專題06一元二次不等式中的含參問題

目錄

解題知識必備......................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、按二次項系數3的符號分類....................................2

題型二、按判別式q的符號分類........................................5

題型三、按方程ax?+bx+c=0的根X、上的大小分類......................9

題型四、分類綜合問題...............................................11

壓軸能力測評(9題)..............................................16

X解題知識必備2

一、解含參數的一元二次不等式需要對字母的取值進行分類討論

常用的分類方法有以下三種：

(1)按二次項系數。的符號分類，即o>0,a=0,a<0；

(2)按判別式的符號分類，即A>0,A=0,A<0；

(3)按方程ar2+4x+c=0的根%、%的大小分類，即％，々，%=彳2，%<9?

二、二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系

(a>0)A>0A=0A<0

\/

\

二次函數n

2

y=ax+bx+cx\OA%

(a>0)的圖象\

r°的二歷％X

一元二次方程有兩相等實根

有兩相異實根

ax2+bx+c-Qb無實根

%1,X2(%1<X2)%二%2=一丁

(a>0為勺根2a

ax2+bx+c>Qb1

{:c|x<x^x;>x2}<xx---〉R

(Q>0)的解集2a\

ax2+bx+c<0

{:M<x<x2}00

(〃>0)的解集

??壓軸題型講練??

【題型一按二次項系數〃的符號分類】

一、單選題

1.（23-24高一上.全國?課后作業）不等式辦2-（。+2巾+2<0（。<0）的解集為（）

D.（~°°>1）—>+00

La）

【答案】C

【分析】由一元二次不等式的解法求解.

22

【詳解】原不等式可化為。（x--）（%-1）<0,而。<0,故—<1,

aa

y=ax2~（a+2）x+2圖象開口向下，

故原不等式的解集為（-9,一［1,+CC）

（a_

故選：C

二、填空題

2.（24-25高一上?上海?隨堂練習）若則a的取值范圍為,此時關于尤的不等式

（》-2）（依-2）>0的解集是.

【答案】（0,1）（-吃2）/：,+"

【分析】第一空根據開口向上，與x軸有兩個交點即可取不等式的解集，第二空，根據第一空的范圍，對

不等式進行整理(X-2)[X-2]>0,比較大小得2<2,再根據開口向上，利用法則取不等式的解集.

<a)a

【詳解】當。貝!Ja?O,l),

不等式(x-2)(依-2)>0

可化簡為(X-2)[X-2]>。，

7

因為ae(O,l),所以：>2,

貝!Jxw(—??,2)口[一,+oo],

故答案為：(0,1),(-8,2)口(；,+8

三、解答題

3.(2022高一?全國?專題練習)解下列不等式:

(1)JC2-ax-12a2<0(a<0)；

(2)(a-]>0(0<a<1).

【答案】(l){x|4a<x<-3a}

(2)]-x|tz<x<—>

【分析】(1)、(2)根據一元二次不等式的解法求得正確答案.

【詳解】(1)依題意入2一QX一12"<0(a<0),

(x-46z)(x+3tz)<0,4a<0<-3a

解得4a<x<-3a,

所以不等式/一?一12片<0(?<0)的解集為{x|4a<x<—3a}.

(2)依題意(。-x)[x-￡]>0(0<a<l),

(x-x]<0,〃<1<一,

Va)a

解得a<x<—,

a

所以不等式--：]>0(0<a<1)的解集為[a<x<4.

4.(23-24高一上?上海?階段練習)已知函數/(X)=O？-3X+2.

⑴若不等式“無)>-2的解集為區間(-4,1),求實數。的值；

(2)當。<0時，求關于x的不等式/。)>奴-1的解集.

【答案】⑴。=一1

【分析】(1)利用一元二次不等式的解集求參數;

(2)解含參數的一元二次不等式即可.

