長不可能是（）

A.3B.4C.5.5D.6

6.如果點尸（21）和點。（〃，-3）關于直線％=1（平行于y軸的直線，直線上的每個點的橫坐

標都是1）對稱，貝的值是（）

A.-3B.1C.-5D.5

7.如圖，已知NMQV=30。，點吊出小…在射線ON上，點耳,鳥，員…在射線上，

△A與4、△4為4、員4…均為等邊三角形，若。4=1,貝！）44線4的邊長為（）

M

4A2A3A4

A.32B.510C.256D.64

8.如圖，已知AC平分CE義AB于E,AB^AD+2BE,則下列結論：①

AB+AD=2AE；②NZMB+/OCB=180。；③CD=CB；?SAACE-2SABCE=;其中正

確結論的個數是（）

二、填空題

9.點4（3,-2）關于x軸對稱的點的坐標是

10.VABC是等邊三角形，△DBC是等腰直角三角形，且點。與點A在BC的同側，連接AD,

則ZADB的度數為.

11.己知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示,如果△A'3'C與VABC關于了軸對稱,

那么點A的對應點4的坐標為.

12.如圖，VABC的周長為24,AC的垂直平分線交BC于點垂足為E,若AE=3,則

△ADB的周長是_____________________

試卷第8頁，共12頁

E

B/DC

13.如圖，力D為等腰VABC的高，其中NACB=a,AC^BC,ZBAD=（用含a

的代數式表示）；E,b分別為線段A。，AC上的動點，且AE=CF,當a=50。且8尸+CE取

最小值時，NAFB的度數為.

14.如圖，在VABC中，AB=AC,NA3C=NACB=50。，點尸是VABC內一點，PA=PB

且NP3C=10。，/PCS=30°,則-13的度數為.

15.如圖，力B的中垂線交BC于點D,AC的中垂線交BC于點E,若BC=8cm,

16.如圖1,VABC和VAZ）E是等邊三角形，連接3。，CE交于點F.

D

(2)一班C的度數為°.

三、解答題

17.在VABC中，AB=AC,AE是BC邊上的高，23的平分線與AE相交于點D,求

證：點。在—ACB的平分線上.

18.如圖，在VABC和ADBC中，ZA=ZD=90°,AB=DC,求證：AEBC是等腰

三角形.

試卷第10頁，共12頁

19.如圖，在VA3C中，AB^AC,A。，3c于點。.

F

⑴若NC=42。，求154。的度數.

⑵若點E在邊A3上，EF〃AC交AO的延長線于點足求證：AE=FE.

20.如圖都是3x3的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，A,B,C均為格點.在

給定的網格中，按下列要求畫圖.

(1)在圖①中，畫一條不與2B重合的線段MN,使與4B關于某條直線對稱，且M,N為

格點.

(2)在圖②中，畫一條不與AC重合的線段尸。，使尸。與AC關于某條直線對稱，且尸，。為

格點.

(3)在圖③中，畫一個ADEF,使ADEF與AABC關于某條直線對稱，且。，E,歹為格點.

21.如圖，在等邊VABC中，ZBAC./ABC的平分線交于點。，MD、AE分別垂直平分

。4、OB,垂足分別為￡＞、E.求證：AM=MN=NB.

22.如圖，在等腰直角三角形ABC中,ZACB=90°,。為8C的中點，DE±AB,垂足為

E,過點B作8尸〃AC,交OE的延長線于點尸，連接CF,與AD交于點G.

⑴求證：AD1CF；

(2)連接AF,試判斷△ACF是否為等腰三角形，并說明理由.

試卷第12頁，共12頁

參考答案:

題號12345678

答案DCBDAAAC

1.D

【分析】本題考查了軸對稱圖形“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全

重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形”，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題關鍵.根據軸對

稱圖形的定義逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，則此項不符合題意；

B、是軸對稱圖形，則此項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，則此項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，則此項符合題意；

故選：D.

2.C

【分析】此題主要考查了軸對稱圖形的應用.根據軸對稱的定義:兩個圖形沿一條直線對折，

直線兩旁的部分能完全重合，那么這兩個圖形成軸對稱進行判斷即可.

【詳解】解：A、兩個全等的三角形不一定是關于某直線對稱的軸對稱圖形，本選項不符合

題意；

B、兩個全等的等腰三角形不一定是關于某直線對稱的軸對稱圖形，本選項不符合題意；

C、關于某直線對稱的兩個三角形是全等形，本選項符合題意；

D、關于某直線對稱的兩個三角形，一定是全等形，本選項不符合題意；

故選：C.

