PAGE1第08講對數函數（12類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2024年天津卷，第5題,5分比較指數冪的大小、比較對數式的大小2022年天津卷，第5題,5分對數的運算、對數的運算性質的應用2021年天津卷，第5題,5分比較指數冪的大小、比較對數式的大小2021年天津卷，第7題,5分運用換底公式化簡計算2020年天津卷，第6題,5分比較指數冪的大小、比較對數式的大小2021年天津卷，第5題,5分比較指數冪的大小、比較對數式的大小2.命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是天津高考卷的必考內容，設題靈活，難度綜合，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握對數的圖象與特征，能夠靈活運用對數函數的性質2.能利用對數函數的性質解決定義域與值域最值問題3.具備數形結合的思想意識，會借助函數解決奇偶性與對稱性問題4.能結合圖像與性質解決綜合型問題【命題預測】本節內容是天津高考卷的必考內容，考查內容比較廣泛。知識講解知識點一.對數的定義1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么稱b是以a為底N的對數，記作b＝logaN，其中，a叫做對數的底數，N叫做真數．2.底數的對數是1，即logaa＝1,1的對數是0，即loga1＝0.知識點二．對數函數的定義1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函數叫作對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)．2．對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域：(0，＋∞)值域：R過點(1,0)，即當x＝1時，y＝0在(0，＋∞)上是單調增函數在(0，＋∞)上是單調減函數知識點三．對數函數圖象的特點1.對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數圖象只在第一、四象限．2.函數y＝logax與y＝log1ax(a>0且a3.在第一象限內，不同底的對數函數的圖象從左到右底數逐漸增大．注意：1．在運算性質logaMn＝nlogaM中，要特別注意M>0的條件，當n∈N*，且n為偶數時，在無M>0的條件下應為logaMn＝nloga|M|.2．研究對數函數問題應注意函數的定義域．3．解決與對數函數有關的問題時，若底數不確定，應注意對a>1及0<a<1進行分類討論．4．對數函數的圖象與底數大小的關系如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大．知識點四.指對函數性質的比較圖像特征函數性質共性向x軸正負方向無限延伸函數的定義域為R函數圖象都在x軸上方函數的值域為R圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數函數圖象都過定點(0，1)過定點(0，1)0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數在第一象限內的圖象縱坐標都小于1當x>0時，0<y<1;在第二象限內的圖象縱坐標都大于1當x0時，y>1圖象上升趨勢是越來越緩函數值開始減小極快到了某一值后減小速度較慢;a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數在第一象限內的圖象縱坐標都大于1當x>0時，y>1;在第二象限內的圖象縱坐標都小于1當x<0時，0<y<1圖象上升趨勢是越來越陡函數值開始增長較慢到了某一值后增長速度極快;考點一、對數函數的解析式1.（23-24高三上·江蘇·期末）滿足fxy=fx+fy的函數f【答案】lnx【分析】對數函數均滿足要求，考慮到定義域需要加絕對值【詳解】可令fx故答案為：fx2.（22-23高三上·江蘇泰州·期中）已知函數f(x)同時滿足（1）f(mn)=f(m)+f(n)；（2）(m?n)[f(m)?f(n)]<0，其中m>0,n>0,m≠n，則符合條件的一個函數解析式f(x)＝．【答案】log1【分析】由已知函數性質，結合函數的單調性定義和對數函數的運算性質得f(x)=logax【詳解】由（2）知：f(x)在(0,+∞由（1），結合對數的運算性質知：loga(mn)=log綜上，f(x)=logax且0<a<1故答案為：log11.（2023高三上·全國·專題練習）已知fx是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，fx=logax+1(a>0，且【答案】f【分析】先利用函數奇偶性求出x<0時的解析式，進而可得函數fx【詳解】當x<0時，?x>0，由題意知f?x又fx是定義在R上的偶函數，所以f所以當x<0時，fx所以函數fx的解析式為f故答案為：fx2.