統計學

STATISTICS第4章數據的概括性度量

(第六版)

統計學

作者：中國人民大學統計學院

賈俊平

4-1作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS第4章數據的概括性度量

(第六版)

4.1集中趨勢的度量

4.2離散程度的度量

4.3偏態與峰態的度量

4-2作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS學習目標

(第六版)

1.集中趨勢各測度值的計算方法

2.集中趨勢各測度值的特點及應用場合

3.離散程度各測度值的計算方法

4.離散程度各測度值的特點及應用場合

5.偏態與峰態的測度方法

6.用Excel計算描述統計量并進行分析

4-3作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS4.1集中趨勢的度量

(第六版)

4.1.1分類數據：眾數

4.1.2順序數據：中位數和分位數

4.1.3數值型數據：平均數

4.1.4眾數、中位數和平均數的比較

4-4作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學集中趨勢

STATISTICS

(第六版)(centraltendency)

1.1.一一組數據向其中心值靠攏的傾向和程度組數據向其中心值靠攏的傾向和程度

2.2.測度集中趨勢就是尋找數據水平的代表值或中心值測度集中趨勢就是尋找數據水平的代表值或中心值

3.3.不同類型的數據用不同的集中趨勢測度值不同類型的數據用不同的集中趨勢測度值

4.4.低層次數據的測度值適用于高層次的測量數據，但高低層次數據的測度值適用于高層次的測量數據，但高

層次數據的測度值并不適用于低層次的測量數據層次數據的測度值并不適用于低層次的測量數據

4-5作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

分類數據：眾數

4-6作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學眾數

STATISTICS

(第六版)(mode)

1.一組數據中出現次數最多的變量值

2.適合于數據量較多時使用

3.不受極端值的影響

4.一組數據可能沒有眾數或有幾個眾數

5.主要用于分類數據，也可用于順序數據和

數值型數據

4-7作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學眾數

STATISTICS

(第六版)(不惟一性)

無眾數

原始數據:10591268

一個眾數

原始數據:659855

多于一個眾數

原始數據:252828364242

4-8作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學分類數據的眾數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

不同品牌飲料的頻數分布解：這里的變量為“飲

料品牌”，這是個分類

百分比

飲料品牌頻數比例變量，不同類型的飲料

(%)就是變量值

果汁60.1212所調查的50人中，購

礦泉水100.2020買碳酸飲料的人數最多，

綠茶110.2222為15人，占總被調查人

數的，因此眾數為

其他80.161630%

“可口可樂”這一品牌，

碳酸飲料150.3030

即

合計501100＝碳酸飲料

Mo＝碳酸飲料

4-9作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學順序數據的眾數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

甲城市家庭對住房狀況評價的頻數分布解：這里的數據為順

甲城市序數據。變量為“回

回答類別答類別”

戶數(戶)百分比(%)

甲城市中對住房

非常不滿意248

表示不滿意的戶數最

不滿意

10836多，為108戶，因此

一般9331眾數為“不滿意”這

滿意4515一類別，即

非常滿意3010

＝不滿意

Mo＝不滿意

合計300100.0

4-10作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

順序數據：中位數和分位數

4-11作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學中位數

STATISTICS

(第六版)(median)

1.排序后處于中間位置上的值排序后處于中間位置上的值

50%50%

Me

2.不受極端值的影響不受極端值的影響

3.主要用于順序數據，也可用數值型數據，但不能主要用于順序數據，也可用數值型數據，但不能

用于分類數據用于分類數據

4.各變量值與中位數的離差絕對值之和最小，即各變量值與中位數的離差絕對值之和最小，即

4-12作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學中位數

STATISTICS

(第六版)(位置和數值的確定)

位置確定

數值確定

4-13作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學順序數據的中位數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

甲城市家庭對住房狀況評價的頻數分布解：解：中位數的位置為中位數的位置為

甲城市＝

回答類別(300+1)/2(300+1)/2＝150.5150.5

戶數(戶)累計頻數

從從累累計計頻頻數數看看，，

非常不滿意2424中中位位數數在在““一一般般””這這

不滿意108132一組別中一組別中

一般93225中位數為中位數為

滿意45270

非常滿意30300Me=一般

合計300—

4-14作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學數值型數據的中位數

STATISTICS

(第六版)(9個數據的算例)