3.B

【分析】根據等腰直角三角形的性質得到=AGZB=ZC=45°,44c=90°,結合角的關

系求得=4c=45。，即可作答.本題考查了等腰三角形的性質，

三角形的內角和，正確的識別圖形是解題的關鍵.

【詳解】解：5c是等腰直角三角形

：.AB=AC,ZB=ZC=45°,ZBAC=9Q°,

-.BE=BA,CD=CA,

ZBAE=ZAEB=|x(180°-45°)=67.5°,NCAD=NCDA=|x(180°-45°)=67.5°,

答案第1頁，共14頁

則Z.DAE=Z.BAE+Z.DAC-ABAC=45°,

故選：B.

4.D

【分析】本題考查圖形與坐標，平移特征，軸對稱性質，掌握圖形與坐標，平移特征，軸對

稱性質是解題關鍵.根據圖形先求點8坐標，利用平移左減右加求出點坐標，再根據關于x

軸對稱橫坐標不變，縱坐標互為相反數的求出坐標即可.

【詳解】解：根據題意得點向右平移2個單位（1』），

則（L1）關于x軸對稱的點的坐標是,

故選D.

5.A

【分析】本題考查角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題關鍵.過8作BNJLAC于N,

即/，4。于河，根據折疊得出NC'AB=NC4B,根據角平分線性質得出=接下

來根據三角形的面積求出3N,即可得出點8到AD的最短距離.

【詳解】解：過3作3NLAC于N,于

1■?將VA3C沿AB所在直線翻折，使點C落在直線上的C處,

.■.ZC'AB=ZCAB,

:.BN=BM.

?.?△ABC的面積等于6,AC=3,

：.-xACxBN=6,

2

:.BN=4,

:.BM=4,即點8到的最短距離是4,

二8P的長不可能為3.

故選：A

6.A

【分析】本題考查軸對稱的坐標變換，掌握關于平行于y軸的直線對稱點的坐標變換規律是

答案第2頁，共14頁

解題的關鍵.

根據軸對稱的性質可得關于直線X=1對稱的兩點，到直線X=1的距離相等，縱坐標相等.據

此得至打―b=-3,即可求得。、b值，即可求解.

【詳解】解：：點P（2,3和點。（。,-3）關于直線x=l對稱，

2—1=1—a,b=-3,

解得：〃=0,

??a~\~b=—3,

故選：A.

7.A

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據已知得出

43員=444,AE=8與4,A&=16與4進而發現規律是解題關鍵.根據等腰三角形的性

質以及平行線的性質得出4瓦”4與114%以及4坊=244,得出4員=叫4=4,

44線=8耳4=8,A&=1644…進而得出答案.

△444是等邊三角形,

.?.A］耳=4耳，N3=N4=/12=60。,

/.Z2=120°,

???NMON=30。，

N1=180。—120。—30°=30°,

又?.?N3=60。，

.\Z5=180o-60°-30o=90°,

???NMON=N1=30。，

OAj=A4=1,

答案第3頁，共14頁

/.4耳=1,

?.?△4與4、△4與人是等邊三角形,

.../n=/10=60。，Z13=60°,

?.?N4=N12=60。，

44〃4芻〃人員，44〃與4,

...Nl=N6=N7=30。，N5=N8=90。，

44=244,B3A3=232A3,

/.=444=4,

4鳥=8耳4=8,

A氏=1654=16,

以此類推：的邊長為2片，

,AAAA7的邊長為：26T=32.

故選：A

8.C

【分析】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性

質.熟練掌握角平分線，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵.

如圖，在48上取點尸使AF=AD,證明AE4c/AR4c(SAS),則CE>=CF,ZD=ZAFC,

由/1B=AD+2BE=AF+EE+BE,可得FE=BE,進而可得CF=BC,則CD=CB,

NCFB=ZB,可判斷③的正誤；由NCFB+NAFC=180。，可得/3+/。=180。，進而可得

ZZMB+ZDCB=I8O0,可判斷②的正誤；AB+AD=2AF+2EF=2AE,可判斷①的正誤；由

S"FC，可得SAACE_S&BCE=S/XACE~^ACEF=^AAFC=^AADC，可判斷④

的正誤.

