第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省高一（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（提高卷）一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若對任意0<x1<x2，均有x2f(xA.(?∞,?2)∪(2,+∞) B.(?2,2)

C.(?2,0)∪(0,2) D.(?2,0)∪(2,+∞)2.已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=ex?e?x2A.(?∞,13) B.(13,+∞)3.函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=9x+1x?2a+6，若f(x)≥a?2對一切x≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是A.(?∞,23] B.[?2,2] C.[?2,+∞)4.已知函數(shù)f(x)=2x2?1，g(x)=ax，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的較大者，記為M(x)=max{f(x),g(x)}，若M(x)的最小值為?12，則實數(shù)A.0 B.±1 C.±2 二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。5.函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在區(qū)間[m,n]?D使f(x)在區(qū)間[m,n]上的值域也是[m,n]，則稱區(qū)間[m,n]為函數(shù)f(x)的“和諧區(qū)間”，則下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是(

)A.f(x)=x B.f(x)=x2?2x+2

6.已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足：①?x，y∈R，則有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，②當(dāng)x>0時，f(x)<1，③f(1)=?2，則以下說法正確的是(

)A.f(0)=1

B.f(4x)=4f(x)?4

C.f(x)在[?3,3]上的最大值是10

D.不等式f(3x27.定義域和值域均為[?a,a](常數(shù)a>0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)圖象如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是(

)

A.方程f[g(x)]=0有且僅有三個解 B.方程g[f(x)]=0有且僅有三個解

C.方程f[f(x)]=0有且僅有九個解 D.方程g[g(x)]=0有且僅有一個解8.下列說法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)=ax?1?2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(1,?2)

B.若不等式ax2+2x+c<0的解集為{x|x<?1或x>2}，則a+c=2

C.函數(shù)f(x)=x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。9.古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底曾研究過如圖的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.若以斜邊BC為直徑的半圓面積為π，則以AB，AC為直徑的兩個半圓的弧長之和的最大值為______．10.已知函數(shù)f(x)=x2+4x,x≥22|x?a|,x<2，若對任意的x111.已知函數(shù)f(x)=(m?2)xm是冪函數(shù)，若f(k2+3)+f(9?8k)≤0四、解答題：本題共11小題，共132分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。12.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+cx2+4是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)=14．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷并證明f(x)在(?2,2)上的單調(diào)性；

13.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)對任意的a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)?1，且當(dāng)x>0時，f(x)>1．

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若f(xy)=f(x)?f(y),f(2)=1，解不等式f(x)?f(14.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x+ax2+4是定義在[?2,2]上的奇函數(shù)．

(1)求實數(shù)a的值；

(2)判斷f(x)在[?2,2]上的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)設(shè)g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)，若對任意的x115.(本小題12分)

如果存在常數(shù)t，對于任意x∈R，都有f(x+t)≥tf(x)成立，那么稱該函數(shù)具有“t變換”．

(1)判斷函數(shù)f(x)=x，g(x)=|x|是否具有“t變換”，并說明理由．

(2)已知?(x)=x2+tx具有“t變換”，求t的值．

(3)如果F(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，F(xiàn)(x)=x2?2ax且F(x)16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=bx+cx2+a是定義在區(qū)間[?1,1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，f(12)=45．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷并證明函數(shù)f(x)在區(qū)間17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x+4x?1．

(1)當(dāng)x∈[1,3]時，求f(x)的值域；

(2)若關(guān)于x的方程1618.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x|x?2|?a+1，g(x)=x2?ax?1，m∈R，且函數(shù)f(x)有三個零點．

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)若對任意的x1∈[m,m+2]，總存在x219.(本小題12分)

已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且滿足f(x)?g(x)=21?x．

(1)求f(x)，g(x)；

(2)若?(x)=|12[f(x)+g(x)]?1|，且方程[?(x)20.(本小題12分)

我們知道，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù)．

(1)已知函數(shù)φ(x)=x2?2x+a(ex?1+e?x+1)，求該函數(shù)圖象的對稱軸方程；

(2)若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時，g(x)=x2?21.(本小題12分)

