第八講比較大小第一部分：趣味數學“≈”受審記數學王國的法庭上,正在進行著一場審判。被告是數學符號“≈”,“＝”、“>”和“<”等陪審員坐在旁邊法官問道:“有人狀告你,說你玩忽職守,顛倒是非。現在,我來問你這些都是真的嗎?”“≈”從容不迫地說:“絕對沒有!我的職責就是表示近似數。遇到不可能或不必要得出精確值的情況,我便挺身而出。我一向忠于職守,從來沒有出過差錯。”“是這樣嗎?”“=”插嘴道,“上次有人去買油,4625千克的油,每只油桶裝100千克,4625÷100=46.25≈46。可是,你卻硬要給47只桶,這是為啥?”“>”站了起來,接著說:“是呀是呀,47>46.25,難道你連這個也不懂么?”“還有,”法官問道,“上次,商店發給你10米布,要你做衣服。每件衣服只需要0.6米,10÷0.6=16.66……≈17,很明顯可以做17件衣服,可是你為啥只交了16件?”“<”也責問說:“你這樣違法亂紀,‘四舍五入’法規,還執行不執行？”

“夠了!”“≈”忍不住了,大聲問道,“要想把油全部都運回,只給46只桶,剩下的25千克怎么辦?”他又說,“10米布,每0.6米做一件衣服,要是做成17件,那最后一件不夠大,能穿嗎?“≈”一連串的反問,大家都不吭聲了。審判結束,法官宣布:“≈’說得沒錯,今后處理近似數可以根據“四舍五人、“進一法’和“去尾法”,究竟用哪一種法,由‘≈’根據實際情況靈活處理。我宣布,‘≈”無罪釋放!”第二部分：習題精講我們已經掌握了基本的比較整數、小數、分數大小的方法。本周將進一步研究如何比較一些較復雜的數或式子的值的大小。解答這種類型的題目，需要將原題進行各種形式的轉化，再利用一些不等式的性質進行推理判斷。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么EQ\F(1,a)＜EQ\F(1,b)；如果EQ\F(a,b)＞1，b＞0，那么a＞b等等。比較大小時，如果要比較的分數都接近1時，可先用1減去原分數，再根據被減數相等（都是1），減數越小，差越大的道理判斷原分數的大小。如果兩個數的倒數接近，可以先用1分別除以這兩個數。再根據被除數相等，商越小，除數越大的道理判斷原數的大小。除了將比較大小轉化為比差、比商等形式外，還常常要根據算式的特點將它作適當的變形后再進行判斷。例題1：比較EQ\F(777773,777778)和EQ\F(888884,888889)的大小。這兩個分數的分子與分母各不相同，不能直接比較大小，使用通分的方法又太麻煩。由于這里的兩個分數都接近1，所以我們可先用1分別減去以上分數，再比較所得差的大小，然后再判斷原來分數的大小。因為1－EQ\F(777773,777778)=EQ\F(5,777778)，1－EQ\F(888884,888889)=EQ\F(5,888889)EQ\F(5,777778)＞EQ\F(5,888889)所以EQ\F(777773,777778)＜EQ\F(888884,888889)。練習1：比較EQ\F(7777775,7777777)和EQ\F(6666661,6666663)的大小。將EQ\F(98765,98766)，EQ\F(9876,9877)，EQ\F(987,988)，EQ\F(98,99)按從小到大的順序排列出來。比較EQ\F(235861,235862)和EQ\F(652971,652974)的大小。例題2：比較EQ\F(111,1111)和EQ\F(1111,11111)哪個分數大？可以先用1分別除以這兩個分數，再比較所得商的大小，最后判斷原分數的大小。因為1÷EQ\F(111,1111)＝EQ\F(1111,111)＝10EQ\F(1,111)1÷EQ\F(1111,11111)＝EQ\F(11111,1111)＝10EQ\F(1,1111)10EQ\F(1,111)＞10EQ\F(1,1111)所以EQ\F(111,1111)＜EQ\F(1111,11111)練習2：1.比較A＝EQ\F(333,1666)和B＝EQ\F(33,166)的大小2.比較EQ\F(111111110,222222221)和EQ\F(444444443,888888887)的大小3.比較EQ\F(8888887,8888889)和EQ\F(9999991,9999994)的大小。例題3：比較EQ\F(12345,98761)和EQ\F(12346,98765)的大小。兩個分數中的分子與分子、分母與分母都較為接近，可以根據通分的原理，用交叉相乘法比較分數的大小。因為12345×98765＝12345×98761+12345×4＝12345×98761+4938012346×98761＝12345×98761+98760而98761＞49380所以12346×98761＞12345×98765則EQ\F(12345,98761)＜EQ\F(12346,98765)練習3：1.比較EQ\F(176,257)和EQ\F(177,259)的大小。2.如果A＝EQ\F(22221,33332)，B＝EQ\F(44443,66665)，那么A與B中較大的數是_______.3.