第八節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

考試要求：1.掌握概率與頻率分布直方圖的綜合問題.

2.掌握概率與回歸分析的綜合問題.

3.掌握概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題.

核心考點(diǎn)提升“四能”

考點(diǎn)一頻率分布直方圖與分布列的綜合問題

[例1]為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強(qiáng)禁毒教育，某校組織了全體學(xué)生參加禁毒知識(shí)競

賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(滿分100分)進(jìn)行分析，把他們的成績分成以下6組：[40,

50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],整理得到如圖所示的頻率分布直

方圖.

(1)求圖中a的值并估計(jì)全校學(xué)生的平均成績”.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)在⑴的條件下，若此次知識(shí)競賽得分X?刈》,122),為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)禁毒知識(shí)的興趣,

對(duì)參賽學(xué)生制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超過57分的不予獎(jiǎng)勵(lì)，得分超過57分但不超過81

分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券10

元，超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券15元.試估計(jì)全校1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽共可

獲得食堂消費(fèi)券多少元.(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))

附：尸仍一CWXW〃+QP0.6827,〃+2(T)-0.9545,P(//—3cWXW〃+3Gg0.997

3.

解：(1)由題意可知，(0.006X2+a+0.012+0.026+0.040)X10=l,解得a=0.010.

,0=(45+95)X0.06+55X0.12+65X0.40+75X0.26+85X0.10=69.

(2)隨機(jī)抽取一名學(xué)生，設(shè)獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券為y元，

產(chǎn)(丫=0)=尸(XW57)-0.5-^^=0.15865,

P(Y=5)=P(57<XW81)心0.6827,

P(y=10)=尸(81VXW93)公°9545；0.6827=0]359,

1—09545

P(Y=15)=P(X>93)^=0,02275,

所以y的分布列為

Y051015

P0.158650.68270.13590.02275

即一名學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券的期望為E(y)=0X0.15865+5X0,6827+10X0.1359+

15X0.02275=5.11375,

所以全校學(xué)生可獲得食堂消費(fèi)券1000X5.11375=5113.75心5114(元).

故估計(jì)全校1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽共可獲得食堂消費(fèi)券5114元.

A反思感悟

解頻率分布直方圖與分布列的綜合問題的策略

解題時(shí)要正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù).概率問題

以計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算

對(duì)應(yīng)起來.

多維訓(xùn)練

???---------------------------------■

為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)

學(xué)習(xí).第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教

職工的學(xué)習(xí)時(shí)間(滿時(shí)長為15小時(shí))，將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),

[13,15]六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

為代表)

⑴求a的值.

(2)用樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間忑近似服從正態(tài)分布NQ,/),其中〃近似為樣

本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知。心2.39.若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)

間在[7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù).

(3)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的教職工中抽取5人，

并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù).(四

舍五入取整數(shù))

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃，o2),則尸(//一crWXW〃+o'戶0.6827,PQLZOWXWN

+2(7)^0.9545,Pa-3cWXW〃+3(7)^0.9973.

解：(1)由題意得2X(0.02+003+a+018+010+0.05)=L解得。=0.12.

⑵由題意知樣本的平均數(shù)為4X0.02X2+6X0.03X2+8X0.12X2+10X0.18X2+

12X0.10X2+14X0.05X2=9.84,所以〃心9.84.

又o■心2.39,所以P(7.45^^14.62)=P(JLI~(7^^+2a)=+rr)+-

2CWOW〃+2C)N；X(0.6827+0.9545)=0.8186.

又5000X0.8186=4093,

所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在［7.45,14.62］內(nèi)的人數(shù)約為4093.

(3)因?yàn)椋?,9),［9,11)對(duì)應(yīng)的頻率比為0.24：0.36=2：3,

所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在［7,9),［9,11)內(nèi)的人數(shù)分別為2,3.

設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在［7,9)內(nèi)的人數(shù)為X,

則X的所有可能取值為0,1,2,

P(X=0)=露,尸(X=l)=詈胃，尸(X=2)=詈胃,

所以E(X)=0X-^+lX-+2X^=-^l.

故這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在［7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1.

考點(diǎn)二回歸模型與分布列的綜合問題

［例2］近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間

的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，因此吸引了越來越多的人開始使用掃碼支付.某線

路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù),

y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.

1234567

y611213466101196

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖如下：

232--—————

203

174

145

116

87

58

2:*

1?__

0234567x

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，＞=。+云與y=。#(八d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適合作

為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型？給出判斷，不必說明理由.

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天

使用掃碼支付的人次.