【例】9個家庭的人均月收入數據

原始數據:15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:112233445566778899

中位數1080

4-15作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學數值型數據的中位數

STATISTICS

(第六版)(10個數據的算例)

【例】：10個家庭的人均月收入數據

排序:66075078085096010801250150016302000

位置:1122334455667788991010

4-16作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學四分位數

STATISTICS

(第六版)(quartile)

1.排序后處于25%和75%位置上的值

25%25%25%25%

QQLLQQMMQQUU

2.不受極端值的影響

3.計算公式

4-17作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學順序數據的四分位數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

甲城市家庭對住房狀況評價的頻數分布

解：QL位置=(300)/4=75

甲城市Q位置=(3×300)/4

回答類別U

戶數(戶)累計頻數=225

非常不滿意2424從累計頻數看，QL在“

不滿意108132不

一般93225滿意”這一組別中；QU在

滿意45270“一般”這一組別中

非常滿意30300

四分位數為

不滿意

合計300—QL=不滿意

一般

4-18作者：賈俊平，中國人民大學統計學院QU=一般

統計學數值型數據的四分位數

STATISTICS

(第六版)(9個數據的算例)

【例】：9個家庭的人均月收入數據(4種方法計算)

原始數據:15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:112233445566778899

4-19作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

數值型數據：平均數

4-20作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學平均數

STATISTICS

(第六版)(mean)

1.也稱為均值也稱為均值

2.集中趨勢的最常用測度值集中趨勢的最常用測度值

3.一組數據的均衡點所在一組數據的均衡點所在xx

3.體現了數據的必然性特征體現了數據的必然性特征

4.易受極端值的影響易受極端值的影響

5.有簡單平均數和加權平均數之分有簡單平均數和加權平均數之分

6.根根據據總總體體數數據據計計算算的的，，稱稱為為平平均均數數，，記記為為；；根根據據

樣本數據計算的，稱為樣本平均數，記為樣本數據計算的，稱為樣本平均數，記為xx

4-21作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學簡單平均數

STATISTICS

(第六版)(Simplemean)

設設一組數據為：一組數據為：xx11，，xx22，，……，，xxnn((總體數據總體數據xxNN))

樣本平均數樣本平均數

總體平均數總體平均數

4-22作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學加權平均數

STATISTICS

(第六版)(Weightedmean)

設設各組的組中值為：各組的組中值為：MM11，，MM22，，……，，MMkk

相應的頻數為：相應的頻數為：ff11，，ff22，，……，，ffkk

樣本樣本加權平均加權平均

總體總體加權平均加權平均

4-23作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學加權平均數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

某電腦公司銷售量數據分組表

按銷售量分組組中值(Mi)頻數(fi)Mifi

140~1501454580

150~16015591395

160~170165162640

170~180175274725

180~190185203700

190~200195173315

200~210205102050

210~22021581720

220~2302254900

230~24023551175

合計—12022200

4-24作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學幾何平均數

STATISTICS

(第六版)(geometricmean)

1.nn個變量值乘積的個變量值乘積的nn次方根次方根

2.適用于對比率數據的平均適用于對比率數據的平均

3.主要用于計算平均增長率主要用于計算平均增長率

4.計算公式為計算公式為

5.5.可看作是平均數的一種變形可看作是平均數的一種變形

4-25作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學幾何平均數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【【例例】】一一位位投投資資者者購購持持有有一一種種股股票票，，連連續續44年年收收益益率率

分分別別為為4.5%4.5%、、2.1%2.1%、、25.5%25.5%、、1.9%1.9%。。計計算算該該投投資資

者在這四年內的平均收益率者在這四年內的平均收益率

幾何平均：幾何平均：

算術平均：算術平均：

4-26作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

眾數、中位數和平均數的比較

4-27作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS眾數、中位數和平均數的關系

(第六版)

