PAGE10-§4數列在日常經濟生活中的應用學習目標核心素養1．駕馭單利、復利的概念．(重點)2．駕馭零存整取、定期自動轉存、分期付款三種模型及應用．(重點)3．駕馭數列在日常經濟生活中的應用．(難點)1．通過數列在日常生活中的應用，提升數學建模素養．2．通過數列在經濟生活中的應用，提升數學運算素養．數列在日常經濟生活中的應用閱讀教材P32～P34例3以上部分，完成下列問題：(1)三種常見的應用模型①零存整取：每月定時收入一筆相同數目的現金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取，規定每次存入的錢不計復利(暫不考慮利息稅)．②定期自動轉存：銀行有另一種儲蓄業務為定期存款自動轉存．例如，儲戶某日存入一筆存期為1年的存款，1年后，假如儲戶不取出本利和，則銀行自動辦理轉存業務，第2年的本金就是第1年的本利和．③分期付款：分期付款是購物的一種付款方式．即將所購物的款數在規定的期限內根據肯定的要求，分期付清．(2)常用公式①復利公式：按復利計算的一種儲蓄，本金為P元，每期利率為r，存期為n，則本利和S＝P(1＋r)n．②產值模型：原來產值的基礎數為N，平均增長率為r，對于時間x的總產值y＝N(1＋r)x．③單利公式：利息按單利計算，本金為P元，每期利率為r，存期為n，則本利和為S＝P(1＋nr)．思索：(1)數學中常見的定期存款利率計算方法有哪些？[提示]單利和復利兩種方法．(2)建立數學模型的關鍵是什么？[提示]正確選取變量，并精確建立變量之間的數量關系．1．現存入銀行10000元錢，年利率是3．60%，那么根據復利，第5年末的本利和是()A．10000×1．0363 B．10000×1．0364C．10000×1．0365 D．10000×1．0366C[由復利公式得S＝10000×(1＋3．60%)5＝10000×1．0365．]2．某產品安排每年成本降低q%，若三年后成本為a元，則現在的成本是()A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3C．eq\f(a,1－q%3) D．eq\f(a,1＋q%3)C[設現在的成本為x元，則有x(1－q%)3＝a．∴x＝eq\f(a,1－q%3)．故選C．]3．過圓x2＋y2＝10x內一點(5,3)有k條弦的長度組成等差數列，且最短弦長為首項a1，最長弦長為末項ak，若公差d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，則k的取值不行能是()A．4 B．5C．6 D．7A[x2＋y2＝10x化簡得(x－5)2＋y2＝25過點(5,3)的最短弦長為8，最長弦長為10，則由題意d＝eq\f(10－8,k－1)＝eq\f(2,k－1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，5≤k≤7．]4．阿明存入5萬元定期存款，存期1年，年利率為2．25%，那么10年后共得本息和為________萬元．(精確到0．001)6．246[10年后的本息：a10＝5×(1＋0．0225)10≈6．246(萬元)．]等差數列模型【例1】某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元，購買當天先付150萬元，以后每月這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150萬元后的第一個月起先算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應付多少錢？全部按期付清后，買這40套住房實際花了多少錢？[解]因購房時付150萬元，則欠款1000萬元，依題意分20次付款，則每次付款的數額順次構成數列{an}．則a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59．5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58．5，…所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－eq\f(1,2)(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)．所以{an}是以60為首項，－eq\f(1,2)為公差的等差數列．所以a10＝60－9×eq\f(1,2)＝55．5．所以第10個月應付55．5(萬元)．a20＝60－19×eq\f(1,2)＝50．5．所以S20＝eq\f(1,2)×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50．5)＝1105．所以實際共付1105＋150＝1255(萬元)．1．按單利計算公式單利的計算僅在原有本金上計算利息，對本金所產生的利息不再計算利息，其公式為利息＝本金×利率×存期．2．按單利分期付款問題的三個關鍵問題(1)規定多少時間內付清全部款額．(2)在規定的時間內分幾期付款，并且規定每期所付款額相同．(3)規定多長時間段結算一次利息，及在規定時間段內利息的計算公式．eq\o([跟進訓練])1．某人在一年12個月中，每月10日向銀行存入1000元，假設銀行的月利率為5‰(按單利計算)，則到其次年的元月10日，此項存款一年的利息之和是()A．5(1＋2＋3＋…＋12)元B．5(1＋2＋3＋…＋11)元C．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元D．