【詳解】解：如圖，在上取點/使AF=AD,

答案第4頁，共14頁

,/AC平分/ZMB,

AFAC=ADAC,

VAC=AC,AFAC=ADAC,AF=AD,

：.△用C%ZMC（SAS）,

：.CD=CF,ND=ZAFC,

,/AB=AD+2BE=AF+FE+BE,

FE=BE,

,：CE1AB,

：.CF=BC,

:.CD=CB,ZCFB=ZB,③正確，故符合題意；

??ZCFB+ZAFC=180°,

,ZB+ZD=180°,

/.ZZMB+ZDCB=360°-（ZB+ZD）=180°,②正確，故符合題意；

AB+AD=AF+EF+BE+AF=2AF+2EF=2AE,①正確，故符合題意；

?SgCE=S&CEF，S/kADC=^AAFC，

：?S/^cE—SMCE=S/^ACE一S&CEF=S^FC=S42C，④錯誤,故不符合題意；

綜上：正確的有①②③，共3個，

故選：C.

9.（3,2）

【分析】本題主要考查了關于x軸對稱的點的坐標特點，關于x軸對稱則橫坐標不變，縱

坐標為相反數即可求解.

【詳解】解：點人（3,-2）關于苫軸對稱的點的坐標是（3,2）,

故答案為：（3,2）.

10.75°或135。或30。

【分析】本題主要考查了等邊三角形和等腰直角三角形的性質，利用分類討論思想解答是解

題的關鍵.分三種情況：當C。為斜邊時；當8D為斜邊時，當BC為斜邊時，結合等邊三角

形和等腰直角三角形的性質，即可求解.

答案第5頁，共14頁

【詳解】解：：VABC是等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=ABAC=60°,AB^BC=AC,

根據題意分三種情況：

①如圖，當C。為斜邊時，BD=BC,NCBD=90°,

；BD=BC=AB,ZABD=ZDBC-ZABC=90°-60°=30°.

ZADB=1(180°-ZABD)=1x(180°-30°)=75°.

②如圖，當BO為斜邊時，/BCD=90。，NBDC=45。,BC=CD

則CD=8C=AC,ZACD=ZDCB-ZACB=90°-6CP=30°.

4

ZA￡)C=((180°-/AC。)=；x(180°-30°)=75°.

ZADB=ZADC-ZBDC=15°-45°=30°.

③如圖，當BC為斜邊時，ZDBC=45°,BD=CD,

貝U/ABD=/ABC-/DBC=60°-45°=15°.

VBD=CD,AB=AC,AD=AD,

：.AABD^AACD.

/.ABAD=ACAD=-ABAC=30°.

2

ZADB=1800-ZBAD-ZABD=1SO°-30°-15°=135°.

故答案為：75。或135。或30。.

11.(4,2)

答案第6頁，共14頁

【分析】本題考查關于y軸對稱的點的坐標特征、軸對稱圖形的定義，根據兩點關于y軸對

稱，橫坐標互為相反數，縱坐標不變，據此解答即可，熟知上述性質是解題的關鍵.

【詳解】解：?.,△ABC'與VABC關于y軸對稱，

二點A與點A關于>軸對稱.

；.A（4,2）.

故答案為：（4,2）.

12.18

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，先由線段垂直平分線的性質得到

AC=2AE=6,AD=CD,再由三角形周長公式得到AB+3C=18,則AADB的周長

=AB+BD+AD=AB+BC=18.

【詳解】解：；AC的垂直平分線交3C于點。，垂足為E,AE=3,

：.AC=2AE=6,AD=CD,

的周長為24,

AB+AC+BC=24,

，AB+BC=18,

：.AAE?的周長=9+3。+40=718+3/5+0）=鉆+3。=18,

故答案為：18.

13.-95°

2

【分析】本題主要考查了等腰三角形性質、全等三角形的判定與性質，準確計算是解題的關

鍵.

根據等腰三角形性質可知ZBAC=ZABC=18°°~^,再由直角三角形兩銳角互余求出

Qf

ADAC=90°-?,根據ABAD=ABAC-ACAD即可求出/BAD=-,

作且8=8。，連接交AD于跖連接F”,證明AAEC名ACH（SAS）,得

到CE=FH,BF+CE=BF+FH,當8、RH三點共線時，即當尸為AC與的交點時，

即可求出最小值，由等腰直角三角形性質求出NAFB.