均值均值中位數中位數眾數眾數均值均值==中位數中位數==眾數眾數眾數眾數中位數中位數均值均值

左偏分布左偏分布左偏分布對稱分布對稱分布對稱分布右偏分布右偏分布右偏分布

4-28作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS眾數、中位數、平均數的特點和應用

(第六版)

1.眾數眾數

n不受極端值影響

n具有不惟一性

n數據分布偏斜程度較大且有明顯峰值時應用

2.中位數中位數

n不受極端值影響

n數據分布偏斜程度較大時應用

3.平均數平均數

n易受極端值影響

n數學性質優良

n數據對稱分布或接近對稱分布時應用

4-29作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS4.2離散程度的度量

(第六版)

4.2.1分類數據：異眾比率

4.2.2順序數據：四分位差

4.2.3數值型數據：方差和標準差

4.2.4相對離散程度：離散系數

4-30作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS離中趨勢

(第六版)

1.數據分布的另一個重要特征數據分布的另一個重要特征

2.反映各變量值遠離其中心值的程度反映各變量值遠離其中心值的程度((離散程度離散程度))

3.從另一個側面說明了集中趨勢測度值的代表程度從另一個側面說明了集中趨勢測度值的代表程度

4.不同類型的數據有不同的離散程度測度值不同類型的數據有不同的離散程度測度值

4-31作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

分類數據：異眾比率

4-32作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學異眾比率

STATISTICS

(第六版)(variationratio)

1.對分類數據離散程度的測度

2.非眾數組的頻數占總頻數的比例

3.計算公式為

4.用于衡量眾數的代表性

4-33作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學異眾比率

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

解：

不同品牌飲料的頻數分布

百分

飲料品牌頻數比例

比(%)

果汁60.1212

礦泉水100.2020

綠茶110.2222在所調查的50人當中，購

其他80.1616買其他品牌飲料的人數占

70%，異眾比率比較大。因

碳酸飲料150.3030

此，用“碳酸飲料”代表消

合計501100費者購買飲料品牌的狀況，

其代表性不是很好

4-34作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

順序數據：四分位差

4-35作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學四分位差

STATISTICS

(第六版)(quartiledeviation)

1.對順序數據離散程度的測度

2.也稱為內距或四分間距

3.上四分位數與下四分位數之差

Qd=QU–QL

4.反映了中間50%數據的離散程度

5.不受極端值的影響

6.用于衡量中位數的代表性

4-36作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學四分位差

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

甲城市家庭對住房狀況評價的頻數分布解：設非常不滿意為

甲城市1,不滿意為2,一般為

回答類別3,滿意為4,非常滿

戶數(戶)累計頻數

意為5。已知

非常不滿意2424

QL=不滿意=2

不滿意108132

一般

一般93225QU==3

滿意45270四分位差為

非常滿意30300

Qd=QU-QL

合計300—

=3–2=1

4-37作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

數值型數據：方差和標準差

4-38作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學極差

STATISTICS

(第六版)(range)

1.一組數據的最大值與最小值之差

2.離散程度的最簡單測度值

3.易受極端值影響

4.未考慮數據的分布

5.計算公式為計算公式為

R=max(xi)-min(xi)

4-39作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學平均差

STATISTICS

(第六版)(meandeviation)

1.各變量值與其平均數離差絕對值的平均數各變量值與其平均數離差絕對值的平均數

2.能全面反映一組數據的離散程度能全面反映一組數據的離散程度

3.數學性質較差，實際中應用較少數學性質較差，實際中應用較少

4.計算公式為計算公式為

未分組數據未分組數據

組距分組數據組距分組數據

4-40作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學平均差

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

某電腦公司銷售量數據平均差計算表

按銷售量分組組中值(Mi)頻數(fi)

140~150145440160

150~160155930270

160~1701651620320

170~1801752710270

180~1901852000

190~2001951710170

200~2102051020200

210~220215830240

220~230225440160

230~240235550250

合計—120—2040

4-41作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學平均差

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

含義：每一天的銷售量平均數相比，

平均相差17臺

4-42作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學方差和標準差

STATISTICS

(第六版)(varianceandstandarddeviation)

