試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年北京市石景山區高一下學期期末數學試題一、單選題1．復數的模為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：或選【解析】1．復數的四則運算；2．復數的模．2．若α為第四象限角，則（）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【分析】由題意結合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當時，，選項B錯誤；當時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【點睛】本題主要考查三角函數的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數值等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是4，則扇形的周長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據扇形的面積，利用扇形的面積公式求其半徑，再根據扇形弧長公式及周長的求法求周長即可.【詳解】若扇形的半徑為，而圓心角的弧度數，則，故，∴扇形的周長.故選：C4．以角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，角終邊過點，則（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根據終邊上的點求出，再應用兩角差正切公式求值即可.【詳解】由題意知：，而.故選：C5．下列函數中，最小正周期為且圖象關于原點對稱的函數是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數的周期，函數的奇偶性，判斷求解即可．【詳解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函數，函數的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x）＝cos2x，函數是偶函數，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函數是非奇非偶函數，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosxsin（x），函數是非奇非偶函數，周期為2π，所以D不正確；故選A．【解析】三角函數的性質.6．已知向量的夾角為，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，即，則，解得（舍去）或，故選D.7．歐拉公式為,(虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式可知，表示的復數位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】計算，得到答案.【詳解】根據題意，故，表示的復數在第一象限.故選：.【點睛】本題考查了復數的計算，意在考查學生的計算能力和理解能力.8．要得到函數的圖像，只需要將函數的圖像（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】B【分析】根據函數變換前后的解析式，結合左加右減、上加下減的原則，即可判斷平移過程.【詳解】，∴將函數的圖像向右平移個單位，可得.故選：B9．已知函數，則的最大值是（）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】利用二倍角余弦公式，結合的值域范圍及二次函數的性質，即可求的最大值.【詳解】，而，∴.故選：C10．如圖所示，邊長為1的正方形的頂點A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動，則的最大值是（）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】令，由邊長為1的正方形的頂點、分別在軸、軸正半軸上，可得出，的坐標，由此可以表示出兩個向量，算出它們的內積即可．【詳解】解：令，由于，故，，，，故，，故，同理可求得，即，,,，的最大值是2，故選：．二、填空題11．函數的最小正周期是__________．【答案】【分析】對給定函數式用二倍角的余弦公式降冪即可得解【詳解】由已知得：，其最小正周期為.故答案為：12．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.【答案】8.【分析】利用轉化得到加以計算，得到.【詳解】向量則.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數量積、平面向量的垂直以及轉化與化歸思想的應用.屬于容易題.13．已知，，則的值為．【答案】3【詳解】，故答案為3.14．的內角的對邊分別為，若，則________．【答案】【分析】根據正弦定理將邊化為角，再根據兩角和正弦公式以及誘導公式化簡得cosB的值，即得B角.【詳解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變為2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向.第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結果.15．設，其中，，若對一切恒成立，則對于以下四個結論：①；②；③既不是奇函數也不是偶函數；④的單調遞增區間是．正確的是_______________（寫出所有正確結論的編號）．【答案】①③【分析】利用輔助角公式可得且，根據題設不等式恒成立可得，再由各項的描述，結合正弦函數的性質、函數奇偶性定義判斷正誤.【詳解】由題設，且，∵對一切恒成立，∴，即，則,①，正確；②，而，所以，錯誤；③，故，即是非奇非偶函數，正確；④因為在上單調遞增，所以，令，則等價于上單調遞增，錯誤；故答案為：①③【點睛】關鍵點點睛：利用輔助角公式求得，由正弦函數的性質及不等式恒成立有求值.三、解答題16．已知平面上三點A，B，C．，．（1）若三點A，B，C不能構成三角形，求實數k應滿足的條件；（2）若中角C為鈍角，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得向量與平行，根據平行的坐標表示即可求出答案；（2）由題意，且向量與不平行，根據數量積的坐標運算即可求出結論．【詳解】解：（1）由三點A，B，C不能構成三角形，得A，B，C在同一直線上，即向量與平行，∴，解得；（2）當角C是鈍角時，，∴，解得，又向量與不平行，則，綜上：的取值范圍是．17．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據角的范圍，結合同角的三角函數的平方關系、兩角和正弦公式求值即可；（2）由二倍角正余弦公式求、，應用兩角差余弦公式求值即可.【詳解】（1）∵，，∴．∴；．（2）∵，，∴．18．如圖，在中，D為邊BC上一點，，，.（1）若，求的大小；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）直接利用三角函數關系式的恒等變換，利用誘導公式求出結果．（2）利用解直角三角形和三角形的面積公式求出結果．【詳解】（1）設∠BAD＝α，∠CAD＝β，則，，所以，因為α+β∈（0，π），所以，即．（2）過點A作AH⊥BC交BC的延長線于點H，因為，所以，所以；所以．【點睛】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，解直角三角形的應用，三角形面積公式的應用．19．已知函數.（1）求函數的最小正周期;（2）求函數在區間上的最小值和最大值.【答案】（1）；（2），【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據三角函數的恒等變換，化簡得，即可求解函數的最小正周期；（Ⅱ）由，得，利用正弦型函數的圖象與性質，即可求解函數的最大值與最小值．試題解析：（1）所以周期為.（2）因為，所以.所以當時，即時.當時,即時.20．在中，，，且，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求：（1）的值；（2）的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】選擇見解析；（1）；（2）．【分析】選擇條件①，由正弦定理得，再由余弦定理可得，再運用面積公式可算出的面積.選擇條件②，由正弦定理得，再由余弦定理算得，再運用面積公式可算出的面積.【詳解】解：選條件①：．（1）在中，因為，所以．因為，且，，，所以．化簡得，解得或．當時，，與題意矛盾．所以，所以．（2