(3)推廣期結(jié)束后，車隊(duì)對(duì)乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼

比例10%60%30%

車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力，以80萬元的單價(jià)購進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，每

輛車每個(gè)月的運(yùn)營成本約為0.66萬元.已知該線路公交車票價(jià)為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客

無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得

知，使用掃碼支付的乘客中有:的概率享受7折優(yōu)惠，有;的概率享受8折優(yōu)惠，有;的概率享

受9折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有1萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率

作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)這批車需

要”("GN*)年才能開始盈利，求n的值.

附：其中5=lgy”力

對(duì)于一組數(shù)據(jù)(兩，。1),("2，。2)，…，(斯，勿)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線3=6+5〃的斜率和截距的最

小二乘估計(jì)分別為務(wù)=與---7r,,a=v~bu.

2憂一nu

7

加，100.54

yV

J=1i=i

V62.14253550.123.47

解：(1)因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)近似在指數(shù)型函數(shù)的圖象上，所以適合作為掃碼支付的人次y關(guān)于活

動(dòng)推出天數(shù)X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.

(2)因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lgy=lg(cd)=lgc+xlgd.

設(shè)\gy=v,所以0=lgc+xlgd.

7

因?yàn)樵?4,方=1.54,WX=140,

八24億—7〃°5012-7x4x1547

所以lgd=T------==-=0.25,

~工叱一口140-7x1628

1=1

1g1=1.54—0.25X4=0.54,所以f)=0.54+0.25x,

所以lgy=0.54+0.25x,

所以y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是？=10°-54+0-25r=IO054X100-25A=3.47X10025x.

把j=8代入上式，得夕=3.47X10.25X8=347,

347X10=3470,

所以預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為3470.

(3)記一名乘客乘車支付的費(fèi)用為Z,則Z的可能取值為2,1.8,1.6,1.4.

由題意知P(Z=2)=0.1,P(Z=1.8)=0.3xi=0.15,P(Z=1.6)=0.6+0.3xi=0.7,P(Z=1.4)

=0.3X；=0.05,

6

所以一名乘客一次乘車的平均費(fèi)用為2X0」+L8X0.15+1.6X0.7+1.4X0.05=1.66（元）.

由題意可知1.66X1X12XH-0.66X12X?-80＞0,得〃＞日.

又"GN*,所以w=7.故估計(jì)這批車大概需要7年才能開始盈利.

＞反思感悟

解回歸模型與分布列的綜合問題的策略

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算.求解概率問題時(shí)要注意概

率模型的應(yīng)用，明確所求問題的事件類型是關(guān)鍵.

多維訓(xùn)練

???---------------------------------■

（2024?濱州模擬）2022年，中國新能源汽車銷售火爆，A省相關(guān)部門調(diào)查了該省2022年1月

份至10月份的新能源汽車銷量情況，得到一組樣本數(shù)據(jù)（如9）（/?=1,2,…，10）,其中Xi

表示第i個(gè)月，》表示第，個(gè)月A省新能源汽車的銷量（單位：萬輛），由樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可

知，y與尤具有線性相關(guān)關(guān)系，并將這10個(gè)月的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的

值：

E-v,.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（羽，"），（XI,"），…，（xn,切），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程?=a+的斜率和截距

^y—nxy

的最小二乘估計(jì)分別為B=,,a=y-bx.

（1）建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并估計(jì)A省12月份新能源汽車的銷量；

（2）為鼓勵(lì)新能源汽車銷售商積極參與調(diào)查，A省汽車行業(yè)協(xié)會(huì)針對(duì)新能源汽車銷售商開展抽

獎(jiǎng)活動(dòng)，所有費(fèi)用由某新能源汽車廠商贊助.獎(jiǎng)項(xiàng)共設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)共三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中一、

二、三等獎(jiǎng)分別獎(jiǎng)勵(lì)2萬元、1萬元、0.5萬元，抽中一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為:，：，

現(xiàn)有甲、乙兩家汽車銷售商參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，假設(shè)他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求這兩家汽車銷

售商所獲獎(jiǎng)金總額x（單位：萬元）的分布列及均值.

解：（I）由題意得，x=---------------=5.5,

又y=1.5,?J,=89.1,》r；=385,

3=1.5-0.08X5.5=1.06,

所以y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為f=1.06+0.08x,

當(dāng)x=12時(shí)，？=2.02,

故A省12月份新能源汽車的銷量約為2.02萬輛.

（2）這兩家汽車銷售商所獲得的獎(jiǎng)金總額X的所有可能取值為4,3,2.5,2,1.5,1,

P(X=4)=gx：=，

6636

P(X=3)=2X：x?