1.數據離散程度的最常用測度值

2.反映了各變量值與均值的平均差異

3.根據總體數據計算的，稱為總體方差(標準

差)，記為2()；根據樣本數據計算的，

稱為樣本方差(標準差)，記為s2(s)

4-43作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學樣本方差和標準差

STATISTICS

(第六版)(sample(samplevariancevarianceandandstandardstandarddeviationdeviation))

方差的計算公式方差的計算公式標準差的計算公式標準差的計算公式

未分組數據注意：注意：未分組數據

樣本方差用自樣本方差用自

由度由度nn-1-1去除去除!!!

組距分組數據組距分組數據

4-44作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學自由度

STATISTICS

(第六版)(degreeoffreedom)

1.自由度是指數據個數與附加給獨立的觀測

值的約束或限制的個數之差

2.從字面涵義來看，自由度是指一組數據中

可以自由取值的個數

3.當樣本數據的個數為n時，若樣本平均數

確定后，則附加給n個觀測值的約束個數

就是1個，因此只有n-1個數據可以自由

取值，其中必有一個數據不能自由取值

4.按著這一邏輯，如果對n個觀測值附加的

約束個數為k個，自由度則為n-k

4-45作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學自由度

STATISTICS

(第六版)(degreeoffreedom)

樣本有個數值，即，，，則。

1.1.樣本有33個數值，即xx11=2=2，xx22=4=4，xx33=9=9，則xx==55。

當確定后，，和有兩個數據可以自由取

當xx==55確定后，xx11，xx22和xx33有兩個數據可以自由取

值，另一個則不能自由取值，比如，，那么

值，另一個則不能自由取值，比如xx11=6=6，xx22=7=7，那么

則必然取，而不能取其他值

xx33則必然取22，而不能取其他值

2.2.為為什什么么樣樣本本方方差差的的自自由由度度為為什什么么是是nn-1-1呢呢？？因因為為在在計計

算算離離差差平平方方和和時時，，必必須須先先求求出出樣樣本本均均值值xx，，而而xx則則

是是附附件件給給離離差差平平方方和和的的一一個個約約束束，，因因此此，，計計算算離離差差

平方和時只有平方和時只有nn-1-1個獨立的觀測值，而不是個獨立的觀測值，而不是nn個個

3.3.樣樣本本方方差差用用自自由由度度去去除除，，其其原原因因可可從從多多方方面面解解釋釋，，

從從實實際際應應用用角角度度看看，，在在抽抽樣樣估估計計中中，，當當用用樣樣本本方方差差ss22

去估計總體方差去估計總體方差σσ22時，它是時，它是σσ22的無偏估計量的無偏估計量

4-46作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學樣本標準差

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

某電腦公司銷售量數據平均差計算表

按銷售量分組組中值(Mi)頻數(fi)

140~150145440160

150~160155930270

160~1701651620320

170~1801752710270

180~1901852000

190~2001951710170

200~2102051020200

210~220215830240

220~230225440160

230~240235550250

合計—120—55400

4-47作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學樣本標準差

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

含義：每一天的銷售量與平均數相比，

平均相差21.58臺

4-48作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學總體方差和標準差

STATISTICS

(第六版)(PopulationvarianceandStandarddeviation)

方差的計算公式方差的計算公式標準差的計算公式標準差的計算公式

未分組數據未分組數據

組距分組數據組距分組數據

4-49作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

相對位置的度量：標準分數

4-50作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學標準分數

STATISTICS

(第六版)(standardscore)

1.也稱標準化值

2.對某一個值在一組數據中相對位置的度量

3.可用于判斷一組數據是否有離群點(outlier)

4.用于對變量的標準化處理

5.計算公式為

4-51作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學標準分數

STATISTICS

(第六版)(性質)

zz分分數數只只是是將將原原始始數數據據進進行行了了線線性性變變換換，，它它并并沒沒有有

改改變變一一個個數數據據在在該該組組數數據據中中的的位位置置，，也也沒沒有有改改變變該該

組組數數分分布布的的形形狀狀，，而而只只是是使使該該組組數數據據均均值值為為00，，標標

準差為準差為11

4-52作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學標準分數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