已知f(x)是定義在區(qū)間[?1,1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若a，b∈[?1,1]，a+b≠0時，有f(a)+f(b)a+b>0．

(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)在[?1,1]上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)若f(x)≤m2?5mt?5對所有x∈[?1,1]，22.(本小題12分)

已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且滿足f(x)?g(x)=21?x．

(1)求f(x)，g(x)；

(2)若方程mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解，求實數(shù)m的取值范圍；

(3)若?(x)=|12[f(x)+g(x)]?1|參考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.ABD

6.ACD

7.AD

8.BD

9.2π

10.[0,4)

11.6

12.解：(1)因為f(x)=ax2+bx+cx2+4是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(0)=c4=0，所以c=0，

所以f(x)=ax2+bxx2+4，所以f(?x)=ax2?bxx2+4，

又因為f(?x)=?f(x)，所以ax2?bx=?ax2?bx，

所以a=0，所以f(x)=bxx2+4，

又因為f(2)=14，所以2b8=b4=14，解得b=1，

所以f(x)=xx2+4；

(2)f(x)在(?2,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：

證明：任取x1，x2∈[0,2)，使x1<x2，

則f(x1)?f(x2)=x1x12+4?x2x22+4

=x1(x22+4)?x2(x12+4)13.解：(1)證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，

則x2?x1>0，即f(x2?x1)>1，

所以f(x2)?f(x1)=f[(x2?x1)+x1]?f(x1)=f(x2?x1)+f(x1)?1?f(x1)=f(x2?x1)?1>0，

所以f(x14.解：(1)因為函數(shù)f(x)=x+ax2+4是定義在[?2,2]上的奇函數(shù)，所以f(0)=a4=0?a=0；

所以f(x)=xx2+4，經(jīng)檢驗，該函數(shù)為奇函數(shù)；

(2)f(x)在[?2,2]上單調(diào)遞增，

證明如下：任取?2≤x1<x2≤2，

f(x1)?f(x2)=x1x12+4?x2x22+4=x1(x22+4)?x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2?4)(x2?x1)(x12+4)(x2215.解：(1)因為f(x)=x，所以f(x+t)=x+t，

由f(x+t)?tf(x)，得x+t?tx，

顯然當(dāng)t=1時，上式恒成立，所以f(x)=x具有“t變換”．

因為g(x)=|x|，所以g(x+t)=|x+t|，

由g(x+t)≥tg(x)，得|x+t|?t|x|，顯然當(dāng)t?0時，上式恒成立，

所以g(x)=|x|具有“t變換”．

(2)因為?(x)=x2+tx具有“t變換”，所以?(x+t)?t?(x)對?x∈R恒成立，

即(x+t)2+t(x+t)?t(x2+tx)對?x∈R恒成立，

即(1?t)x2+(3t?t2)x+2t2?0對?x∈R恒成立，

①當(dāng)1?t=0時，即t=1時，上式化為2x+2?0，不恒成立．

②當(dāng)1?t≠0時，有1?t>0,Δ=(3t?t2)2?8t2(1?t)?0?t<1,t2(1+t)2?0?t=0或t=?1．

綜上，當(dāng)t=0或t=?1時，函數(shù)?(x)=x2+tx具有“t變換”．

(3)根據(jù)題意，當(dāng)x?0時，F(xiàn)(x)=x2?2ax，

由奇函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)x<0時，F(xiàn)(x)=?x2?2ax，