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元A[存款利息是以5為首項，5為公差的等差數列，12個月的存款利息之和為5(1＋2＋3＋…＋12)元，故選A．]等比數列模型【例2】某家庭準備以一年定期的方式存款，安排從2024年起，每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復利計算，到2031年年初將全部存款和利息全部取出，一共可以取回多少錢？[解]設從2024年年初到2031年年初每年存入a元的本利和組成數列{an}(1≤n≤10)．則a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故數列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10為首項，q＝eq\f(1,1＋p)為公比的等比數列．所以2031年初這個家庭應取出的錢數為S10＝eq\f(a1＋p10\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1＋p10))),1－\f(1,1＋p))＝eq\f(a,p)[(1＋p)11－(1＋p)](元)．1．復利問題的計算方法復利問題可以轉化為等比數列問題，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n．2．解決等比數列應用題的關鍵(1)細致審題抓特點，細致視察找規律．(2)等比數列的特點是增加或削減的百分數相同．(3)分析數列的規律，一般需先寫出數列的一些項加以考查．eq\o([跟進訓練])2．某住宅小區安排植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數是前一天的2倍，則須要的最少天數n(n∈N＋)等于________．6[每天植樹的棵數構成以2為首項，2為公比的等比數列，其前n項和Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2．由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102．由于26＝64,27＝128，則n＋1≥7，即n≥6．]分期付款問題[探究問題]1．復利與單利的區分是什么？[提示](1)復利在其次次以后計算時，將上一次得到的利息也作為了本金，而單利每一次的計算都是將起先的本金作為本金計息．(2)單利和復利分別以等差數列和等比數列作為模型，即單利的實質是等差數列，復利的實質是等比數列．2．小明存入1萬元定期存款，存期5年，年利率為2%，若按單利計算，5年后共獲得本息和為多少元？若按復利計算，5年后共獲得本息和多少元？[提示]按單利計算：5年后共獲(1＋5×2%)＝1．1萬元；按復利計算：5年后共獲(1＋2%)5＝1．104萬元．3．在實際問題中，涉及一組與依次有關的數的問題時，應考慮用什么方法解決？解決此問題的關鍵是什么？[提示]在實際問題中，若涉及一組與依次有關的數的問題，可考慮用數列方法解決，其關鍵是①弄清晰是什么數列；②分清首項、項數；③是求和還是求項等問題．【例3】某企業進行技術改造，有兩種方案：甲方案，一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案，每年貸款1萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前年多獲利5千元．兩種方案，運用期限都是十年，到期一次性歸還本息，若銀行貸款利息按年息10%的復利計算，比較兩種方案，哪個獲利更多？(計算數據精確到千元，1．110≈2．594,1．310≈13．786)思路探究：分清兩種方案分別屬于什么數列模型，然后分別建立不同數列模型解決．[解]方案甲：十年獲利中，每年獲利數構成等比數列，首項為1，公比為1＋30%，前10項和為S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝eq\f(1.310－1,1.3－1)≈42．62(萬元)．又貸款本息總數為10(1＋10%)10＝10×1．110≈25．94(萬元)，甲方案凈獲利42．62－25．94≈16．7(萬元)．乙方案獲利構成等差數列，首項為1，公差為eq\f(1,2)，前10項和為T10＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝eq\f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32．50(萬元)，而貸款本息總數為1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1．1×eq\f(1.110－1,1.1－1)≈17．53(萬元)，乙方案凈獲利32．50－17．53≈15．0(萬元)．比較兩方案可得甲方案獲利較多．1．(變條件)在例3中，若該企業還有兩種技術改造的方案，丙方案：一次性貸款40萬元，第一年獲利是貸款額的10%，以后每年比上一年增加25%的利潤，丁方案：一次性貸款20萬元，第一年獲利是貸款額的15%，以后每年都比上一年增加利潤1．5萬元，兩種方案運用期限都是10年，到期一次性還本付息，兩種方案均按年息2%的復利計算．(參考數據：1．259≈7．45,1．2510≈9．3,1．029≈1．20,1．0210≈1．22)，試比較兩種方案，哪種方案凈獲利更多？[解]方案丙：由題意知，每年的利潤an成等比數列，且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1．