第二章線性系統的數學模型

描述控制系統輸入、輸出變量及內部變量之間關系的數學表達式稱為系統的數學模型。★描述控制系統的輸入－輸出變量數學模型:微分方程、傳遞函數、方框圖、頻率特性★描述控制系統的內部變量數學模型：狀態空間說明◆要分析自動控制系統的性能，必須先建立該系統的數學模型；◆一個物理系統，要處理的問題或要達到的精度不同，得到的數學模型也不同。§2－1微分方程

主要內容§2－2傳遞函數§2－3典型環節的傳遞函數及動態響應§2－4電氣網絡的運算阻抗與傳遞函數§2－5方框圖§2－5反饋控制系統的傳遞函數

§2－1微分方程

對于線性定常系統,可以用線性常系數微分方程作為其數學模型，如a0dnc

(t)/dtn+a1dn-1c

(t)/dtn-1+…＋anc

(t)=b0dmr(t)/dtm+b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t)c(t):

系統的輸出；r(t):

系統的輸入；a0……an;b0……bm

均為實數，均由系統本身的結構參數所決定的，且n為系統的階數，n≥m。建立微分方程的一般步驟(1)確定輸入量和輸出量；(2)增設中間變量，圍繞輸入量、輸出量及中間量，列微分方程組。(3)消去中間變量，整理出只含有輸入量和輸出變量及其各階導數的微分方程；(4)標準化，將輸出量及其各階導數放在等號左邊，將輸入量及其各階導數放在等號右邊，各階導數項按階次由高到低排列。電氣系統

電氣系統中最常見的裝置是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網絡。無源網絡：由無源元件組成的電氣網絡。不含電源的器件：R、L、C等。有源網絡：包含有源元件的電氣網絡。

含電源的器件：運算放大器。電氣系統

列寫電氣網絡的微分方程要用到以下規律：KCL電流定律：KVL電壓定律：元件的伏安關系：理想運算放大器：虛短、虛斷

§2－2傳遞函數一.定義線性定常系統→線性常系數微分方程c(t):

系統的輸出；r(t):

系統的輸入；a0……an;b0……bm

均為實數，均由系統本身的結構參數所決定的，且n≥m。令c(t)和r(t)及其各階導數在t=0－時的值為零,（a0Sn+a1Sn-1+…+an-1S+an)C(S)=(b0Sm+b1Sm-1+…+bm-1S+bm)R(S)經過整理得：（零初始條件）兩端拉氏變換得到以復變量S為自變量的代數方程：傳遞函數的定義：零初始條件下系統輸出與輸入的拉氏變換之比。說明（2）傳遞函數由系統本身的結構和參數決定，與輸入信號的具體形式和大小無關。（1）由于拉氏變換只是線性定常微分方程的數學變換，故傳遞函數僅為線性定常系統的數學模型。（4）傳遞函數的自變量是S，所以傳遞函數時系統的復頻域描述，而微分方程則為系統的時域描述。(3)C(S)=R(S)G(S)，信號傳遞的性質。用方框圖表示：R(S)G(S)C(S)（5）對實際系統，傳遞函數是S的有理分式設式中：k為比例系數;z1…zm稱為傳遞函數的零點;p1…pn稱為傳遞函數的極點。（6）傳遞函數的零、極點、增益模型零點和極點是在復數平面上的點，因此可以是實數（在實軸上），也可以是復數，如為復數必為共軛出現。例：以零極形式表示，并在復平面上標出。S1、S2=-2±j3為一對共軛復數極點。Imj3-j3Re-2－6S1S2解：G(S)的零極形式為：（7）系統的特征方程系統傳遞函數分母等于零所得的方程，即令特征根：特征方程的根，也是傳遞函數的極點。§2－3典型環節的傳遞函數及動態響應為了分析方便，往往將一個復雜的控制系統分成一個個小部分，稱為環節。控制系統雖然是各種各樣的，但常見的典型環節并不多。一.比例環節1、傳遞函數2、階躍響應R(S)KC(S)二.慣性環節1、傳遞函數2、階躍響應R(S)C(S)說明

經過3T~4T，輸出接近穩態值，約為穩態值的95%~98%；由于的存在，輸出呈現緩慢上升過程，這一現象稱為系統具有一定的慣性，用時間常數T來表征；

T=0，即比例環節，無慣性；

T越大輸出接近穩態的時間越長，上升越緩慢，系統慣性越大。三.積分環節1、傳遞函數2、階躍響應四.比例積分環節1、傳遞函數2、階躍響應五.微分環節理想微分環節2、階躍響應1、傳遞函數說明理想微分環節很難應用，引入實際微分環節。1、傳遞函數2、階躍響應六.比例微分環節（一階微分環節）2、階躍響應1、傳遞函數或說明