【詳解】解：如圖1,作且af=BC,連接3"交4。于連接⑸，

答案第7頁，共14頁

.HH

A

???△ABC是等腰三角形,

8

D

圖1圖2

AD.LBC,AC=BC,ZACB=a,

180。—ZAC5180。—。

:.ZDAC=90°-aZBAC=ZABC=AC=CH

22

iQQO臣

/BAD=ABAC-ACAD=------------(90°-a)=-,

22

當a=50。且"+CE取最小值時,

???NBCH=90°,ZACB=50°,

/.ZACH=90°-50°=40°,

.\ZDAC=ZACH=40°f

?：AE=CF,

在△AEC與△CFH中,

AC=CH

<ZCAE=ZHCF

AE=CF

/.△AEC^ACfW(SAS),

；.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

■::.BF+CE=BF+FHNBH,

???當5、F、修三點共線時，即當廠為AC與9的交點時，如圖2,5/+CE的值最小，

此時ZFBC=45°,ZFCB=50°,

ZAFB=95°,

故答案為：95°.

14.40。/40度

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角的和與差.利用角的和與差求得NABP=40。,

再利用等邊對等角即可求解.

(詳解】解：ZABC=50°,ZPBC=10°,

答案第8頁，共14頁

/.ZABP=50°-10°=40°,

*.*PA=PB,

：.ZPAB=ZABP=40°,

故答案為：40°.

15.8cm

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，根據垂直平分線的性質得邊相等，由結合

三角形的周長公式即可得求得.解題的關鍵是利用垂直平分線的性質.

【詳解】解：：邊4B的垂直平分線交邊于點。，邊AC的垂直平分線交邊2C于點E,

DA=DB,EA=EC,

"：8c=8,

NADE的周^z=AD+DE+AE

=BD+DE+EC

=BC

=8,

故答案為：8cm.

16.160

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質.

(1)根據等邊三角形的性質得出AB=4C,AD=AE,ZBAC=ZDAE,再由

ZDAE+ZBAE=ZBAC+ZBAE,得出NC4E=NBM),利用SAS可證得△[4￡絲△BAD,

從而可得出結論；

(2)由△C4E四△B4￡>(SAS),可得NABD=NACE,再根據NAOC=/BOB,結合三角形

內角和即可求解.

【詳解】解：(1)：VABC和VADE是等邊三角形，

AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,

,：ZDAE+ZBAE=ABAC+Z.BAE,

NCAE=NBAD,

：.△C4￡,^AS4r>(SAS),

:.BD=CE,則叫=1,

故答案為：1；

答案第9頁，共14頁

(2)由△OLE=△BAD(SAS),可得ZABD=ZACE,

"：ZAOC=ZBOF,ZAOC+ZACE+ZBAC=ZBOF+ZABD+ZBFC,

ZCFB=ZBAC=60°,

ZBFC=60°,

故答案為：60.

17.證明見解析

【分析】本題主要考查了三線合一定理，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，連接

CD,先由三線合一定理得到班1=€￡,NDEB=NDEC=90。,證明ADEC絲ADEWSAS)得

至I]Nr>BE=NOCE,貝l|NABD=NACD,再由角平分線的定義得到NABD=/Z)3C,貝！]

ZACD=ZDCE,據此可證明結論.

【詳解】證明：如圖所示，連接C。，

??AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

?/AE是BC邊上的高，

BE=CE,NDEB=/DEC=90°,

又：DE=DE,

:.ADEC知DEB(SAS),

ZDBE=ZDCE,

：.ZABD=ZACD,

,//B的平分線與AE相交于點D,

ZABD=ZDBC,

：.ZACD=/DCE,

點D在ZACB的平分線上.

答案第10頁，共14頁

18.證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，熟練掌握證明三角形全

等的方法是解題的關鍵.利用HL可直接證明RtAABC/RtADCB；根據全等三角形的性質

可得NACB=4BC,根據等角對等邊可得結論.

【詳解】證明：在VABC和△OCB中，ZA=ZZ)=90o,

[AB=DC

[BC=CB，

/.Rt△ABC^RtADCfi(HL)；

ZACB=ZDBC,即NECB=NEBC,

:.EC=EB,即A￡BC是等腰三角形.

19.(1)48°

(2)見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識，掌握等腰三角形

的判定與性質是解題的關鍵.

(1)由等腰三角形三線合一的性質得=ZADC=90°,再由三角形內角和定

理即可求解；

(2)由等腰三角形三線合一的性質及平行線的性質得=再由等角對等邊即可證

得結論.

【詳解】(1)解：???AB=AC,ADLBC,

AABAD=ACAD,ZADC=90°.

又；ZC=42°,

ABAD=Z.CAD=90°-42°=48°.

(2)證明：'：ABAC,ADLBC,

：.ZBAD=ZCAD.

?/EF〃AC,

ZF=ACAD.

，ZBAD=ZF.

AE=FE.

答案第11頁，共14頁

20.(