①當(dāng)a?0時，F(xiàn)(x)在R上單調(diào)遞增，顯然滿足條件．

②當(dāng)a>0時，可得函數(shù)圖象如圖所示：

由圖可知，此時F(x)在R上不單調(diào)，

若需滿足F(x+1)?F(x)，可先求出圖象中不單調(diào)部分所對應(yīng)的橫向的最大距離．

設(shè)函數(shù)f(x)與直線y=m最左側(cè)交點為C，最右側(cè)交點為D，

由x2?2ax=m(0?m?a2)16.解：(1)由題意可知f(0)=0，所以c=0，

又f(1)=1，f(12)=45，所以a=1，b=2，

所以f(x)=2xx2+1；

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[?1,1]上是增函數(shù)，理由如下：

任取?1≤x1<x2≤1，

則f(x1)?f(x2)=2x1x12+1?2x2x22+1=2(x1?x2)(1?x1x2)(x17.解：(1)由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增，

又f(1)=4，f(2)=3，f(3)=103，

∴f(x)的值域為[3,4]；

(2)設(shè)|3x?1|=n，又3x+1?3=3(3x?1)≠0，則n>0，

|3x?1|=n如圖所示：

方程16f(|3x?1|)+t|3x+1?3|=12t有3個不等實數(shù)根，即16(n+4n?1)+t18.解：(Ⅰ)由題意設(shè)?(x)=x|x?2|=x2?2x,x≥2?x2+2x,x<2=(x?1)2?1,x≥2?(x?1)2+1,x<2，

要使函數(shù)f(x)有三個零點，即?(x)=a?1有三個不同的交點，

作出函數(shù)?(x)和y=a?1的圖象，如圖所示：

由圖象得0<a?1<1，解得1<a<2，

故a的取值范圍為(1,2)；

(Ⅱ)∵對任意的x1∈[m,m+2]，總存在x2∈[32,2]，使得f(x1)<g(x2)成立，

∴f(x)max<g(x)max，

∵g(x)=x2?ax?1=x2?1?a+1x?1=x+1+1?ax?1=x?1+1?ax?1+2，

由(Ⅰ)得函數(shù)f(x)有三個零點，即1<a<2，則?1<1?a<0，

∴g(x)在[32,2]上遞增，

∴g(x)max=4?a，

又f(x)=x|x?2|?a+1=?(x?1)2+2?a,x<2(x?1)2?a,x≥2，

①若m+2<1，即m<?1，則f(x)19.解：(1)因為f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，g(?x)=?g(x)，

由f(x)?g(x)=21?x①，

得f(?x)?g(?x)=21+x，

即f(x)+g(x)=21+x②，

①+②可得f(x)=2x+2?x，

①?②可得g(x)=2x?2?x；

(2)由(1)?(x)=|12[f(x)+g(x)]?1|=|2x?1|，

方程[?(x)]2?2k??(x)+k?14=[?(x)?12][?(x)?2(k?14)]=0，

可得?(x)=12或?(x)=2(k?14)，

即|2x?1|=12或|2x20.解：(1)因為φ(x)=(x?1)2?1+a(ex?1+e?(x?1))，

因為φ(1+x)=x2?1+a(ex+e?x)，

令?(x)=φ(x+1)，則該函數(shù)的定義域為R，

?(?x)=(?x)2?1+a(e?x+ex)=x2?1+a(e?x+ex)=?(x)，

所以，函數(shù)?(x)=φ(x+1)為偶函數(shù)，

因此，函數(shù)φ(x)=x2?2x+a(ex?1+e?x+1)圖象的對稱軸方程為x=1．

(2)①因為函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時，g(x)=21.解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)在[?1,1]上是增函數(shù)．

設(shè)?1≤x1<x2≤1，

∵f(x)是定義在[?1,1]上的奇函數(shù)，

∴f(x2)?f(x1)=f(x2)+f(?x1).

又?1≤x1<x2≤1，∴x2+(?x1)>0，

由題設(shè)f(x2)+f(?x1)x2+(?x1)>0有f(x2)+f(?x1)>0，

即f(x1)<f(x2)，

22.解：(1)根據(jù)題意，

∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，

且f(x)?g(x)=21?x①，

∴f(?x)=f(x)，g(?x)=?g(x)，

∴f(?x)+g(?x)=21+x，即f(x)+g(x)=21+x②；

由①+②解得f(x)=2x+2?x，