（2024·河北滄州·模擬預測）直線x=4與函數fx=logax(a>1),gx=A．?x=?logC．?x=log【答案】B【分析】根據對數函數的單調性及|AB|=3得a=4，代入化解即可.【詳解】由題意可知，定義域為(0,+∞)，函數f(x)在定義域內單調遞增，函數g(x)在定義域內單調遞減，則AB=所以loga解得a=4，所以?x故選：B.3.（2024·北京東城·一模）設函數fxA．fx+f1C．fxf1【答案】A【分析】根據函數解析式，分別計算即可得解.【詳解】函數fx=1對于A，fx對于B，fx對于CD，當x=e時，f故選：A.4.（23-24高三上·北京·階段練習）定義域為R的函數fx①存在x0∈R②對于任意x∈R，有f寫出滿足上述性質的一個增函數fx=【答案】2x【分析】取fx【詳解】fx=2x，f1fx+1故答案為：2x考點二、對數函數的求值、求參問題1.（2024·湖北·模擬預測）已知函數f(x)=2x+A．103 B．133 C．356【答案】A【分析】根據分段函數的形式，結合對數和指數運算公式，即可求解.【詳解】flog=故選：A2.（23-24高三下·重慶·階段練習）已知定義在R上的函數fx是奇函數，且當x≥0時，fx=A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】B【分析】定義在R上的函數fx是奇函數，所以f0=0，由此可得a的值，進而由f【詳解】因為fx是定義在R上的奇函數，所以f解得a=?log23f3所以f?3故選：B.1.（2024·四川遂寧·模擬預測）下列函數滿足flogA．f(x)=1+lnx C．fx=x?1【答案】C【分析】令t=log23>1【詳解】令t=log23，t>1，則1t=對于A，f(1對于B，f(1t)=對于C，f1t=1t對于D，f(1t)=1?故選：C．2.（2024·山東濟寧·三模）已知函數f(x)=1【答案】2【分析】利用已知的分段函數，可先求f(12)=?【詳解】因為f(x)=12x所以ff故答案為：2.3.（2024·河北·三模）已知函數fx=lgx，若fa=fb【答案】log【分析】根據題意，由條件可得ab=1，令z=2【詳解】由fa=fb得?lga=則ln當且僅當a?ln2=b?ln3，即故答案為：log24.（2024·四川·模擬預測）已知函數fx=cosx?lnA．?1 B．?3 C．?5 D．3【答案】A【分析】構造新函數，利用奇函數的性質即可求得f?m【詳解】fx定義域為R，令g則g?x∴gx是R∴g?m即f?m故選：A．考點三、對數函數的定義域與不等式1.（2024·青海海南·二模）函數f(x)=lgA．(?10,10C．[?10,10【答案】D【分析】根據對數函數的真數大于0和分母不為0即可得到不等式組，解出即可.【詳解】∵函數f(x)=lg∴10?x2>0故選：D．2.（23-24高三上·天津河東·階段練習）函數fx=lg【答案】(1,4)【分析】利用函數有意義，列出不等式求解即得.【詳解】函數fx=lgx?14?x所以函數fx=lg故答案為：(1,4)1.（2022高三上·河南·專題練習）函數fxA．(1,π2)∪(π2,4) B．(1,【答案】B【分析】由對數的真數大于零，二次根式的被開方數非負和分式的分母不為零，列不等式組可求得結果.【詳解】要使fx有意義，需滿足x?1>0解得1<x<4且x≠π所以定義域為(1,π故選：B．2.（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx的定義域為?2,2，則函數FA．?3,1 B．?3,0C．?1,0∪0,1∪1,3【答案】D【分析】根據抽象函數定義域的求法及分式和對數有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意可知，要使Fx只需要?2≤x+1≤2x>0x所以x∈?3,?1所以函數Fx的定義域為?3,?1故選：D.3.（2024·北京通州·二模）已知函數fx=x【答案】x【分析】根據函數的定義域有意義，解不等式求解.【詳解】根據題意可得x≥0x?2>0,解得故定義域為xx>2故答案為：x4.（23-24高三下·上海·階段練習）函數f(x)=lg(4【答案】(1,+∞【分析】根據對數函數的性質得不等式，然后解指數不等式可得．【詳解】由題意4x?2∴2x>2，x>1，∴定義域為故答案為：(1,+∞考點四、對數函數的值域問題1.（23-24高三上·北京·期中）下列函數中，值域為1,+∞A．y=1sinx B．y=x+1 【答案】D【分析】根據初等函數的性質逐一求出相應值域即可得答案.【詳解】因為?1≤sinx≤1，且sinx≠0，所以1因為x≥0，所以x因為x+1≥1，所以lg因為2x>0，所以2x+1>1，即故選：D2.（2024高三·全國·專題練習）函數fx=ln【答案】1,【分析】利用函數的單調性可求函數的值域.【詳解】函數fx=ln故答案為：1,1.