【詳解】⑴由/(尤)>-2可得，ax2-3x+4>0,

因為該不等式解集為(-4/)，

a<0

3

所以—4+1=—,解得。=一1.

a

a

(2)不等式/(%)>以-1可化為ox2_3x+2>or-l,

即ax1—(tz+3)x+3>0,也即(依一3)(%—1)>0,

對應方程(?-3)(%-1)=。的兩個根分別為11,且三<1,

aa

所以不等式(?-3)(x-1)>0的解集為j

5.(23-24高一上?山東臨沂?期中)求關于x的不等式2442_3辦-2>0的解集.

【答案】答案見解析

【分析】分4=0、。<0、。>0三種情況求解即可.

【詳解】當a=0時，原不等式為-2>0,該不等式的解集為0.

當awO時，2a2>0,原不等式可化為(2ax+l)(G-2)>0.

①若”0,則-;>2,原不等式的解集為［x］x<2或

2aa［q2aJ

②若〃>o,則-；一,原不等式的解集為［尤</或

2aaY2aa)

綜上，當。=0時，原不等式的解集為0；

當°<0時，原不等式的解集為［xlx<2或

當“>o時，原不等式的解集為或

!2aaI

6.(23-24高一上.浙江溫州?階段練習)已知〃耳=加-3X+2.

⑴若。=1,求關于x的不等式〃x)>。的解集；

(2)若。>0,求關于x的不等式〃x)>ox-l的解集.

【答案】(1)(一8,1)U(2,+8)

(2)答案見解析

【分析】(1)。=1時，解一元二次不等式〃力>0;

(2)不等式/(力>依-1,即(6-3)(元-1)>0,分類討論解一元二次不等式.

【詳解】(1)若。=1,不等式〃x)=f_3x+2>0,解得x<l或x>2,

即不等式的解集為(-8,1)u(2,+8).

(2)若a>0,不等式BPar-(<7+3)x+3>0,可化為(6-3)(*-1)>0,

當巳3〉1,即0v"3時，解得或%>3二

aa

當2=1,即4=3時，不等式等價于(X-1)2〉0,所以尤W1;

a

33

當巳<1,即Q>3時，解得或%>1,

aa

綜上所述，當。<"<3時，不等式的解集為(-8,1)口(，,+8]

當4=3時，不等式的解集為(Y,l)(1,y);

當a>3時，不等式的解集為(-%：)口(1,+8).

【題型二按判別式的符號分類】

一、解答題

1.(24-25高一上?上海?隨堂練習)(1)己知關于尤的二次方程2^+儀+1=0無實數解，求實數a的取值范

圍;

(2)已知。<根<1,解不等式九代-2x+l>0.

/

1-l+y/1—m、

【答案】(1)卜2虛,2碼；(2)—8,——---------------,+oo

m

【分析】(1)若關于x的二次方程2%2+6+1=。無實數解，則函數>=2/+以+1的圖象與x軸無交點,

A=a2-8<0,解得實數。的取值范圍;

(2)令如2_級+1=0,解出方程的根且判斷大小，根據開口向上即可取不等式的解集.

【詳解】(1).關于X的二次方程2犬+6+1=0無實數解,

二函數>=2/+〃尤+1的圖象與關軸無交點，

A=a2-8<0>

解得：e(―2A/2,2A/2j,

(2)令如;2_2X+1=0,

當0<〃2<1時，A=4-4/n>0,

解得：1一加二1+F

1+J1-加、

所以不等式的解集是------m------,+8,.

2.(23-24高一上?山西朔州?階段練習)已知函數)=(a—1)%+。.

(1)當a=2時，求關于x的不等式y>0的解集;

(2)求關于尤的不等式y<0的解集.

【答案】⑴R

⑵見解析

【分析】(1)根據二次不等式的解法即得；

(2)根據判別式，即可結合分類討論求解.

