人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.2排列數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式.2.能用排列數(shù)公式解決簡單的實(shí)際問題．知識點(diǎn)一排列數(shù)的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．思考排列與排列數(shù)相同嗎？〖答案〗排列數(shù)是元素排列的個數(shù)，兩者顯然不同．知識點(diǎn)二排列數(shù)公式及全排列1．排列數(shù)公式的兩種形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).2．全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0！＝1.1．Aeq\o\al(2,3)＝________.〖答案〗62．Aeq\o\al(2,n)＝132，則n＝________.〖答案〗123．Aeq\o\al(x,5)＝20，則x＝________.〖答案〗24．甲、乙、丙三人站成一排，共有________種不同站隊(duì)方式．(用排列數(shù)表示)〖答案〗Aeq\o\al(3,3)5.eq\f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,8))＝________.〖答案〗eq\f(5,8)一、排列數(shù)公式的應(yīng)用命題角度1利用排列數(shù)公式求值例1－1計算：Aeq\o\al(3,15)和Aeq\o\al(6,6).解Aeq\o\al(3,15)＝15×14×13＝2730，Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720.命題角度2利用排列數(shù)公式化簡例1－2(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)化簡：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)．解(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(個)數(shù)，∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)由排列數(shù)公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝Aeq\o\al(m＋1,n＋m).命題角度3利用排列數(shù)公式證明例1－3求證：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).證明∵Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n＋1！,n＋1－m！)－eq\f(n！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,n－m！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,n＋1－m！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，∴Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).反思感悟排列數(shù)公式的選擇(1)排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù)．(2)排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算．跟蹤訓(xùn)練1不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A．〖2,8〗B．〖2,6〗C．(7,12)D．{8}〖答案〗D〖解析〗由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,8－x！)<6×eq\f(8！,10－x！)，化簡得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N*，得x＝8.二、排隊(duì)問題命題角度1“相鄰”與“不相鄰”問題例2－13名男生，4名女生，這7個人站成一排在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)男、女各站在一起；(2)男生必須排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰．解(1)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必須站一起，即把4名女生進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，全體男生、女生各看作一個元素全排列有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)排法．(2)(捆綁法)把所有男生看作一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(種)不同的排法．(3)(不相鄰問題插空法)先排女生有Aeq\o\al(4,4)種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五個空中，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)不同的排法．(4)先排男生有Aeq\o\al(3,3)種排法，讓女生插空，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144(種)不同的排法．命題角度2定序問題例2－27人站成一排．(1)甲必須在乙的前面(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰)，則有多少不同的排列方法？解(1)甲在乙前面的排法種數(shù)占全體排列種數(shù)的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520(種)不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全排列種數(shù)的eq\f(1,A\o\al(3,3)).故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(種)不同的排法．命題角度3元素的“在”與“不在”問題例2－3從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題．(1)甲不在首位的排法有多少種？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？解(1)方法一把元素作為研究對象．第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學(xué)中選出5名放在5個位置上，有Aeq\o\al(5,6)種排法．第二類，含有甲，甲不在首位，先從4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的6名同學(xué)中選出4名排在沒有甲的位置上，有Aeq\o\al(4,6)種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有4×Aeq\o\al(4,6)種排法．由分類加法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,6)＋4×Aeq\o\al(4,6)＝2160(種)排法．方法二把位置作為研究對象．第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選1名排在首位，有Aeq\o\al(1,6)種方法；第二步，從占據(jù)首位以外的6名同學(xué)中選4名排在除首位以外的其他4個位置上，有Aeq\o\al(4,6)種方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,6)＝2160(種)排法．方法三(間接法)先不考慮限制條件，從7人中選出5人進(jìn)行排列，然后把不滿足條件的排列去掉．不考慮甲在首位的要求，總的可能情況有Aeq\o\al(5,7)種，甲在首位的情況有Aeq\o\al(4,6)種，所以符合要求的排法有Aeq\o\al(5,7)－Aeq\o\al(4,6)＝2160(種)．(2)把位置作為研究對象，先考慮特殊位置．第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個位置上，有Aeq\o\al(2,6)種方法；第二步，從剩下的5名同學(xué)中選3名排在中間3個位置上，有Aeq\o\al(3,5)種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(3,5)＝1800(種)方法．(3)把位置作為研究對象．第一步，從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個位置，有Aeq\o\al(2,5)種方法；第二步，從剩下的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個位置上，有Aeq\o\al(3,5)種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,5)＝1200(種)方法．(4)間接法．總的可能情況有Aeq\o\al(5,7)種，減去甲在首位的Aeq\o\al(4,6)種排法，再減去乙在末位的Aeq\o\al(4,6)種排法，注意到甲在首位，同時乙在末位的排法數(shù)被減去了兩次，所以還需補(bǔ)回一次Aeq\o\al(3,5)種排法，所以共有Aeq\o\al(5,7)－2Aeq\o\al(4,6)＋Aeq\o\al(3,5)＝1860(種)排法．反思感悟排隊(duì)問題的解題策略排隊(duì)問題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰、定序等問題．(1)對于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決．即將相鄰的元素視為一個整體進(jìn)行排列．(2)對于不相鄰的元素插入空中．(3)對于定序問題，可采用“除階乘法”解決．即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．(4)對于“決．跟蹤訓(xùn)練2三個女生和五個男生排成一排．(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻€女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，對于其中的每一種排法，三個女生之間又有Aeq\o\al(3,3)種不同的排法．因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320(種)不同的排法．(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，由于五個男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個讓三個女生插入都有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400(種)不同的排法．(3)方法一(位置分析法)因?yàn)閮啥硕疾荒芘排詢啥酥荒芴暨x五個男生中的兩個，有Aeq\o\al(2,5)種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個位置都有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)不同的排法．方法二(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中扣除女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)種排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)種排法，但兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)不同的排法．方法三(元素分析法)從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有Aeq\o\al(3,6)種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余五個位置又都有Aeq\o\al(5,5)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400(種)不同的排法．(4)方法一(位置分析法)因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排匀绻孜慌帕四猩敲茨┪痪筒辉偈軛l件限制了，這樣可有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)種不同的排法；如果首位排女生，有Aeq\o\al(1,3)種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，因此共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(種)不同的排法．方法二(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中扣除兩端都是女生的排法Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(種)不同的排法．1．Aeq\o\al(3,9)等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3〖答案〗C2．89×90×91×92×…×100可表示為()A．Aeq\o\al(10,100)B．Aeq\o\al(11,100)C．Aeq\o\al(12,100)D．Aeq\o\al(13,100)〖答案〗C〖解析〗89×90×91×92×…×100＝eq\f(1×2×…×100,1×2×…×88)＝eq\f(100！,88！)＝Aeq\o\al(12,100).3．3位老師和3名學(xué)生站成一排，要求任何學(xué)生都不相鄰，