人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1習題課兩個計數原理及排列組合基礎達標一、選擇題1．按ABO血型系統學說，每個人的血型為A，B，O，AB型四種之一．依血型遺傳學，當且僅當父母中至少有一人的血型是AB型時，子女的血型一定不是O型．若某人的血型為O型，則其父母血型的所有可能情況有()A．12種 B．6種C．10種 D．9種〖解析〗由題意，他的父母的血型都是A，B，O三種之一，由分步乘法計數原理知，其父母血型的所有可能情況共有3×3＝9(種)．〖答案〗D2．若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，則eq\f(n！,3！（n－3）！)的值為()A．1 B．20C．35 D．7〖解析〗若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，則eq\f(n（n－1）（n－2）,3×2×1)eq\f(n（n－1）（n－2）（n－3）,4×3×2×1)，可得n＝7，所以eq\f(n！,3！（n－3）！)＝eq\f(7！,3！4！)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.〖答案〗C3．在100，101，102，…，999這些數中，各位數字按嚴格遞增(如“145”)或嚴格遞減(如“321”)順序排列的數的個數是()A．120 B．204C．168 D．216〖解析〗由題意知本題是一個計數原理的應用，首先對數字分類，當數字不含0時，從9個數字中選三個，則這三個數字遞增或遞減的順序可以確定兩個三位數，共有2Ceq\o\al(3,9)＝168(個)，當三個數字中含有0時，從9個數字中選2個數，它們只有遞減一種結果，共有Ceq\o\al(2,9)＝36(個)，根據分類加法計數原理知共有168＋36＝204(個)，故選B.〖答案〗B4．有三對師徒共6個人，站成一排照相，每對師徒相鄰的站法共有()A．72種 B．54種C．48種 D．8種〖解析〗用分步乘法計數原理：第一步：先排每對師徒有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)，第二步：將每對師徒當作一個整體進行排列有Aeq\o\al(3,3)種，由分步乘法計數原理可知共有Aeq\o\al(3,3)·(Aeq\o\al(2,2))3＝48(種)．〖答案〗C5．某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5，4種退燒藥b1，b2，b3，b4，現從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時使用進行療效實驗，但又知a1，a2兩種藥必須同時使用，且a3，b4兩種藥不能同時使用，則不同的實驗方案共有()A．56種 B．28種C．21種 D．14種〖解析〗分3類：當取a1，a2時，再取退燒藥有Ceq\o\al(1,4)種方案；取a3時，取另一種消炎藥的方法有Ceq\o\al(1,2)種，再取退燒藥有Ceq\o\al(1,3)種，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)種方案；取a4，a5時，再取退燒藥有Ceq\o\al(1,4)種方案．故共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)＝14(種)不同的實驗方案．〖答案〗D二、填空題6．小明、小紅等4位同學各自申請甲、乙兩所大學的自主招生考試資格，則每所大學恰有兩位同學申請，且小明、小紅沒有申請同一所大學的可能性有__________種．〖解析〗設小明、小紅等4位同學分別為A，B，C，D，小明、小紅沒有申請同一所大學，則組合為(AC，BD)與(AD，BC)．若AC選甲學校，則BD選乙學校，若AC選乙學校，則BD選甲學校；若AD選甲學校，則BC選乙學校，若AD選乙學校，則BC選甲學校．故共有4種方法．〖答案〗47．現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加某項服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是__________．〖解析〗按從事司機工作的人數進行分類：①有1人從事司機工作：Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝108(種)；②有2人從事司機工作：Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)．∴不同安排方案的種數是108＋18＝126.〖答案〗1268．連接正三棱柱的6個頂點，可以組成________個四面體．〖解析〗從正三棱柱的6個頂點中任取4個，有Ceq\o\al(4,6)種方法，其中4個點共面的有3種情況，故可以組成Ceq\o\al(4,6)－3＝12(個)四面體．〖答案〗12三、解答題9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學，求：(1)5名同學站成一排，有多少種不同的方法？(2)5名同學站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，有多少種不同的方法？(3)將5名同學分配到三個班，每班至少1人，共有多少種不同的分配方法？解(1)有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)不同的方法．(2)5名同學站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，故有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(種)不同的方法．(3)按人數分配方式分類：①3，1，1，有eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝60(種)方法；②2，2，1，有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90(種)方法．故共有60＋90＝150(種)分配方法．10．從1到9這9個數字中取3個偶數和4個奇數，試問：(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？(2)上述七位數中3個偶數排在一起的有幾個？(3)在(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？(4)在(1)中任意2個偶數都不相鄰的七位數有幾個？解(1)分步完成：第一步，在4個偶數中取3個，有Ceq\o\al(3,4)種情況．第二步，在5個奇數中取4個，有Ceq\o\al(4,5)種情況．第三步，將3個偶數、4個奇數進行排列，有Aeq\o\al(7,7)種情況．所以符合題意的七位數有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝100800(個)．(2)在上述七位數中，3個偶數排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝14400(個)．(3)在(1)中的七位數中，3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝5760(個)．(4)在(1)中的七位數中，偶數都不相鄰，可先把4個奇數排好，再將3個偶數分別插入5個空位(包括兩端)中，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝28800(個)．能力提升11．用1，2，3，4這四個數字組成無重復數字的四位數，其中恰有一個偶數夾在兩個奇數之間的四位數的個數為__________．〖解析〗首先排兩個奇數1，3，有Aeq\o\al(2,2)種排法，再在2，4中取一個數放在1，3之間，有Ceq\o\al(1,2)種排法，然后把這3個數作為一個整體與剩下的另一個偶數全排列，有Aeq\o\al(2,2)種排法，即滿足條件的四位數的個數為Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8.〖答案〗812．4位同學參加辯論賽，比賽規則如下：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分．若4位同學的總分為0分，則這4位同學有多少種不同的得分情況？解本題分兩種情況討論．(1)如果4位同學中有2人選甲，2人選乙．若這4位同學的總分為0分，則必須是選甲的2人一人答對，另一人答錯，選乙的2人一人答對，另一人答錯．有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)不同的情況．(2)如果4位同學都選甲或者都選乙．若這4位同學的總分為0分，則必須是2人答對，另2人答錯，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝12(種)不同的情況．綜上可知，一共有24＋12＝36(種)不同的情況．創新猜想13．(多空題)商店里有15種上衣，18種褲子，某人要買一件上衣或一條褲子，共有__________種不同的選法．要買上衣、褲子各一件，共有__________種不同的選法．〖解析〗買上衣，有15種選法；買褲子，有18種選法．買1件上衣或1件褲子有15＋18＝33(種)選法．買一件上衣和一條褲子，有15×18＝270(種)選法．〖答案〗3327014．(多空題)將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數為__________；恰有一個空盒子的方法數為__________．〖解析〗先把8個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側各放置一塊隔板，然