P(X=2.5)=2x/g=',

尸(X=2)=：XR,

P(X=1.5)=2x|x^=|,

P(X=1)=*=；

則X的分布列為

X432.521.51

111111

P

3696934

E(X)=4X1+3X1+2.5X1+2X1+1.5X1+1X1=^.

考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合問題

【例3】（2022?新高考全國I卷）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例

（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

衛(wèi)生習(xí)慣，不夠良好，良好病例組,40,60對(duì)照組,10,90（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與

未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選

到的人患有該疾病”.嚅2與3奧的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一

項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

P（里）P（嗯

①證明：R=

尸鄧）尸（/忸）'

②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（A|B）,P（AE）的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n(ad-bc)

附:

(a+b)(c+d)(a+c)(6+4)

ot,0.050,0.010,0.001^?,3.841,6.635,10.828

（1）解：零假設(shè)為國:患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣無差異.

n(ad-bc)_200x(40x90—60x10)

由已知得/=Q+b)(c+t/)(a+c)3+t/)-100x100x50x150=24.

又xo.oio=6.635,且24>6.635,所以依據(jù)。=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成立,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

p（5⑶。（即）_PQ6）P⑷P（畫尸（1）

(2)①證明：因?yàn)镽=P加jP（雨）―P（j）'p（AB'）

所以“需篝需器，所以“P（/⑻P。⑻

p（A\B）p{A^y

②解：由題可得尸(A|B)=得=g,尸(A|B)=總=A

又尸(加譚=1，尸麗端胃，

p（§8）P（坐）

所以R=

p鄧）p（邪）'

A反思感悟

解獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合問題的策略

解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，要注意過好“三關(guān)”：假設(shè)關(guān)、公式關(guān)、對(duì)比關(guān).解決概率問題要準(zhǔn)

確地把握題中所涉及的事件，明確所求問題的事件類型.

多維訓(xùn)練

???----------------------------■

新修訂的《中華人民共和國體育法》于2023年1月1日起施行，對(duì)于引領(lǐng)我國體育事業(yè)高質(zhì)

量發(fā)展，推進(jìn)體育強(qiáng)國和健康中國建設(shè)具有十分重要的意義.某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否

喜歡排球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100

名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的等高堆積條形圖.

(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),

是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)?

單位：名

是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)

性別合計(jì)

是否

男

女

合計(jì)100

(2)將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，設(shè)其中喜歡排球運(yùn)動(dòng)的

學(xué)生的人數(shù)為X,求使得尸(X=心取得最大值時(shí)的左值.

附：歌=(,+〃)發(fā)？…，其中〃=a+6+c+d，^0.001=10.828.

解：(1)由等高堆積條形圖得2X2列聯(lián)表如下：

單位：名

是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)

性別合計(jì)

是否

男3070100

女6040100

合計(jì)90110200

零假設(shè)為Ho：學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

得"喘XZ°)F8』82>10.828=X"

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷為不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否

喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.

(2)由(1)知，喜歡排球運(yùn)動(dòng)的頻率為孤=盛，所以隨機(jī)變量X?8(50,￡),

則尸(X=B=C§)(￡)”(l—￡f"(0WZ<50,AGN).

圖罪(一獷“『(丁(一次，459

令

因?yàn)樽驡N,所以當(dāng)k=22時(shí)，尸(X=A)取得最大值.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十八)

1.為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委組織團(tuán)員參加知識(shí)競賽.根據(jù)成績(單

位：分)制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)計(jì)算X的值;

(2)采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從成績?cè)冢?0,90),［90,100］的兩組中共抽取7人，再從

這7人中隨機(jī)抽取3人，記X為這3人中成績落在［80,90)的人數(shù)，求X的分布列和期望.

解：（1）由題圖可知0.005X10+0.010X10+0.015X10+10x+0.040X10=l,所以x=0.030.

(2)由題可知，7人中成績?cè)冢?0,90),［90,100］的人數(shù)分別為3,4,所以X的所有可能取值

為0,1,2,3,則尸(X=0)=涉Jp(x=l)=詈=￡p(x=2)=詈胃，P(X=3)=|=^,

所以X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

所以￡(X)=0X^+lxi|+2X^+3X^=1.