（23-24高三上·上海黃浦·期中）函數y=log3x+1log【答案】2【分析】對函數變形后，利用基本不等式求出最小值.【詳解】y=log因為x∈13,+∞，所以故y=1+當且僅當1+log3x=故答案為：222.（23-24高三上·河南·期中）已知函數f(x)=x2+4x+3,x<2ln(x?1)+1,x≥2，則fe【答案】2?1,+【分析】根據分段函數解析式代入計算即可求得fe+1=2；利用二次函數單調性以及對數函數單調性分別求出對應函數值域即可求得f【詳解】易知e+1>2，所以f當x<2時，fx當x≥2時，fx=lnx?1+1所以fx綜上可知fx的值域為?1,+故答案為：2；?1,+3.（23-24高三上·重慶·期中）已知a>0，函數fx=log2x,x≥ax?2x?3,x<a且x≠3當a=2時，【答案】0,+∞【分析】由a=2得到fx=log2x,x≥2,x?2【詳解】解：當a=2時，f當x<2時，fx當x≥2時，fx所以當a=2時，fx的值域為0,+畫出fx

由圖象知：當a<2或a>3時，存在x1，x2x當2≤a≤3時，不存在x1，x2x故答案為：0,+∞，4.（23-24高三上·福建莆田·階段練習）函數fx=log【答案】?【分析】確定函數定義域為0,+∞，變換f【詳解】函數fx=logf=log當且僅當x=1x，即x=1時等號成立，故值域為故答案為：?∞考點五、對數函數的定義域與值域求參問題1.（23-24高三下·四川雅安·階段練習）若函數f(x)=log0.5(A．?∞,?3 B．?∞,?4 C．【答案】B【分析】利用對數函數的定義，結合二次函數性質求出a的范圍，再利用對數函數性質求解即得.【詳解】依題意，x2?ax+2a取遍所有正數，則Δ=a2所以f(a)=log故選：B2.（22-23高三·全國·對口高考）若函數y=lgx2?ax+9的定義域為R，則a的取值范圍為；若函數y=lg【答案】(?6,6)(?【分析】第一空，由題意可得x2?ax+9>0對于x∈R【詳解】函數y=lgx2?ax+9的定義域為R，則故Δ=(?a)2?4×9<0，解得若函數y=lgx2?ax+9的值域為故Δ=(?a)2?4×9≥0，解得a≥6或故答案為：(?6,6)；(?1.（23-24高三上·上海閔行·期中）已知fx=log4x,x<ax?32,x≥a，若函數【答案】1,4【分析】求出分段函數在各段上的函數值集合，再根據給定值域，列出不等式求解即可.【詳解】由對數函數的定義和單調性可知a>0，且當x<a時，fx當x≥a時因為一元二次函數x?32的對稱軸為x=3所以當0<a≤3時，fx若函數y=fx的值域為R，則log4a≥0當a>3時，fx若函數y=fx的值域為R，則log令ga=log4a?令?a=1?2aa?3ln4=因為?3=1>0，?4=?8ln所以當a∈3,a0時，g'a>0，ga又因為g3=log43>0，g綜上1≤a≤4，故答案為：1,42.（2023·全國·模擬預測）若“?x∈3,27，log3x≤m”是真命題，則實數m【答案】3（答案不唯一）【分析】由題意可得出?x∈3,27，不等式log3x≤m【詳解】由“?x∈3,27，log得?x∈3,27，不等式log而?x∈3,27，log3x的最大值為log所以m的取值范圍是m≥3，所以m的一個可能取值為3（答案不唯一）．故答案為：3（答案不唯一）3.（2023·江西景德鎮·模擬預測）若拋擲兩枚骰子出現的點數分別為a，b，則在函數fx=lnA．217 B．219 C．317【答案】D【分析】根據函數的值域為R可得a,b之間的關系，再根據gx為偶函數可得a=b【詳解】設事件A為“fx設事件B為“函數gx擲兩枚骰子出現的點數分別為a，b，所得基本事件a,b有：1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,故基本事件的總數為36.因為fx=lnx2而gx=a所以ax?b所以ax=b故A對應的基本事件a,b有：2,1，3,1,4,1,5,1,6,1,故共有基本事件的個數為19，又AB對應的基本事件有4,4,故PB|A故選：D.考點六、對數函數過定點問題1.（·山東·高考真題）函數y=logax+3?1a>0,a≠1的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m、n>0【答案】8【分析】求出定點A?2,?1，可得出2m+n=1，將代數式1m+2n【詳解】對于函數y=logax+3?1a>0,a≠1，令x+3=1故函數y=logax+3因為點A在直線mx+ny+1=0上，則?2m?n+1=0，可得2m+n=1，因為m、n>0，所以，1m當且僅當n=2m時，等號成立，故1m+2故答案為：8.2.（23-24高三上·陜西·階段練習）函數fx=logax+1【答案】0,1【分析】根據loga1=0，令【詳解】令x+1=1，則x=0，此時a在0,1∪1,+∞上無論取何值，fx的值總為1，故函數故答案為：0,11.