【詳解】⑴當。=2時，y〉0得/_%+2>0,

由%+2=(x—]~\—>0,

I2；4

故y>o的解集為R；

(2)由y<0可—(a-l)x+a<0,

當△二(1-Q)-4Q=(Q-3)-8?0時，解得3-2^/5W<3+2^/5,

此時不等式的解集為0,

當A=(l-Q)-4a=(a-3)-8>0時，解得av3-2A/^或Q>3+2A/5,

CL—1—Jo2-6〃+1

f—(a—l)x+a=0的兩個實數根為3="一1+

2

1-J，2-6a+1a-1+J42—6a+1

此時不等式的解集為<x<x------------------------

22

1—Ja2—6a+1〃-1+J，2—6a+1

綜上：〃<3-20或Q〉3+20,不等式的解集為------------<x<x----------------

22

3-2A/2<?<3+272,此時不等式的解集為0,

3.(23-24高一上?黑龍江哈爾濱?期末)已知函數了(耳=了2-仆+4.

(1)若關于x的不等式〃解集為R,求實數。的取值范圍；

⑵解關于x的不等式〃x)<0.

【答案】⑴TWaW4

(2)答案見解析

【分析】(1)轉化為一元二次不等式恒成立問題，令AWO解出即可；

(2)由判別式確定a的范圍，分類再解不等式即可.

【詳解】(1)由題意A40,可得4-1640,

:.^<a<4；

(2)①當△<€)時，即T<a<4時，

二原不等式的解集為0;

②當△=()時，即a=T或a=4時，

當"4時，(X-2)2<0,

二原不等式的解集為｛2｝,

當a=T時，(X+2)"<0,

二原不等式的解集為卜2｝；

③△>()時，即a<T或。>4時，x2-ax+4=0,

解得x=或x=

22

HF依-16。+Jct~—16

原不等式的解集為X—彳——4x4———?.

4.(24-25IWJ一上,上海?課后作業)解關于x的不等式：ax2+2%—1<0.

【答案】答案見解析

【分析】分類討論〃，△的符號，結合二次函數解不等式.

【詳解】當。=0時，2%一1<0,解得x<1；

當awO時，貝(JA=4+4a=4(a+l),

①q>0時，則A>0,解得T_G<X<T+G；

aa

②a<0時，則有:

若A<0,即a<—1時，貝！IxeR；

若△=(),即a=-L時，貝(JxeR且x/l；

若A>0,即一1<。<0時，解得尤<一+而或

aa

綜上所述：當a=0時，解集為

當〃>0時，解集為%”內<71+刊；

aaJ

當時，解集為R；

當a=—l時，解集為｛x|x*l｝；

當T<a<0時，解得［x|xj士正或J士正2>.

5.(23-24高一上?重慶?期末)若函數〃尤)=??+區+4,

⑴若不等式〃力<0的解集為g，4),求db的值；

⑵當a=l時，求〃x)>0(beR)的解集.

［答案］⑴叱2,8=-9

(2)答案見解析

【分析】(1)根據條件，利用韋達定理建立方程組;2",且。>0,即可求出結果；

--4=2=-

2a

(2)利用含參的一元二次不等式的解法，分A<0,A=0,和A>0三種情況討論，即可求出結果.

【詳解】(1)因為加+區+4<0的解集為g,4),

1/9b

—F4=—=—

所以a〉0且;2〃，解得〃口=_9.

--4=2=-

、2a

(2)a=l,/(x)=x2+fe+4,所以/(x)>0,即尤2+6尤+4>0,

又A=b2_i6,

當△<(),即T<人<4時，/(x)>0的解集為R；

當A=0,即6=±4時，若匕=4,〃耳>0解集為卜|"一2｝,若b=-4,〃x)>0解集為何元32｝；

當A>0,即或6>4時，/+法+4=0的兩根為西=土地上，%=一"""6,且有玉<

1222

此時，〃力>0的解集為\<_「_?或x)_b+《；T6",

綜上所述，當T<6<4時，〃力>0的解集為R；

當6=4,〃X)>0解集為｛巾-2｝,當人=-4,〃力>0解集為｛小#2｝；

當％<T或6>4時，〃力>。的解集為!尤|無〈士用工或尤>也用工「

【題型三按方程62+區+0=0的根為、％的大小分類】

一、解答題

1.(23-24高一下?湖北咸寧?期末)已知關于了的不等式2x2+x>2ox+a(aeR).