2.(2024?深圳模擬)某縣城為活躍經(jīng)濟(jì)，特舉辦傳統(tǒng)文化民俗節(jié)，小張弄了一個(gè)套小白兔的攤

位，設(shè)即表示第，天的平均氣溫，％表示第i天參與活動(dòng)的人數(shù)，，=1,2,20,根據(jù)統(tǒng)

計(jì)，計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：

101010

2(毛一只2=80,Z(y一切2=9ooo,Y(x,—x)(y.-y)=800.

i=li=lz=l

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r判斷是否可用線性回歸模型擬合y與尤的關(guān)系；(精確到0.01)

(2)現(xiàn)有兩個(gè)家庭參與套圈，A家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率都為+B家庭3位

成員每輪每人套住小白兔的概率分別為":，每個(gè)家庭的3位成員均玩一次套圈為一輪，

346

每輪每人收費(fèi)20元，每個(gè)小白兔價(jià)值40元，且每人是否套住相互獨(dú)立，以每個(gè)家庭的盈利

的期望為決策依據(jù)，問：一輪結(jié)束后，哪個(gè)家庭損失較大？

t(x—x)(y—y)

附：相關(guān)系數(shù)廠=中’,.

Za-x)^(y-y)2

y1=11=1

20

解：⑴由題意可知，2。=壺藏=A。％，

Xa-^2X(y-y)2

q,=,可

故可用線性回歸模型擬合y與i的關(guān)系.

(2)設(shè)A家庭中套中小白兔的人數(shù)為Xi,則Xi?8(3,高，所以E(Xi)=3X《=V.

設(shè)A家庭的盈利為X?元，則X2=40XI-60,所以E(X2)=40E(XI)—60=-24.

設(shè)B家庭中套中小白兔的人數(shù)為H,則匕的所有可能取值為0,1,2,3,

（）2355

p—ri=o7=3-x4-x-6=-12,J

i\135,215,23131

（）-X-X-+-X-X-+-X-X-=—,

P'yi=,l=34634634672'

八八7八、115,131,2115

（）

P'yi=2,=3-x4-x6-+3-x4-x6-+3-x4-x6-=3—6',

（）

p'yi=3，=3-x4-x-6=7—2',

5QI51Q

所以E（H）=0><e+lx|j+2x￡+3X（=；.

設(shè)B家庭的盈利為力元，則匕=40R—60,

a

所以￡(匕)=40￡(匕)一60=40X；—60=—30.

因?yàn)橐?4>—30,所以B家庭的損失較大.

3.(2024?廣東一模)某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的N名學(xué)生全都來自A,B,C三所

學(xué)校，其中來自A校的學(xué)生人數(shù)為"(">1).該單位要求所有面試人員面試前到場，并隨機(jī)給

每人安排一個(gè)面試號(hào)碼網(wǎng)左=1,2,3,—,N),按面試號(hào)碼左由小到大依次進(jìn)行面試，每人

面試時(shí)長5分鐘，面試完成后自行離場.

(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A校的概率.

(2)若N=40,?=10,且B,C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為1：2,求A校參加面試的

學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試(A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B,C兩校都還有學(xué)

生未完成面試)的概率.

(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(從第1名學(xué)生開始面試到最后

一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)=*2

解：(1)記“面試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A校”為事件A,

將A校〃名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為C)

事件A表示A校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2,其他n~\名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余N~1個(gè)面

試號(hào)碼中隨機(jī)安排，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為

(N-1)!

故尸(A)—c?-N!

n!(N—n)!

(2)設(shè)B校參加面試的學(xué)生有x名，由題意得一--=-,解得x=10.

40—10—x2

所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名.

記“最后面試的學(xué)生來自B校”為事件8,“最后面試的學(xué)生來自C校”為事件C,顯然事

件8,C互斥.記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件。，則

+CD.

當(dāng)事件2發(fā)生時(shí)，只需考慮A,C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自C校，

則P(BD)=P(B)P(D\B)=^X^=1

當(dāng)事件C發(fā)生時(shí)，只需考慮A,B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自B校，

則P(CD)=P(C)P(D|C)=^X

所以P(D)=P(BD)+P(CD)=-+-=-.

6412

⑶由題知隨機(jī)變量X的取值為5”，5(71+1),…，5N,

則隨機(jī)變量X的分布列為P(X=5?=與，k=n,n+l,…，N.

CN

所以隨機(jī)變量X的期望E(X)=±5M—

k=n禺

MM/、NM

=—、=—Yk,(%-I〉___=—?____=—

Mcd(〃T)!(~)!加(i)!C招晨

整C；+CK+C1+…+ct)

=q(c2+c\i+c：+2+…+q)=?(c惠

_____N\_________(N+l)!_5〃(N+1)

n!(N~n)!(w+1)!(N~n)!n+1

所以比田=辿吧2

w+l

4.(2024?福州模擬)某網(wǎng)紅店推出A,B兩種不同風(fēng)味的飲品.為了研究消費(fèi)者性別和飲品偏

好的關(guān)聯(lián)性，店主調(diào)查了首次到店的消費(fèi)者，整理得到如下列聯(lián)表：

單位：人

種類

性別合計(jì)

A飲品