（23-24高三上·陜西咸陽·期中）已知函數y=loga(x?1)+4(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P，點P在冪函數y=f(x)的圖象上，則lg【答案】2【分析】令x?1=1可求得定點P的坐標，從而可求得y=f(x)的解析式，即可求解.【詳解】令x?1=1得y=4，則定點P2,4設冪函數f(x)=xα，將點P代入可得4=2α，則因此lgf(2)+故答案為：2.2.（2023·江西贛州·一模）已知函數y=1+loga2?x(a>0且a≠1)的圖像恒過定點P，且點P在圓x2【答案】5（不唯一，取m>4的整數即可）【分析】先求定點P的坐標，結合點在圓外以及圓的限制條件可得m的取值.【詳解】因為函數y=1+loga2?x的圖像恒過定點1,1因為點P在圓x2所以12+12+m+m>0且m又m為整數，所以m的取值可以為5,6,7,?.故答案為：5（不唯一，取m>4的整數即可）.3.（2023·青海西寧·二模）已知函數y=loga3x?2+2（a>0且a≠1）的圖像過定點A，若拋物線【答案】x=-1【分析】先求出A點的坐標，再求出p即可.【詳解】因為函數y=logax經過定點1,0定點A1,2，將它代入拋物線方程得22=2p×1所以其準線方程為x=故答案為：x=?1.4.（2023高三·全國·專題練習）已知數列an為等比數列，函數y=loga(2x?1)+2的圖象過定點a1,a2，bn【答案】45【分析】先求出函數過定點(1,2)，則等比數列an確定，由bn=【詳解】由已知y=loga(2x?1)+2，令x=1所以函數y=loga2x?1所以a1=1，由數列an為等比數列，則a而bn=log所以數列bn是以0為首項，1為公差的等差數列，b1=0則S10故答案為：45.考點七、對數函數的單調性1.（2022高三·全國·專題練習）函數fx=log【答案】?【分析】求出函數的定義域，確定fx=log【詳解】由題意知函數fx令u=?2x2+3x+2則fx=log由于y=log15故要求函數fx即求u=?2x而u=?2x2+3x+2則u=?2x2+3x+2,(?則函數fx=log故答案為：?2.（2024·黑龍江·模擬預測）設函數f(x)=ln|x?a|在區間(2,3)上單調遞減，則A．(?∞,3] B．(?∞,2] C．【答案】D【分析】由復合函數的單調性分析得u=|x?a|在(2,3)上單調遞減，根據u=|x?a|單調性即可得到答案.【詳解】設u=|x?a|，易知函數y=ln因為f(x)=ln|x?a|在區間所以由復合函數單調性可知，u=|x?a|在(2,3)上單調遞減.因為函數u=|x?a|在(?∞所以3≤a，即a∈[3,+∞故選：D.1.（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數f(x)=ln(ax+2)在區間(1,2)上單調遞減，則實數A．a<0 B．?1≤a<0 C．?1<a<0 D．a≥?1【答案】B【分析】利用換元法和復合函數單調性的判斷方法，換元后可知只要滿足a<02a+2≥0即可，從而可求出實數a【詳解】令t=ax+2，則y=ln因為函數f(x)=ln(ax+2)在區間且y=ln所以a<02a+2≥0，解得?1≤a<0故選：B2.（·天津·高考真題）若函數fx=logax3?ax（a>0A．14,1 B．34,1 C．【答案】B【分析】分a>1和0<a<1分析函數內外層的單調性，列不等式求解【詳解】函數f(x)=loga(則(?12)設t=x3?ax,則(1)當a>1時，y=log要使函數f(x)=loga(需使t=x3?ax則需使t'=3x2?a≥0，對任意x∈(?12因為x∈(?12,0)時，0<3x2(2)當0<a<1時，y=1og要使函數fx=log需使t=x3?ax則需使t'=3x2?a≤0即a≥3x2對任意因為x∈(?1所以a?3又a<1，所以34綜上，a的取值范圍是3故選：B3.（2024·陜西銅川·三模）若函數y=3a?1x+2a,x<1,logax,x≥1A．0,13 B．0,15 C．【答案】C【分析】根據一次函數以及對數函數的單調性，結合分段函數的性質即可求解.【詳解】∵函數y=3a?1x+2a,x<1,log∴3a?1<0,0<a<1,3a?1+2a≥故選：C.考點八、對數函數的圖像1.（2024·湖北·模擬預測）函數fxA． B． C． D．【答案】A【分析】根據x<0時f(x)的單調性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【詳解】fx因為當x<0時，y=e所以，y=ex?又因為f?x所以fx故選：A2.（23-24高三下·四川綿陽·開學考試）函數y=lgA． B．

C． D．