⑴若。=1,求不等式的解集；

(2)解關于x的不等式.

【答案】⑴「上>1或了<-1

(2)答案見解析

【分析】(1)將。=1代入解不等式即可；

(2)因為對應方程的兩個根為。，-3，分。=-：、a〉心a<-9三種情況解不等式即可.

【詳解】(1)由2d+x>2辦+〃,「.%(2x+l)>〃(2x+l),「.(x—a)(2x+l)>。，

當4=1時，可得解集為或X<-g?.

(2)對應方程的兩個根為a,

2

當°=-；時，原不等式的解集為［尤卜

當a>-g時，原不等式的解集為卜或x>。｝,

當a<-：時，原不等式的解集為｛x|x<〃或%>-g｝,

2.(24-25高一上?上海?隨堂練習)解下列關于x的不等式:

⑴%之-2ax<-a2+1;

(2)(tzx-l)(x-2)>0(a>0).

【答案】(1)(。一1,。+1)

⑵答案見解析

【分析】(1)將原不等式等價轉換為(1-1)(%-。+1)(0即可求解；

(2)由一元二次不等式與一元二次方程根的關系，只需對L2進行分類討論即可求解.

a

【詳解】(1)原不等式等價于d-2依+〃2?o,即(％—a)?—1W0,(%—tz—tz+l)<0.

??"+l>a-1,???原不等式的解集為(a-1M+1).

(2)T(依一1)(%-2)=0的兩根為玉=/,々=2.

①當工=2即〃=,時，(]-2)220,RPxeR；

a2

②當0<—<2即時，(?一l)(x—2)20,即xV—或122；

111

③當—〉2即0<a<5時，(ax-l)(x-2)>0,即XW2或—.

綜上，當a=:時，原不等式的解集為R;

當時，原不等式的解集為Jco-][2,+co).

當0<a<]時，原不等式的解集為(-02][-,+col

/LaJ

3.(24-25高一上?上海?假期作業)解關于x的不等式：

(l)x2—2x+l—o2>0;

(2)cu3—(a+l)x+l<0.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)(2)將不等式因式分解，即可分類討論求解.

【詳解】(1)由/-2x+l-“220可得[尤-(1-(1+。)]上。，

當a>0時，不等式的解為｛x|xNl+a或xWl-a｝；

當“=0時，不等式的解為R;

當a<0時，不等式的解為fr|x21-。或x<l+a｝

(2)由62-(a+l)x+l<0可得

當時，不等式的解集為d,i）；

a

當。=1時，不等式的解集為0；

當。＜。＜1時，不等式的解集為（1」）；

a

當。=0時，不等式的解集為（1,+8）；

當時，不等式的解集為（-鞏工）I（1,+8）.

a

【題型四分類綜合問題】

一、解答題

1.（22-23高一上?安徽?期中）已知。,6,ceR,關于x的不等式弧之一3無+2＞0的解集為{x|x＜1或無＞.

⑴求上c的值；

（2）解關于x的不等式酸?—（ac+〃）x+bc＜0.

【答案】（l）6=Lc=2

（2）分類討論，答案見解析.

【分析】（1）根據一元二次方程與不等式的關系，利用韋達定理，即可求解；

（2）根據（1）的結果，不等式為62-（2a+l）x+2＜0,分解因式后，討論”的取值，解不等式.

【詳解】（1）因為不等式版2-3》+2＞0的解集為{巾＜1或x＞c},

所以占=1與9=。是方程法2-3元+2=0的兩個實數根,

由根與系數的關系，得；,

lxc=一

、b

解得：b=l,c=2；

（2）由（1）知不等式加一（〃c+b）x+Z?c＜。為辦2一（2〃+1卜+2＜。,

即（6-1）（X-2）＜。,

①當。=0時，易得不等式的解集為{小＞2},

②當。＜0時，不等式可化為不等式的解集為或無＞2}.

