專題12.11三角形全等幾何模型（一線三等角）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】一線三直角模型1.基本圖形題型特征：如圖1，在直線BC上出現(xiàn)三個直角，如圖中∠B=∠ACE=∠D=90°圖1圖2圖3解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可證△ABE≌△ECD（AAS或ASA）結(jié)論延伸1：如圖2，兩個直角三角形在直線兩側(cè)時，同樣成立結(jié)論延伸2：圖1中連接AE，得到如圖3，可得以下結(jié)論：四邊形ABDE為直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知識點(diǎn)二】一線三等角模型圖4圖5題型特征：如圖4，圖形的某條線段上出現(xiàn)三個相等的角，如圖中∠B=∠ACE=∠D解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必證△ABC≌△CDE（AAS或ASA）結(jié)論延伸：如圖5，兩個三角形在直線兩側(cè)時，同樣成立第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】直接用“一線三直角”模型求值或證明【例1】（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且，，垂足分別為．（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【變式1】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，小虎用塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（，），點(diǎn)C在上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離的長度為（）A． B． C． D．【變式2】（23-24九年級下·重慶開州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若，，則的長度為．【題型2】直接用“一線三等角”模型求值或證明【例2】（23-24八年級上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，分別過點(diǎn)B、C向直線l作垂線，垂足分別為D、E

（1）如圖a，當(dāng)點(diǎn)B、C位于直線l的同側(cè)時，證明：（2）如圖b，銳角中，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)D、E分別在直線l上，點(diǎn)B，C位于l的同一側(cè)，如果，請找到圖中的全等三角形，并寫出線段和之間的數(shù)量關(guān)系【變式1】（21-22八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【變式2】（23-24七年級下·吉林長春·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E、F在線段上．，的面積為18，則與的面積之和．【題型3】構(gòu)造“一線三直角”模型求值或證明【例3】（23-24八年級上·山西呂梁·期末）數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動，探究有關(guān)線段之間的關(guān)系問題情境：如圖1，三角形紙片中，，.將點(diǎn)C放在直線上，點(diǎn)A，B位于直線的同側(cè)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D初步探究：（1）在圖1的直線上取點(diǎn)E，使，得到圖2，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）小穎又拿了一張三角形紙片繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作，其中，.小穎在圖1的基礎(chǔ)上，將三角形紙片的頂點(diǎn)P放在直線上，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H.如圖3，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【變式1】（23-24八年級上·新疆喀什·期中）如圖，則的面積為（）A．9 B．6 C． D．【變式2】（20-21七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)作，且，連接，若，則的長為．【題型4】“一線三直（等）角”模型的延伸與拓展【例4】如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3.0），D為x軸上的一個動點(diǎn)，AE⊥AD，且AE=AD，連接BE交y軸于點(diǎn)M（1）若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5.0），求E點(diǎn)的坐標(biāo):（2）求證:M為BE的中點(diǎn)（3）當(dāng)D點(diǎn)在x軸上運(yùn)動時，探索:為定值【變式1】（23-24八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖所示，把一個邊長分別為3，4，5的三角形和三個正方形放置在大長方形中，則該長方形中空白部分的面積為（）A．54 B．60 C．100 D．110【變式2】已知：四邊形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面積為1，則線段AC的長度是.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真題）如圖，，AD是內(nèi)部一條射線，若，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【例2】（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長度為．

2、拓展延伸【例1】（22-23八年級下·河南洛陽·期中）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．小華分別過B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：；（2）拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：；（3）遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點(diǎn)D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點(diǎn)D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．【例2】（22-23八年級上·廣東惠州·期中）如圖1，，垂足分別為D，E．（1）若，求的長．（2）在其它條件