【答案】C【分析】根據函數奇偶性可排除B，利用函數值正負可排除A，再根據單調性排除D，得解.【詳解】令fx=lg因為f?x=lg又當x>1時，fx當x>0時，fx∴f∴0<x<e，f'x當x>e時，f'x故選：C.1.（22-23高三上·甘肅平涼·階段練習）函數y=xA． B．C． D．【答案】C【分析】判斷函數的奇偶性和對稱性，然后分析當0<x<1時的函數值符號，進行判斷即可．【詳解】因為y=fx=x且f(?x)=f(x)，則f(x)是偶函數，圖象關于y軸對稱，排除A，D，當0<x<1時，2x2+1所以，當0<x<1時，y>0，當x=1時，y=0，排除B，所以C正確．故選：C2.（2024·湖南邵陽·模擬預測）函數f(x)=lnA． B．C． D．【答案】A【分析】由x<0，f(x)<0排除BC；利用導數探討函數g(t)=ln【詳解】依題意，?x∈R，x2+1當x<0時，0<x2+1+x=1當x>0時，令t=x2+1令g(t)=lntt,t>1，求導得g'(t)=1?lnt即函數g(t)在(1,e)上單調遞增，在(e,+∞)故選：A3．（2024·四川成都·三模）函數f(x)=xA． B．C． D．【答案】A【分析】由函數的奇偶性排除兩個選項，再根據x∈(0,π【詳解】函數f(x)=xcos2xln(函數f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱，BD不滿足；當x∈(0,π4)時，cos故選：A考點九、對數模型實際應用1.（21-22高三上·江蘇揚州·期末）2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的著名數學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數學界的震動.在1859年，德國數學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數個數》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數學家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數字x的素數個數大約可以表示為πx≈xlnxA．1079 B．1075 C．434 D．2500【答案】B【分析】計算π10000【詳解】因為π10000所以，估計10000以內的素數個數為1075.故選：B.2.（2021·寧夏銀川·二模）中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率C取決于信道帶寬W，經科學研究表明：C與W滿足C=Wlog2(1+SN)，其中S是信道內信號的平均功率，N是信道內部的高斯噪聲功率，A．10% B．20% C．30% D．40%【答案】B【分析】先計算SN=1000和SN=4000時的最大數據傳輸速率C1【詳解】當SN=1000時，當SN=4000時，所以增大的百分比為：C2?C故選：B.1.（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研究可知：在室溫25°C下，某種綠茶用85°C的水泡制，經過xmin后茶水的溫度為y（參考數據：ln2≈0.69,A．6min B．7min C．8min 【答案】B【分析】根據初始條件求得參數k，然后利用已知函數關系求得口感最佳時泡制的時間x．【詳解】由題意可知，當x=0時，y=85，則85=k+25，解得k=60，所以y=60×0.9227當y=60時，60=60×0.9227x+25則x==ln所以茶水泡制時間大的為7min.故選：B.2.（2024·河南三門峽·模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+1.5M.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發生了里氏5.7級地震，所釋放的能量記為E1,2024年1月13日在湯加群島發生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為EA．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由對數運算性質可得lgE1E2，進而可得【詳解】由已知得lgE1=4.8+1.5×5.7,所以E1因為54<1000<6所以E1故選：B.3.（2024·廣東·一模）假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎上進步2%，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步1%.那么，大約需要經過（