9個家庭人均月收入標準化值計算表

家庭編號人均月收入（元）標準化值z

115000.695

2750-1.042

3780-0.973

41080-0.278

5850-0.811

6960-0.556

720001.853

812500.116

916300.996

4-53作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS經驗法則

(第六版)

經驗法則表明：當一組數據對稱分布時

?約有68%的數據在平均數加減1個標準差

的范圍之內

?約有95%的數據在平均數加減2個標準差

的范圍之內

?約有99%的數據在平均數加減3個標準差

的范圍之內

4-54作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學切比雪夫不等式

STATISTICS

(第六版)(Chebyshev’sinequality)

1.如果一組數據不是對稱分布，經驗法則就不

再適用，這時可使用切比雪夫不等式，它對

任何分布形狀的數據都適用

2.切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是

“所占比例至少是多少”

3.對于任意分布形態的數據，根據切比雪夫不

等式，至少有1-1/k2的數據落在平均數加減k

個標準差之內。其中k是大于1的任意值，但

不一定是整數

4-55作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學切比雪夫不等式

STATISTICS

(第六版)(Chebyshev’sinequality)

對于k=2，3，4，該不等式的含義是

1.至少有75%的數據落在平均數加減2個標

準差的范圍之內

2.至少有89%的數據落在平均數加減3個標

準差的范圍之內

3.至少有94%的數據落在平均數加減4個標

準差的范圍之內

4-56作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

相對離散程度：離散系數

4-57作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學離散系數

STATISTICS

(第六版)(coefficientofvariation)

1.標準差與其相應的均值之比

2.對數據相對離散程度的測度

3.消除了數據水平高低和計量單位的影響

4.用于對不同組別數據離散程度的比較

5.計算公式為

4-58作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學離散系數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】某管理局抽查了所屬的8家企業，其產品銷售數

據如表。試比較產品銷售額與銷售利潤的離散程度

某管理局所屬8家企業的產品銷售數據

產品銷售額（萬元）銷售利潤（萬元）

企業編號

x1x2

11708.1

222012.5

339018.0

443022.0

548026.5

665040.0

795064.0

8100069.0

4-59作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學離散系數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

309.1923.09

v1==0.577v==0.710

536.25232.5215

結論：計算結果表明，v1<v2，說明產品銷售額

的離散程度小于銷售利潤的離散程度

4-60作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS4.3偏態與峰態的度量

(第六版)

4.3.1偏態及其測度

4.3.2峰態及其測度

4-61作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學

STATISTICS

(第六版)

偏態

4-62作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學偏態

STATISTICS

(第六版)(skewness)

1.統計學家統計學家PearsonPearson于于18951895年首次提出年首次提出

2.數據分布偏斜程度的測度數據分布偏斜程度的測度

2.2.偏態系數偏態系數=0=0為為對稱分布對稱分布

3.3.偏態系數偏態系數>>00為為右偏分布右偏分布

4.偏態系數偏態系數<<00為為左偏分布左偏分布

5.偏偏態態系系數數大大于于11或或小小于于-1-1，，被被稱稱為為高高度度

偏偏態態分分布布；；偏偏態態系系數數在在0.50.5～～11或或-1-1～～--

0.50.5之之間間，，被被認認為為是是中中等等偏偏態態分分布布；；偏偏

態系數越接近態系數越接近00，偏斜程度就越低，偏斜程度就越低

4-63作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學偏態系數

STATISTICS

(第六版)(coefficientofskewness)

1.根據原始數據計算

2.根據分組數據計算

4-64作者：賈俊平，中國人民大學統計學院

統計學偏態系數

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

某電腦公司銷售量偏態及峰度計算表

頻數

按銷售量份組(臺)組中值(Mi)fi

140~1501454-25600010240000

150~1601559-2430007290000

160~17016516-1280002560000

170~18017527-27000270000

180~1901852000

190~2001951717000170000

200~21020510800001600000