③當。＞0時，不等式可化為□-￡|（尤-2）＜0,

當l＞2,即0＜。＜：時，不等式的解集為1x|2＜x＜—I,

a2a\

當工=2,即時，不等式的解集為0,

當工<2,即a>：時，不等式的解集為［無一<尤<21.

a2［a\

2.（23-24高一上?遼寧?期中）（1）若不等式ax2-3x+2>0的解集為｛x|x<l或》>勿，求。，6的值；

（2）求關于x的一元二次不等式加-3x+2>5-依（a?R）的解集.

f〃=1

【答案】⑴，c;（2）答案見解析.

［6=2

【分析】（D依題意可得1和6為方程*_3x+2=0的兩根且。>0,利用韋達定理得到方程組，解得即可；

（2）依題意可得（x+l）（"-3）>0,首先判斷。片0,再分。>0、a<0兩種情況討論，分別求出不等式的

解集.

【詳解】（1）因為不等式ax?-3x+2>0的解集為｛x|x<l或尤>圻，

所以1和b為方程CLX^-3JC+2—0的兩根且a>0,

a>0

3a=1

所以-=1+6,解得

ab=2

-=b

（2）由ar之一3%+2>5—ar,得辦之+（々_3）］—3>0,即（x+l）（辦一3）>。，

因為a?—3x+2>5-必是關于x的一元二次不等式，所以

當。>0時，解得X<-1或無>3,故不等式的解集為（-。,-1）口（3,+81

當a<0時，不等式即為"+1）卜-：］<0,

①a=-3時，即（尤+1）2<0,不等式無解，故不等式的解集為0；

②0<-3時，->-1,解得-1<尤<▲,故不等式的解集為J1上］；

③—3<a<0時，-<-1,解得』<x<7,故不等式的解集為［3,-1］；

aa\a）

綜上：當a>0時，不等式的解集為（-

當a=-3時，不等式的解集為0；

當a<-3時，不等式的解集為卜,￡|;

當-3<。<0時，不等式的解集為

3.（22-23高一上?江蘇宿遷?階段練習）已知二次函數y=f+2ax+2.

（1）若xe[l,5]時，不等式y>3依恒成立，求實數。的取值范圍；

（2）解關于X的不等式（a+D-+X>y（其中a<0）.

【答案】（1）（-8,2也）.

（2）答案見解析.

【分析】（1）分離參數a,轉化為函數最值問題求解；

（2）分類討論求解即可.

【詳解】（1）不等式>>3以即為：尤2-ax+2>0,

X2-L97

當xe[l,5]時，可變形為：a<------xH—,

xx

2

即。<（九+-）min,

X

又x+$二=2缶當且僅當x=4即.夜€[1,5]時，等號成立，

X\XX

（X+-）min=272,即Q<2a，

X

，實數。的取值范圍是：（-8,2四）.

（2）不等式（a+D%2+x>y9

即（a+l）x2+x>x2+2ax+2,

等價于+（1-2a）x-2>0,

即（x-2）（ax+1）>0,

當a<0時，

（i）當一！<。<0時，因為一，>2,解不等式（尤-2）（依+1）>0得：2<尤<一,；

2aa

①）當。=-工時，因為-J_=2,不等式（了-2）（仆+1）>0的解集為0；

2a

（位）當a<—工時，因為-,<2,解不等式（x-2）（ar+l）>0得：-J■〈尤<2；

2aa

綜上所述，不等式的解集為：

當-1<。<0時，不等式解集為（2,-1）；

當時，不等式解集為0;

當a<—：時，不等式解集為（-1,2）.

2a

3

4.(23-24高一上.安徽?階段練習)解關于x的一元二次不等式2履?+履-＜o.(結果用集合表示)

O

【答案】答案見解析

【分析】對上進行合理地分類討論即可.