）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數據：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，A．23 B．100 C．150 D．232【答案】B【分析】根據給定信息，列出方程，再利用指數式與對數式的互化關系求解即可.【詳解】令甲和乙剛開始的“日能力值”為1，n天后，甲、乙的“日能力值”分別(1+2%依題意，(1+2%)n(1?1%因此n=1+所以大約需要經過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故選：B考點十、對數函數比較大小1.（2020·全國·高考真題）若2xA．ln(y?x+1)>0 B．ln(y?x+1)<0 C．ln|x?y|>0【答案】A【分析】將不等式變為2x?3?x<2y【詳解】由2x?2令ft∵y=2x為R上的增函數，y=3?x為R上的減函數，∴x<y，∵y?x>0，∴y?x+1>1，∴ln∵x?y與1故選：A.【點睛】本題考查對數式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構造函數的方式，利用函數的單調性得到x,y的大小關系，考查了轉化與化歸的數學思想.2.（2024·湖北武漢·二模）設a=15,b=2A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】B【分析】構造函數f(x)=x?sinx、g(x)=x?ln(x+1)和【詳解】由已知可得b=2ln設f(x)=x?sinx，x∈(0,1)，則所以f(x)=x?sinx在所以f15>f(0)=0，即1設g(x)=x?ln(x+1)，x∈(0,1)，則所以g(x)=x?ln(x+1)在所以g15>g(0)=0綜上a>b，設?(x)=x?65ln(x+1)，當x∈0,15時，?'(x)<0所以?(x)=x?65ln(x+1)在所以?15<?(0)=0，即1所以b<a<c故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵首先對b進行合理變形得b=ln(1+sin15)，再通過構造函數1.（2024·湖北黃岡·二模）已知a,b,c,d分別滿足下列關系：16a=15,b=logA．a<b<c<d B．c<a<b<dC．a<c<b<d D．a<d<b<c【答案】B【分析】將指數式化成對數式，利用換底公式，基本不等式可推得a<b，利用指對數函數的單調性，通過構造函數判斷單調性可推得c<a，最后利用正切函數的單調性可得b<d.【詳解】由16a=15,a?b=log16因ln15?ln17<又ln16?ln17>0，故a?b<0因log1516c=1716由函數y=lnxx，y'=即函數y=lnxx在(e,+由b=log1716<1，而d=綜上，則有c<a<b<d.故選：B.【點睛】方法點睛：解決此類題的常見方法，（1）指、對數函數的值比較：一般需要指對互化、換底公式，以及運用函數的單調性判斷；（2）作差、作商比較：對于結構相似的一般進行作差或作商比較，有時還需基本不等式放縮比較；（3）構造函數法：對于相同結構的式子，常構造函數，利用函數單調性判斷.2.（2024·山東聊城·三模）設a=log49,b=A．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．c>b>a【答案】A【分析】根據對數運算性質及對數函數單調性比較大小即可.【詳解】因為函數y=log2x故b=log又c=3所以b>a>1>c.故選：A考點十一、對數函數綜合應用1.（23-24高三下·江蘇·階段練習）已知函數fx=3A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】準確分析函數性質，在同一平面直角坐標系中畫出兩函數的圖象即可得解.【詳解】fx=3當fx取最大值時，有3x+π6由gx令?1<x=π9+當x趨于?1時，?x而??所以?x=fx根據上述分析，在同一平面直角坐標系中畫出fx的圖象與g

由圖可知，?x=fx?x=fx?gx綜上所述，fx的圖象與g故選：C．【點睛】關鍵點點睛：關鍵是對區間進行適當劃分，從而研究函數在各個區間上的性質，由此即可順利得解.2.（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數fx=ex,x≤0,lnx,x>0,gA．0 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】方程fgx=?3?gx有兩個不同的根等價于函數y=fgx與【詳解】由題意得：gx=x?3當x≤3時，gx≤0，當x>3時，gx>0，方程fgx=?3?gx=?x作出函數fgx與由圖可知y=ex?3與y=ln則A,B兩點關于y=x?3對稱，中點C在y=x?3圖象上，由y=?xy=x?3，解得：C所以x1故選：B1.（2024·陜西西安·模擬預測）“0<a≤12”是“方程22xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】通過對數函數和指數函數在指定范圍內有交點即可.【詳解】因為方程22x=log設f(x)=4x，當a>1時，函數f(x),g(x)在x∈(0,12]當0<a<1時，函數f(x)在x∈(0,12]單調遞增，函數g(x)如圖②所示，即方程轉化為f(x)=g(x)在x∈(0,1故0<a<1f(解得0<a≤2綜上所訴，實數a的取值范圍為：0<a≤2所以0<a≤12是故選：A.