25，n＝10，收入S丙＝eq\f(41－1.2510,1－1.25)＝eq\f(49.3－1,0.25)＝132．8(萬元)．凈獲利W丙＝132．8－40(1＋2%)10＝132．8－48．8＝84(萬元)，方案丁：由題意，每年的利潤記為數列{bn}，它是等差數列，且b1＝3，公差為1．5，n＝10，收入S丁＝10×3＋eq\f(1,2)×10×9×1．5＝30＋67．5＝97．5(萬元)．凈獲利：W丁＝97．5－20(1＋2%)10＝97．5－24．4＝73．1(萬元)所以方案丙凈獲利更多．2．(變結論)在例3中，設甲方案可貸款n年，按此方案技術改造第n年的累計凈獲利能夠超過100萬元，求n的最小值．(參考數據：1．314≈39．374,1．315≈51．186,1．114≈3．798,1．115≈4．178)[解]設根據甲方案進行技術改造，n年的累計凈獲利超過100萬元，由題意知，每年獲利數構成等比數列，首項為1，公比為1＋30%，前n項和為Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝eq\f(1.3n－1,1.3－1)＝eq\f(10,3)(1．3n－1)，又貸款本息總數為10(1＋10%)n＝10×1．1n，則甲方案的凈獲利為eq\f(10,3)(1．3n－1)－10×1．1n，由題意知eq\f(10,3)(1．3n－1)－10×1．1n＞100，閱歷證，當n＝14時，eq\f(10,3)(1．314－1)－10×1．114＝eq\f(10,3)(39．374－1)－10×3．798＝127．913－37．98＝89．933＜100，當n＝15時，eq\f(10,3)(1．315－1)－10×1．115＝eq\f(10,3)(51．186－1)－10×4．178＝167．287－41．78＝125．507＞100，所以n的最小值為15．1．等差、等比數列的應用題常見問題產量增減、價格的升降、細胞繁殖、貸款利率、增長率等方面的問題，解決方法是建立數列模型，應用數列學問解決問題．2．將實際問題轉化為數列問題時應留意(1)分清是等差數列還是等比數列．(2)分清是求an，還是求Sn，特殊要精確確定項數n．(3)遞推關系的發覺是數列建模的重要方式．1．等差、等比數列的應用題常見于產量增減、價格升降、細胞繁殖、貸款利率、增長率等方面的問題，解決方案是建立數列模型，應用數列學問解決問題．2．銀行存款中的單利是等差數列模型，本利和公式為S＝P(1＋nr)；復利是等比數列模型，本利和公式為S＝P(1＋r)n．(其中P為本金，r為利率，n為期數)3．等額本息分期付款是等比數列求和問題；等額本金分期付款是等差數列求和問題．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在銀行取款時，取到的本息是指存款得到的利息． ()(2)定期自動轉存模型是等差數列． ()(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售價． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)不正確，本息指本金與利息的和；(2)不正確，定期自動轉存的模型不是等差數列；(3)不正確，分期付款的本質是貸款按復利整存整取，還款按復利零存整取到貸款全部還清時，貸款本利合計＝還款本利合計．2．聞名物理學家李政道說：“科學和藝術是不行分割的”．音樂中運用的樂音在高度上不是隨意定的，它們是根據嚴格的數學方法確定的．我國明代的數學家、音樂理論家朱載堉創立了十二平均律是第一個利用數學使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精確規定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示這些半音的頻率，它們滿意log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up12(12)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，…，12)).若某一半音與D#的頻率之比為eq\r(3,2)，則該半音為()頻率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A．F#B．GC．G#D．AB[依題意可知an>0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝1，2，…，13)).由于a1，a2，…，a13滿意log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up24(12)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，…，12))，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up12(12)＝2，∴eq\f(ai＋1,ai)＝2eq\s\up12(12)，所以數列a1，a2，…，a13為等比數列，公比q＝2eq\s\up12(eq\f(1,12))，D#對應的頻率為a4，題目所求半音與D#的頻率之比為eq\r(3,2)＝2eq\s\up12(eq\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up24(eq\f(1,12))))eq\s\up24(4)，所以所求半音對應的頻率為a4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al