湖北省部分學校2025屆高三上學期第一次大聯考(一模)數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.命題“三。>0,/+1<2”的否定為()

A.Sa>0,a2+1>2B.3a<0,o2+1>2

C.Va>0,a2+l>2D.Va<0,a2+l>2

2.已知集合4={刀|X2-3<O},B={X[0<X+I<3},則人口3=()

A.(-B.C.(-0,代)D.(—1,2)

3.已知函數/(x)=e，_/'(l)x,則()

A-〃1)=-*IB./，(1)=-|

C.〃2)=e?-eD.r(2)=e2-e

4.已知函數f(x)=(x—2)",〃wN*,則，=1”是“〃x)是增函數”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.若對任意的x,yeR,函數〃尤)滿足"：>)=/⑴+,則〃4)=()

A.6B.4C.2D.0

6.某公司引進新的生產設備投入生產，新設備生產的產品可獲得的總利潤s(單位：百萬

元)與新設備運行的時間f(單位：年，leN*)滿足s=B：：0’一對<8,當新設備生

[-?+10r-2r,/>8

產的產品可獲得的年平均利潤最大時，新設備運行的時間/=()

A.6B.7C.8D.9

7.如圖，在AABC中，/BAC=120。,AB=2,AC=1,2是BC邊上靠近B點的三等分點，E是

8c邊上的動點，則荏.也的取值范圍為()

A

8.已知函數/(x)=/+3x+l,若關于x的方程/(sinx)+/(〃z+coK)=2有實數解，則加的

取值范圍為()

A.[-1,72]B.[-1,1]C.[0,1]D.卜亞,夜]

二、多選題

9.在等比數列｛%｝中，4%=2,%=4,則()

A.｛%｝的公比為也B.｛為｝的公比為2

D.數列logZ工為遞增數列

C.〃3+〃5=2。

10.已知函數/(x)=gtan(s-e)(ty>0,0<e<7T)的部分圖象如圖所示，貝I]()

D.函數y=|/(到的圖象關于直線X=對稱

11.己知在，b=In瞿，c萼，則()

a■一乙9

試卷第2頁，共4頁

A.c>aB.a>b

C.c>bD.b>a

三、填空題

12.已知平面向量泣為滿足式?為=3,且沆_L(慶-2萬)，則網=.

13.若且cos2a=cos(a+3,貝i]a=.

14.已知正實數。/滿足2a+36=2,則J；”的最大值為______.

-a2+2b+4-

四、解答題

15.在公差不為。的等差數列｛an｝中，％=1,且%是電與知的等比中項.

(1)求｛時｝的通項公式；

⑵若d=2。”，cn=anbn,求數列｛c,｝的前〃項和S”.

16.在銳角VABC中，內角A,民C的對邊分別為a,b,c,且4=%￡1彳1.

cb'-ac

⑴證明：B=2C.

⑵若點。在邊AC上，且CD=3D=4,求。的取值范圍.

17.已知函數〃xb^-alna+l).

⑴若a=4,求〃x)的極值點；

⑵討論“X)的單調性.

18.已知數列｛%｝的前〃項和為%且4=g,S“=(2"-l)a".

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)證明：S2S4...S2?>^.

19.當一個函數值域內任意一個函數值y都有且只有一個自變量為與之對應時，可以把這個

函數的函數值y作為一個新的函數的自變量，而這個函數的自變量》作為新的函數的函數值,

我們稱這兩個函數互為反函數.例如，由>=3x,xeR,得尤=1,yeR,通常用x表示自變量，

則寫成y=?eR，我們稱，=3x,xeR與y=互為反函數.已知函數“X)與g(x)互

為反函數，若4,8兩點在曲線3/=/(乃上，＜?,。兩點在曲線丫=。0)上，以A,8,C,。四點

為頂點構成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線y=x垂直，則我們稱這個矩形

為/⑺與g(x)的“關聯矩形”.

⑴若函數〃力=石，且點在曲線y=f(x)上.

(i)求曲線y=/(x)在點A處的切線方程；

(ii)求以點A為一個頂點的“關聯矩形'’的面積.

(2)若函數f(x)=］心，且“X)與g(x)的“關聯矩形”是正方形，記該“關聯矩形''的面積為S

證明:(參考數據:Ve-l-ln2<0)

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CACADBCDBCAD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題進行判斷.

[詳解】因為3>0,/+1<2”的否定是“V。>0,/+122”.

故選：C

2.A

【分析】先確定兩個集合中元素，再根據交集的定義求解，

【詳解】因為4=卜有，石),2=(-1,2),所以Ac2=hl,有).

故選：A.

3.C

【分析】求導，通過賦值逐項判斷即可.

【詳解】因為〃x)=e</'(l)x,所以/'(x)=e-/"),

則廣⑴=e—/'(l),所以廣⑴=],

則〃x)=e=?所以〃1)=導-⑵=e*,〃2)=e2-e.