2.（2024·河南·模擬預測）已知an為正項等比數列，若lga2,lgA．10 B．104 C．108 【答案】B【分析】根據an是等比數列，lga2【詳解】因為lga2,lga2023是fx=3x故選：B.3.（2024高三·全國·專題練習）設方程2x+x+3=0和方程log2x+x+3=0的根分別為A．f2=f0C．f3<f2【答案】B【分析】畫出y=2x,y=【詳解】由2x+x+3=0得2x=?x?3，由所以令y=2設y=2x,y=?x?3交于點B，y=由于y=2x,y=而y=?x?3,y=x的交點為A?32注意到函數fx=x+px+q=且二次函數fx從而f0故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于畫出y=2考點十二、對數函數的奇偶性與對稱性1.（2022·全國·高考真題）若fx=lna+11?x+b是奇函數，則【答案】?12；【分析】根據奇函數的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數定義域的對稱性若a=0，則f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱∴a≠0若奇函數的f(x)=ln|a+11?x|+b有意義，則∴x≠1且x≠1+1∵函數f(x)為奇函數，定義域關于原點對稱，∴1+1a=?1由f(0)=0得，ln1∴b=ln2，故答案為：?12；[方法二]：函數的奇偶性求參f(x)=ln|a+f(?x)=ln|∵函數f(x)為奇函數∴f(x)+f(?x)=ln|∴ln|∴?2b=ln[方法三]：因為函數fx由a+11?x≠0可得，1?xa+1?ax≠0，所以x=a+1a=?1，解得：a=?12，即函數的定義域為故答案為：?12；2.（2024·重慶·模擬預測）已知定義在0,1上的函數fx滿足：?x∈0,1，都有f1?x+fx=1，且fxA．13 B．12 C．14【答案】B【分析】利用賦值法可得f13=f12=1【詳解】由于?x∈0,1，都有f1?x+fx=1又f0=由于0≤x1<x2≤1，由于ln3>1,ln33>因此13<ln故選：B1.（2024·山東泰安·模擬預測）設fx是定義在R上的奇函數，且f2+x=f?x，當?1≤x<0時，A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】D【分析】由題意求出函數的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【詳解】因為fx是定義在R上的奇函數，且f則f2+x=?fx所以函數fx的周期為4所以f25故選：D.2.（2024·江西·二模）已知定義在R上的函數fx滿足fx+2=f?x=?fx，當0<x≤1時，A．?52+4k,?32+4k，C．?12+4k,12+4k，【答案】D【分析】依題意可得fx的奇偶性、對稱性與周期性，即可得到fx的圖象，即可得到?1【詳解】因為f?x=?fx又因為fx+2=f?x，所以f由fx+4=?fx+2=fx因為當0<x≤1時，fx=log2x+1函數fx根據圖象可知，若fa+1>fa，則?解得?32+4k<a<所以實數a的取值范圍是?32+4k,故選：D．3.（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知函數fx=3log2x2+1A．6 B．8 C．12 D．24【答案】C【分析】先證明函數fx=3log2x2+1【詳解】因為fx=3log因為f?x所以fx=3log由解析式可以看出函數fx因為fa所以a+3b?1=0，即a+3b=1，因為a,b為正數，所以3b+aab當且僅當9ba=a故選：C1．（2024·四川成都·模擬預測）已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+3)=f(x?1)，且當x∈(?2,0)時，f(x)=log2(x+3)A．1 B．?1 C．1?log23【答案】B【分析】首先得到fx【詳解】根據題意，函數f(x)滿足f(x+3)=f(x?1)，則f(x)=f(x+4)，即f(x)是周期為4的周期函數，所以f(2021)=f1，f(2024)=f(0)，又由函數f(x)為定義在R上的奇函數，則f(0)=0，f(?1)=?f當x∈(?2,0)時，f(x)=log2(x+3)，則f(?1)=所以f(2021)?f(2024)=?1，故選：B．2．（2024·江蘇·模擬預測）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+1.5MA．87 B．1087 C．10【答案】C【分析】由題意分別求得震級M=8.0和M=7.0時的釋放的能量，進而求得兩次地震釋放的能量比.【詳解】設里氏震級M=8.0時釋放的能量為E1，里氏震級M=7.0時釋放的能量為E則lgE1=4.8+1.5×8=16.8所以E1=10所以E1即2008年5月12日汶川地震釋放出的能量是2024年4月3日我國臺灣發生的地震釋放的能量的101.5故選：C.3．（2024·四川成都·模擬預測）對數的發明是數學史上的重大事件，它可以改進數字的計算方法、提高計算速度和準確度.已知M=1,3，N=1,3,5,7，若從集合M，N中各任取一個數x，y，則A．14 B．