比較EQ\F(1234567,9876543)與EQ\F(12345671,98765431)的大小。例題4：已知A×15×1EQ\F(1,99)＝B×EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15＝C×15.2÷EQ\F(4,5)＝D×14.8×EQ\F(73,74)。A、B、C、D四個數中最大的是_______.求A、B、C、D四個數中最大的數，就要找15×1EQ\F(1,99)，EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15，15.2÷EQ\F(4,5)，14.8×EQ\F(73,74)中最小的。15×1EQ\F(1,99)＞1515.2÷EQ\F(4,5)＞15EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15＝13EQ\F(1,3)14.8×EQ\F(73,74)＝14.6答：因為EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15的積最小，所以B最大。練習4：1.已知A×1EQ\F(2,3)＝B×90％＝C÷75％＝D×EQ\F(4,5)＝E÷1EQ\F(1,5)。把A、B、C、D、E這5個數從小到大排列，第二個數是______.2.有八個數，0.，EQ\F(2,3)，EQ\F(5,9)，0.5，EQ\F(24,47)，EQ\F(13,25)是其中的六個數，如果從小到大排列時，第四個數是0.5111…，那么從大到小排列時，第四個數是哪個？3.在下面四個算式中，最大的得數是幾？（1）（EQ\F(1,17)+EQ\F(1,19)）×20（2）（EQ\F(1,24)+EQ\F(1,29)）×30（3）（EQ\F(1,31)+EQ\F(1,37)）×40（4）（EQ\F(1,41)+EQ\F(1,47)）×50例題5：圖24－1中有兩個紅色的正方形，兩個藍色的正方形，它們的面積已在圖中標出（單位：平方厘米）。問：紅色的兩個正方形面積大還是藍色的兩個正方形面積大？199619962199219922紅藍199719972199319932紅藍通過計算結果再比較大小自然是可以，但比較麻煩。我們可以采取間接比較的方法。19972－19972＝（1997+1966）×（1997－1996）＝399319932－19922＝（1993+1992）×（1993－1992）＝3985（）因為19972－19972＞19932－19922所以19972+19972＞19932+19922練習51.如圖24－2所示，有兩個紅色的圓和兩個藍色的圓。紅色的兩圓的直徑分別是1992厘米和1949厘米，藍色的兩圓的直徑分別是1990厘米和1951厘米。問：紅色的兩圓面積之和大，還是藍色的兩圓面積之和大？2.如圖24－3所示，正方形被一條曲線分成了A、B兩部分，如果x＞y，是比較A、B兩部分周長的大小。3.問EQ\F(1,2)×EQ\F(3,4)×EQ\F(5,6)×EQ\F(7,8)×…×EQ\F(99,100)與EQ\F(1,10)相比，哪個更大？為什么？AB藍AB藍紅x紅紅藍Y藍圖24－2圖24－3第三部分：數學史分數運算的起源在我國古代第一部數學專著《九章算術》中就有了系統的分數運算方法。在這本數學經典的方田》章中,提出了完整的分數運算法則,里面講到約分、合分、減分、乘分、除分的法則,與我們現在的分數運算法則完全相同。另外,還記載了課分、平分等關于分數的知識,是世界上最早的系統敘述分數的著作,這比歐洲大約早1400年。在歐洲,一直以來人們談分數色變。在很長的段時間里,歐洲數學家在編寫算術課本時,不得不把分數的運算法則單獨敘述,因為許多學生遇到分數后,就會心灰意懶,不愿意繼續學習數學了。分數運算,大約在15世紀才在歐洲流行。歐洲人普遍認為,這種算法起源于印度。印度在七世紀婆羅門笈多的著作中才開始有分數運算法則,這些法則都與《九章算術》中介紹的法則相同。而劉徽的《九章算術注》成書于魏景元四年(263),所以,即使與劉徽的時代相比,我們也要比印度早400年左右。參考答案：練習1：1.EQ\F(7777775,7777777)＞EQ\F(6666661,6666663)2.EQ\F(98,99)＜EQ\F(987,988)＜EQ\F(9876,9877)＜EQ\F(98765,98766)3.EQ\F(235861,235862)＞EQ\F(652971,652974)練習2：1.EQ\F(333,1666)＞EQ\F(33,166)2.EQ\F(111111110,222222221)＜EQ\F(444444443,888888887)3.EQ\F(8888887,8888889)＞EQ\F(9999991,9999994)練習3：1.EQ\F(176,257)＞EQ\F(177,259)2.EQ\F(22221,33332)＜EQ\F(44443,66665)3.EQ\F(1234567,9876543)＜EQ\F(12345671,9876543