故選：C

4.A

【分析】由當"=2左+l/eN時，尸(久)N0,可得〃"=。-2)"是增函數，即可得到答案.

【詳解】由/(x)=(x—2)",得廣解)=〃a一2尸,

則當附=2左+l#eN時，f(%)>0,/(x)=(x—2)"是增函數，

當〃=1時,可得/⑺是增函數；

當/(元)是增函數時，72=2左+1,左wN,

故“附=1"是，"(X)是增函數”的充分不必要條件.

故選：A.

答案第1頁，共12頁

5.D

【分析】用賦值法即可求解.

【詳解】令y=0,則由〃丁=〃x)+〃y),可得〃力=一2〃0),

所以/(尤)為常數函數，令尤=y=0,可得"0)=0,故"4)=0.

故選：D.

6.B

S-2r--+50,?<8

【分析】由已知可得y=-=t,當f<8和出8時分別求得最大值，即可求

,[-r2+10?-2j>8

解.

f98

c-2/--+50/<8

【詳解】由題意，新設備生產的產品可獲得的年平均利潤y=-=t',

t[-t2+10t-2,t>8

98

當,v8時，2^+—>28,當且僅當，=7時，等號成立，

t

98

則-2t——+50<22,

t

所以當f=7時，2取得最大值，且最大值為22,

t

當時，一產+10/-2=-。-5)2+23,

所以函數在[8,+8)上單調遞減，

所以當7=8時，)取得最大值，且最大值為14,

t

故當新設備生產的產品可獲得的年平均利潤最大時，新設備運行的時間7=7.

故選：B.

7.C

【分析】先用余弦定理求出|阮再將向量用基底衣，通表示，借助向量運算性質計算即

可.

【詳解】由cos/B4C=J----------——=-彳，解得忸4=近.

2AB\\AC\211

^CE=ACB,0<A<\,

則

答案第2頁，共12頁

A

2—-—.2--214414410

=-ACAB——AC+—2=——+——/U

33333

故選：C

8.D

【分析】設g(x)=/(x)-l=d+3x,利用函數的單調性和奇偶性，把

/(sinx)+y(m+cosx)=2轉化成m=-sinx-co&x,再結合三角函數的性質求機的取值范圍.

【詳解】令g(x)=〃x)-l=￡+3x,則g，(x)=3d+3>0恒成立，則g(x)在R上單調遞增,

且g(x)是奇函數.

由/(sinx)+/(m+cosur)=2,得/(siirv)-l=-[/(/n+cosx)-l^,gpg(sinx)=g(-m-cosx),

從而sinx=-m-cosx,即根=-sinx-cosx=-后sin(x+：Je

故選：D

【點睛】方法點睛：設g(x)=〃x)-l=V+3x,可得函數g(x)為奇函數，利用導函數分析

函數g(x)的單調性，把/心血)+“機+8&%)=2轉化成7”=_5加-88%,再求加的取值范

圍.

9.BC

【分析】根據題意，列出等式求出等比數列的首項和公比，然后逐一判斷即可.

【詳解】設等比數列｛an｝的公比為4,

依題意得解得所以%=2片，

axq=4,[q=2,

故〃3+%=2?+24=20,故BC正確，A錯誤；

I11〃，則數列log?工為遞減數列，故D錯誤.

對于D,log—=1-

2an

故選：BC.

10.AD

【分析】根據函數的圖象確定其最小正周期，求出G=2,判斷A；利用特殊值可求出。,

答案第3頁，共12頁

進而求出“X)的圖象與y軸的交點坐標，判斷BC；判斷“X)的圖象關于點［石■,())對稱,

即可判斷D.

【詳解】由圖可知，/(X)的最小正周期T=^=g,則。=2,A正確；

由圖象可知X=］時，函數無意義，故^-。=5+癡,左eZ,

由0<°<兀，得?=瑩,即〃x)=；tan(2x_3,則/⑼=_￡,

即/(X)的圖象與y軸的交點坐標為o,-^,B,c錯誤；

(6)

由于=j=0,則〃x)的圖象關于點、1,o］對稱，

可得函數y=|/(x)|的圖象關于直線x=￡對稱.

故選：AD

11.ACD

【分析】將。，6變形作差，可得"°=:+，設/(x)=x+ln(l—x),xe(O,l),

求導判斷函數的單調性即可判斷D；將。變形，可得b-c=l*一田+稻,設

/z(x)=Inx-y/x+',xe(l,+s),求導判斷函數的單調性即可判斷C；根據C,D即可判

斷A.