【詳解】由已知，可得左片0,

(1)當左＞0時，方程2區2+履一;=。有兩實根心主叵

81124k

\-k-yJk2+3k-k+^+3k

不等式的解集為<x<

4k

3

(2)當左＜0時，方程2區2+履—=。的根的判別式八=42+30

O

①當-3〈人＜0時，A＜0,所求不等式的解集為R；

②當上=—3時，A=0,所求不等式的解集為，x卜力-：)；

③當左＜-3時，A＞0,所求不等式的解集為削x＜一今——或元〉

4k

1

、立TQ必合dI-k—dk2+3——k+yjk+3k

綜上所述:當心。時，解集為卜一L"<-l

rLATIfiI—k+2+3k—k—A/-2+3k

當上<一3時，解集為與-----或X）三——

4K4k

當上=—3時，解集為，尤

一3〈左＜0時，解集為R.

5.(23-24高一上?福建福州?期末)已知函數/(x)=G；2+2x+3(awR).

⑴當。=-1時，求不等式了(力＞。的解集;

⑵解不等式/'(x)＞0.

【答案】⑴{x|-l＜x＜3}

(2)答案見解析

【分析】(1)根據一元二次不等式的解法解出即可；

(2)分類討論，分。＞。,。=0,“＜。三種情況討論求出解集.

【詳解】(1)當〃=一1時，/(x)=-x2+2x+3.

V/(x)＞0,即一爐+2%+3＞0,

x2—2x—3<0.

設方程f-2x-3=0的兩根分別為百，馬,貝U(x—3)(x+l)=0,

解得%=一1,%=3,

???不等式的解為

二函數〃力>0的解集為卜1-l<x<3｝.

⑵由題意，得加+2尤+3>0,

①當a=0時，不等式化為2x+3>0,解得尤

②當。>0時，開口向上，此時A=4-12°,

(i)A<0,即。>g時，方程or2+2x+3=0無解，不等式解集為R;

(ii)△=(),即a=g時，方程ax2+2%+3=。有唯一解％=—3,

不等式解集為｛xlxw-3｝；

(iii)A>0,即0<aV：時，方程af+2%+3=0有兩解，

_-1-Jl-3,_-1+y/l—3a口丫/丫

%=----------，%2~-----------，再</，

aa

則不等式解集為｛XIX<-1-^^或X>士土宜｝.

aa

③avO時，開口向下，此時A=4-12a,

顯然A>0,方程加+2x+3=0有兩解，

_-1-y/l—3a__1+J1—3,日丫、丫

$=----------，x-----------，石>%，

a2a

不等式解集為(XI山巨<尤<土邊且..

aa

綜上所述，

r..-r、5d、r]—1+J1—3。—1—A/l—3d

當a<0時，不等式解集為"I----------<》<-----------\;

aa

當4=0時，不等式解集為卜W-3,；

當0<a<[時，不等式解集為｛x|x<±匹至或巨｝;

Jaa

當時，不等式解集為但"-3｝；

當時，不等式解集為R.

??壓軸能力測評”

一、多選題

1.(23-24高一上?山東青島?期中)已知關于x的不等式62+彳-2＜0,貝I()

A.若a=0,該不等式的解集為{小＞2}

B.右a＞0,該不等式的解集為《尤|——-----＜尤＜——-----＞

「2〃2a

C.若-:＜。＜0,該不等式的解集為卜卜＜-1-尸或x＞T+尸＞

8|2a2a

D.若該不等式的解集為R

8

【答案】BD

【分析】對于選項A,當。=0時，該不等式為一元一次不等式，直接求解可判斷選項A錯誤；對于選項B、

C、D,該不等式為一元二次不等式，借助二次函數、一元二次方程和一元二次不等式之間的關系可以求解

判斷.

【詳解】對于選項A,當a=0時，不等式為*-2＜0,解得x＜2,

所以不等式的解集為{耳尤＜2},故選項A錯誤；

對于選項B,當。＞0時，有A=l+8a＞0,

方程/+x-2=0的兩個不相等實數根分別為為”7+布赤,且再＜尤2，

2a2a

所以不等式的解集為L士"^〈尤〈士尹故選項B正確；

2a2a

對于選項C,當二＜。＜0時，＜A=l+8a＞0,

8

方程/+尤-2=0的兩個不相等實數根分別為％=土且花，4=士且迤，且%＞%，

2a2a

所以不等式的解集為卜卜＜士手^或尤＞土耳藥］,故選項C錯誤；

|2a2a

對于選項D,當時，有A=l+8a＜0,所以不等式的解集為R,故選項D正確.