25 C．12【答案】C【分析】基本事件總數n=2×4=8，利用列舉法求出log3【詳解】M=1,3，N=基本事件總數n=2×4=8.log3xy為整數包含的基本事件有1,1，1,3，3,1，∴log3xy為整數的概率為故選：C.4．（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=log22?x的值域為?【答案】[0,1)【分析】首先求出函數f(x)的定義域，再利用抽象函數的定義域的求法求解【詳解】由fx=log得log22?x≤1解得0≤x<2即fx的定義域為0,2由0≤2x<2得0≤x<1，故f2x的定義域為[0,1)故答案為：[0,1)5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數f(x)=log2x2+a【答案】1【分析】先求出函數的定義域，然后由奇函數的性質得f(0)=0可求出a.【詳解】由x2+a?x>0所以函數fx的定義域為R因為fx所以f(0)=log2a故答案為：16．（2024·四川自貢·三模）函數f(x)=2x?1(x≤1)x2?x(x>1)【答案】2【分析】分a≤1和a>1兩種情況列方程求解即可.【詳解】f(x)=2x?1(x≤1)則a≤12a?1=2或a>1a2?a=2，即故答案為：2.7．（23-24高三下·福建廈門·強基計劃）x表示不超過x的最大整數，則k=12024lg【答案】?2020【分析】先分類討論x+【詳解】若x是整數，則x+若x不是整數，則x?x∈0,1而?x?1是整數，?x=?x?1+1?x+x，故由記ak=lg對1≤k≤2024：當k∈1,10,100,1000時，lgk是整數，所以當k?1,10,100,1000時，lgk不是整數，所以故k=12024故答案為：?2020.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于對向下取整函數定義的理解.1．（2024·重慶九龍坡·三模）正整數1,2,3,?,n的倒數的和1+12+13+?+1n已經被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當n很大時，1+12+13（參考數據：ln2≈0.69，ln3≈1.10，A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】設an=1+12+【詳解】設an=1+1因為an+1可知數列an且a1800a2048可知8.07<a2024<8.17故選：C.2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數fx=?14x?4A．0,1 B．1,3 C．1,3 【答案】B【分析】根據題意，結合分段函數的單調性的判定方法，結合對數函數的性質，列出關于a的不等式，即可求解.【詳解】根據題意，當x≤34時，fx=?1要使得函數fx=?則滿足a>1，且loga4×3所以實數a的取值范圍為1,3故選：B.3．（23-24高三下·浙江·階段練習）已知函數fx=xx?1?A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查函數的零點問題，指數函數與對數函數互為反函數，令?x=xx?1=【詳解】由題意，fxg令?x因為y=2x與y=log且y=1x?1+1設Aα,則A,B關于直線y=x對稱，所以α=log2由αα?1=2所以1<α<2．由αα?1=2所以α+2又α=log2β,則1α故選：A．4．（2024·寧夏銀川·三模）命題p:0<a<1，命題q:函數f(x)=loga(2?ax)(a>0且a≠1)在(?∞,3)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據對數復合型函數的單調性，由命題q求出a的取值范圍，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】設t=2?ax，則fx=log充分性：當0<a<1時，函數y=logat在?∞,3且當0<a<23時，t>0，fx當23<a<1時，t<0，此時必要性：若y=logat在?∞,3上單調遞減，則0<a<1且t=2?ax>0在?∞,3上恒成立，所以2?3a>0，得所以當0<a<23時，f(x)在若y=logat在?∞,3上單調遞增，則a>1且t=2?ax>0在?∞,3上恒成立，所以2?3a>0，得綜上可知，當函數f(x)在?∞,3上單調時，所以p是q的必要不充分條件．故選：B．5．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知定義在R上的函數fx滿足f(x+2)=?f(x)，當x∈2,4時，fxA．1 B．2 C．?12【答案】B【分析】先求出fx的周期，再結合函數f【詳解】由f(x+2)=?f(x)，可得f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，所以fx是以周期為4的周期函數，所以f(99)=f(24×4+3)=f(3)因為當x∈2,4時，fx=1+log3故選：B6．（2024·山東泰安·模擬預測）已知fx=xA．gx=lnC．gx=x【答案】C【分析】先確定出gx【詳解】因為fx=x2g所以gx對于選項A