【詳解】?=2IOS4^=2IOg^=-,&=ln^=-ln^-=-lnfl-^-L

10910I10；

八1i八口

a-b=—+ln1---,

10110)

令/(x)=x+ln(l-x)，XG(0,1),

則尸(x)=1-=產<0,/(X)在(0,1)上單調遞減,

1-x1-x

所以/</(0)=0,即〃<6,故D正確;

//(X)=llLX-y]~XH--,xe(l,+oo),

'yjx

7，/、1112Vx—x—1—(\/x—I)2

則⑺一而一——=——<0，可力在(L+8)上單調遞減，所以

答案第4頁，共12頁

即/<c,故C正確，

因為a<6,b<c,所以c>a,故A正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：數的大小的比較，通過構造函數，通過求導利用函數的單調性求解是解

題的關鍵.

12.屈

【分析】由向量數量積的運算律和向量垂直的表示直接計算即可得解.

【詳解】因為用JL（慶一2河），

所以麗?（而一2方）=0,貝I］病=2慶.方=6,

所以慟=幾.

故答案為：A/6.

兀

13.

12

【分析】化簡三角函數式，求出sin［1+：］=；,根據即可求解?

【詳解】由cos2a=cos(a+j,得cc^a-siYa=￡^(cosa-sina

貝ljsin(a+：j=w.

因為。,所以cos。-sin。w。,貝!Jcosa+sina=——,

?(71八、ZQ兀?兀兀)p-.17T7LATIzo兀

由a1—5'°)'得a+'貝」a+l=Z，解得a=一不.

\\'IJUJ.乙

故答案為：

ab_1

【分析】將2a+3b=2代入可得—4+2才+4-加+些+14再由基本不等式求解即可.

ba

【詳解】解：因為2a+3b=2,

ab_ab_ab_\

22

所以-/+26+4--a+b(2a+3b)+(2a+3b)-3a」+12〃+14"-3a?12b?了.又

ba

a>0,b>0,

答案第5頁，共12頁

匚匚3a12b_13a12b._

所以一+—>2------=12,

ba\ba

42

當且僅當時，等號成立,

77

ab的最大值為上.

則

一。2+2"4

故答案為：--

15.(l)a?=2n-l

⑵S“=等工用+個.

【分析】（1）根據等差數列通項公式把生、出、知都用q與d表示，結合已知解出“，即

可得出｛4｝的通項公式；

（2）先表示出a=227,再表示出%=（2〃-1）"1,用錯位相減法即可求解.

【詳解】（1）設｛%｝的公差為d（dH。），因為。5是。2與％4的等比中項，

所以ag=^2^141即（a1+4d）=（q+d）（%+13d）,

整理得/=2%d.

又％=1,dwO,所以d=2,

則an=al+(“-l)d=2M-1.

(2)由(1)可得￡=2%=223,g=a“〃=(2〃-l).22i,

貝i]S'=lx2i+3*23+5x25+...+(2“一l>22"T(D,

4Sa=1X23+3X25+5X27+---+(2M-1)-22,,+1(2),

-3S?=2+2x(23+25+.??+22"-1)-(2n-1)-22,1+1

=2+2X23"22""-(2n-l)-22n+l=--.22n+1

1-4v'33

則S“=與"向+個.

16.(1)證明見解析

⑵(4倉響.

答案第6頁，共12頁

【分析】⑴化簡已知等式結合余弦定理可得a=c(l+2cosB),再利用兩角和的正弦公式即

可證明結論；

(2)由已知條件結合正弦定理可得3C=8cosC,根據銳角VA2C確定角C的范圍，即可求

得答案.

【詳解】(1)證明：因為旦=號或，所以2c=/c-c3,

cb-ac

整理得。2(a-c)=c(a+c)(a-c).

又一wl,所以a—cw。，從而/=ac+02=/+。2-2QCCOS5,

c

整理得a=c(l+2cos5),則sinA=sinC(l+2cos3).

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC—cos5sinC=sinC,

即sin(B-C)=sinC,結合銳角VABC中，B-Ce(-p|),

則5—C=C,即B=2C.

(2)如圖，由CD=jRD,可得ZACB=ND5C,貝I]/RDC=TI—2/ACB.

BCBD

在△5CD中，由正弦定理得

smZBDC~smZBCD'

BDsin^BDC4sin2C

整理得3C==8cosC.

sin^BCDsinC

o<Y，

因為B=2C,且VABC是銳角三角形，所以〈0<2C<],解得黃c<,

204

71

0<兀一3C<一,

2

則泉eg#,

從而472<8cosC<4>/3,即°的取值范圍為(4&,4^).

17.(1)極小值點為1,無極大值點.

答案第7頁，共12頁

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導數，可得當Xe時，/(X)單調遞減；當X6(1,+8)時，/(X)單

調遞增，則得答案；

(2)由廣⑺=2匚：;一”,則討論2犬+2>“=0的解的情況，進而討論出“X)的單調

區間.