O

故選：BD.

二、填空題

2.（24-25高一上?上海?隨堂練習）整數人使關于x的不等式組J（°八解集中的整數只有-2,

x+（3-kjx-34<0

則由k的值組成的集合為.

【答案】{-1,0,1,2,3}

【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含上的式子表示，根據整數解的情況可以得到關于上的不等式,

從而求出左的集合.

【詳解】由d-無一2>0,

得x>2或x<-l,

由+（3-k）x—3k<0,

得（尤+3）（x—A）<0,

當上=一3時，（X+3）2<0,無解，不合題意；

當人<-3時，k<x<-3,則原不等式組的解集中不包含-2,不合題意；

當上>-3時，-3<x<k,

因為原不等式組的解集中只有一個整數-2,

如圖，結合數軸可知，-2<kW3,keZ,

所以壯{-1,0,1,2,3}.

故答案為：{-1,0,123}.

-5-4-3-2-1012345X

三、解答題

3.（23-24高一上?四川瀘州?階段練習）（1）關于尤的不等式以2-依（a,6eR）.若不等式的解集為

{%|-2<%<-1},求40的值；

（2）若。>0,求不等式由？一（。+2）彳+220解集.

【答案】（1）（2）答案見解析

【分析】（1）利用根與系數關系列方程組來求得/

（2）先因式分解，然后對。進行分類討論，從而求得不等式的解集.

【詳解】（D原不等式可化為雙2+（a-2）x—人20,

由題知，—2、—1是方程依~+（。-2）尤—6=。的兩根,

a<0

--=-3,解得[：=；

由韋達定理得?

a[b=2

上=2

、a

（2）當a>0時，所以原不等式化為[-[kxT）2。,

22

當一〉1時，即0<〃<2時，解原不等式可得或—；

aa

2

當4二1時，即〃=2時，原不等式即為（x-1）?>0,解得XER；

a

22.

當一<1時，即〃〉2時，解得x<—或x21

aa

綜上所述，當0<a<2時，解原不等式解集為：卜xVl或亮｝;

當。=2時，原不等式解集為R；

當”>2時，解得卜xW：或x'l｝.

4.（23-24高一上.廣東珠海?期中）求關于x的不等式2儲/+依一3>0的解集.

【答案】答案見解析

【分析】原不等式可化為（2以+3）（依-1）>0,分。=0,。<0,。>0三種情況求解即可.

【詳解】原不等式可化為（2依+3）（辦-1）>0,

當。=0時，原不等式為-3>0,故原不等式的解集為0,

當時，2。2>0,

3113

當〃<0時，貝!I—白〉一，原不等式的解集為“1%〈一或工〉-三｝,

2aaa2a

313I

當。>0時，貝（I-原不等式的解集為｛x|%<-?或x〉上｝,

2aa2aa

綜上，當〃=0時，原不等式的解集為0,

13

當々<0時，原不等式的解集為｛x|x<±或%>-三｝,

a2a

當“>0時，原不等式的解集為｛xlx〈-3或無>0.

2aa

5.（23-24高一上?河南?階段練習）已知關于x的不等式以2+2版一3<0的解集為｛無<尤<2｝.

⑴求實數的值；

（2）解關于尤的不等式：（依+l）（-fer+m）>0,其中機是實數.

3

CI———

2

【答案】（1）

,3

b=—

4

（2）答案見解析

【分析】（1）根據不等式的解集得ox?+2灰—3=0的根為-1和2,然后利用韋達定理列式求解即可;

（2）根據兩根大小關系分類解不等式即可.

【詳解】（1）因為ox?+2版-3＜0,所以加+2Z?x-3=0的根為-1和2,且。〉0,

2b3

-1+2=——a=一

2

所以?:,解得＜

-1x2=——b=--

、a4

（2）原不等式3+1）（心+〃2）＞o即為層+1J臣+〃?］＞0,

也即［+|小+曰＞0,

①當一:〃2＜-:，即洸＞}時，原不等式的解集為18,-［力）口,|,

②當-MT，即加、時，原不等式的解集為+，［；

③當一^^＞-g,即加＜；時，原不等式的解集為'雙一鼻口卜3利+少］

6.（23-24高一上?山東泰安?期中）已知一元二次不等式依2+3x-2＞0的解集是{尤|1＜尤＜玨.

⑴求。力的值;

⑵已知cN。，求關于x的不等式GCJ^+（b-ac^x—b的解集.

【答案】（1）。=—1,b=2

（2）答案見解析

【分析】（1）尤=1是方程6^+3尤一2=0的一個根，x=b是方程的另外一個根，計算得到答案.

（2）確定cf-O+Ox+Z＞。，考慮c=0和c＞0兩類情況，在c＞0時，還需根據根的大小進行討論.

【詳解】（1）由題知，x=l是方程辦2+3%_2=0的一個根，

將x=l代入方程蘇+3尤-2=0，得a=-l.

x=b是方程的另外一個根，由韋達定理得lxb=）=2,解得6=2.

a

（2）把。=-1/=2代入不等式ad+（Z?-tzc）x-Z?＜0,整理夕?_（2+c）x+2＞0.

當c=0時，不等式化為—2x+2>0,解得x<l.

當c>0時，不等式可化為-彳］>0,

2

方程cd—（2+c）x+2=0有兩個根1和一.

c

22

①當0<c<2時，—〉1,解不等式得％<1,或x>—;

CC

2

②當。=2時，-=1,不等式為（x-1）2>0,得％wl；

C

22

③當。>2時，—<1,解不等式得：x<-,或%>1.

CC

綜上所述：

當0=0時，不等式的解集是卜卜<"；

當。<。<2時，不等式的解集是｛xlxvl或1>*｝；

C

當C=2時，不等式的解集是｛x|xwl｝；

2

當。>2時，不等式的解集是—或無>1｝.

c

7.（23-24高一上?廣西南寧?階段練習）設〃H=雙2+》+1—4.

（1）若。=2,/（司<盛2恒成立，求機的取值范圍；

（2）已知。>0,求不等式/'（力<0的解集.

9

【答案】⑴心:

4

（2）答案見解析

【分析】（1）根據含參一元不等式在R上恒成立，分類討論即可得機的取值范圍;

（2）分類討論求解含參一元二次不等式，即可得解集.

【詳解】（1）當。=2時，f（x）=2x2+x-l

由/（尤）<7加2在R上恒成立，

即（2—〃7卜2+彳_1<0在R上恒成立，

當2-m=0時，即加=2,%-1<。不在R上恒成立，

G/八］根〉2

當［△2-=ml+<40（2-/n）<0時,所以島，即畤Q'不等式在R上恒成立?

□

綜上，時，/（犬）V52在R上恒成立.

(2)由題意知，/(x)=[ov-(d!-l)](x+l)((2>0)

令/(x)=。，得%=巴’,無2=-1

a

當好<-1,即0<。<1時，不等式的解為小〈尤<一1；

a2a

當幺Z7—」1>-1,即時1，不等式的解為T<x</巴7—」1；

a2a

當巴a-」1=7,即a1時，不等式的解為0;

a2

綜上，當0<a<:時，不等式的解集為卜?

當時，不等式的解集為[尤「1<尤<?1;

當時，不等式的解集為0

8.(23-24高一上?福建福州?期末)已知函數〃x)=G；2+2x+3(awR).

⑴當。=-1時，求不等式〃力>0的解集；

⑵解不等式/'(x)>。.

【答案】⑴{x|-l<x<3}

(2)答案見解析

【分析】(1)根據一元二次不等式的解法解出即可；

(2)分類討論，分“>O,a=OM<。三種情況討論求出解集.

【詳解】(1)當a=