【詳解】(1)因為a=4,所以/(x)=x2-41n(x+l),x>—l,

貝"(x)=2x一工=2(X+2)(1),

')x+1x+1

令廣⑺ARIL,解得尤=1或》=一2(舍)，

當xe(一1,1)時，/'(x)<OJ(x)單調遞減;

當％G(1,+8)時,r(x)>o,〃x)單調遞增,

故“X)的極小值點為1,無極大值點.

(2)由/(力=/_aln(x+］),x>_l,則尸(x)=2x――+2；-",

令"2x?+2%—〃=0,

若A=4+8a<0,即Q?-L

2

則方程2爐+2%-〃=0無解或有兩個相等的實數解，

此時2/+2x-/0恒成立，則〃％)的單調遞增區間為(T+"),無單調遞減區間.

若A=4+8a>0,即Q>—,

2

則方程2d+2x-a=0的解為玉=T+,%=

若0<1+2〃<1,即一g<Q<0,貝|玉>入2>—1，

—1—Jl+2〃—1+Jl+2a、

當xe-1,,+。時，/'(%)>0,當

一—JA―一)

(S+2a—l+Jl+2a)」,,、

一1——，——\——時，/'(X)<0,

I22)

則/(X)的單調遞增區間為［T土手藥］和IT+,+J,單調遞減區間為

\7\7

答案第8頁，共12頁

—1—Jl+2a—1+Jl+2a

若l+2a21,即貝|兄24一1<%1，

-1+Jl+2a—1+Jl+2〃

T-2時，/'（%）<0，當xw時，/'(%)>o,

2

則/（無）的單調遞增區間為［士乎互,+/,單調遞減區間為「1,上乎互.

綜上，

當時，/（X）的單調遞增區間為（-1,+8）,無單調遞減區間；

當-g<a<0時，“X）的單調遞增區間為11,土手藥］和j士手互，+少，單調遞

1Jl+2a1++2〃

減區間為

當時，“X）的單調遞減區間為士手藥］,單調遞增區間為［士乎互,+".

<）\?

18.（1）??=QJ

（2）證明見解析

【分析】（1）根據前〃項和為S”與。“的關系，利用相減法得數列遞推關系式，從而根據等

比數列可得｛即｝的通項公式；

（2）由（1）得S,,=l-5，根據不等式1+J［"-=1+：-擊>1,n>2,即可證

得結論.

【詳解】（1）當時，由S“=（2"-l）%,得S“T=（2"T-1）%T，

則%=S“-S"T=（2"-1,“-（2"--）%,整理得見=：%.

因為q=g，所以｛%3是以g為首項，；為公比的等比數列，

則an=a?—=.

答案第9頁，共12頁

⑵證明：由⑴可得S"(2f)a,=U=l一g，則邑"1一J=+

當〃N2時'對于”+擊［1一，)=1一，+擊一擊=1+：一擊>1,

所以(i+￡KT“+。/撲??“+擊卜『!)>1，

從而S2s4…邑”=。一；>“+/(1一?〉［1+5］“一小上

19.⑴⑴>=";(ii)2夜+1；

^48

(2)證明見解析.

【分析】(1)(i)先由點在曲線y=/(%)上求出點4再利用導數工具求出廣即可由直

線的點斜式方程得解；(ii)先由反函數性質依次得出y=f(久)的反函數g(x)和A關于直線

y=x對稱的點為D,從而得kAD和\AD\，再由題意以及/'(x)=?圖象特征得AC±AZ)和kAC,

進而得直線AC的方程，接著聯立求出點C即可得|AC|,從而計算S=gD||AC|即可得解.

(2)先由題意設4。關于直線衛=尤對稱，B,C關于直線y=x對稱得進而設

X314

A(,Inxj),B(x2,lnx2),C(%3,e),D(x4,e］0<%］<x2,%4<x3,再由已知信息結合

|鉆|=怛。得到9-2占+1叫=0,接著建立函數/?(x)=e￡-2x+lnx并利用導數工具研究其

單調性從而由=0和(J<0得為>；,從而借助S=|AB|2=2(9-&)2的單調性得證

【詳解】(1)(i)因為點在曲線〃x)=?上，所以,=￡=；,即人［

由〃力=五，得/'(x)=E^，則=

所以曲線y=/(x)在點A處的切線方程為=x-;即丫=尤+；.

(ii)由⑴A］；［］，由/(%)=&得其反函數為8(力=犬2(%20),

則函數〃x)和g(x)圖象關于直線>=彳對稱，設A關于直線對稱的點為

答案第10頁，共12頁

1_1

則。在曲線g(x)上，且Ngj，3安=-1，

2~4

則|叫=

一4

由題意以及由〃》)=?圖象特征可知ACLAD,貝UKc=l，直線AC的方程為＞=無+；,

y=x2,

x=l±Yl或x=fl（舍去）,

聯立方程組1解得