與微分環節類似，在實際中所用的比例微分環節也是帶慣性環節的。實際中的比例微分環節的傳遞函數：當τ很小時，則近似于理想的比例微分環節七.比例積分微分環節2、階躍響應1、傳遞函數八.二階振蕩環節1、傳遞函數T——時間常數ζ——阻尼比2、階躍響應九.延遲環節：輸出為輸入信號的延遲。1、動態方程2、傳遞函數

說明：延遲環節可能使系統不穩定，τ越大，對系統的穩定性越不利。§2－4電氣網絡的運算阻抗與傳遞函數一.運算阻抗元件運算阻抗（復阻抗）RRLsLC二.伏安關系時域電路運算電路可見，運算阻抗可以當做普通電阻使用！三.電路定律時域電路運算電路

對電氣網絡，可以不列微分方程，僅利用運算電路，經過簡單的代數運算，就可以求得傳遞函數！§2－5控制系統的方框圖

方框圖是以圖形表示系統的數學模型；通過方框圖，能夠非常清楚地表示出信號在系統各環節之間的傳遞過程；方框圖可以方便地求出復雜系統的傳遞函數；方框圖是分析控制系統的一個簡明而有效的工具。一.方框圖的概念和繪制構成方框圖的基本符號有四種：（1）信號線：R(s)箭頭表示信號傳遞的方向，線上表明所對應的變量。1、方框圖是傳遞函數的圖解化表示，框圖中各信號均以s為自變量，反應系統中各個環節的連接關系。（2）函數方框：方框中為各環節的傳遞函數Gn(S)Xi(S)X0(S)X0(S)＝Xi(S)×Gn(S)（3）比較點：信號的代數和，具有相同量綱X1(S)X2(S)X1(S)+X2(S)++X1(S)X2(S)X1(S)－X2(S)－+（4）引出點：X

(S)X

(S)X

(S)只是傳送信號，并不提取能量，不是求和！2、方框圖的繪制列系統各環節的微分方程組

拉氏變換方框圖系統的微分方程為：

式中T1、T2、K1、K2、K3均為正的常數，系統的輸入為r(t)，輸出為c(t)，畫出系統的傳遞函數方框圖。①②③④例題②①③④注意方框圖形式要規范，前向通路、反饋通路要清晰明確，左邊為系統總輸入R(s)，右邊為輸出C(s)。方框圖中的各個環節都必須是典型環節。若遵循前一個環節的輸出為下一個環節的輸入，則容易畫圖。二.環節間的連接關系1.串聯G1(S)R(S)G2(S)…C(S)Gn(S)2.并聯G1(S)G2(S)...Gn(S)＋＋＋C(S)R(S)3.反饋R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)＋正反饋負反饋單位反饋：H(S)＝1R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)＋C(S)=E(S)G(S)E(S)=R(S)－B(S)B(S)=C(S)H(S)＋注意傳遞函數中：負反饋取＋正反饋取－R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)Φ(S)也稱作自動控制系統的閉環傳遞函數R(S)C(S)--R(S)C(S)-三.比較點和引出點的移動目的：為了對較復雜的方框圖進行化簡。原則：不能改變輸入、輸出之間總的數學關系式。1.比較點前移R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋R1(S)G(S)C(S)R2(S)G

(S)1＋2.比較點后移R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋G(S)R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋3.相鄰比較點之間的移動R1(S)R3(S)-R2(S)-C(S)R1(S)R2(S)-R3(S)-C(S)＋R1(S)R3(S)-R2(S)-C(S)4.引出點前移G

(S)R(S)C(S)C(S)G

(S)R(S)C(S)C(S)G

(S)5.引出點后移G

(S)R(S)C(S)R(S)G

(S)R(S)C(S)R(S)G

(S)16.相鄰引出點之間移動X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)說明比較點與引出點之間不要相互移動，等效關系太復雜！四.方框圖的化簡1、利用比較點、引出點移動來化簡

關鍵：找非獨立回路，消除交叉結構，將方框圖變成串聯、并聯、反饋連接。例題求系統閉環傳遞函數。G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---aG3(S)H2(S)H1(S)H3(S)R(S)1/G4(S)例題求系統閉環傳遞函數。R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---aG3(S)H2(S)H1(S)H3(S)bR(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)bR(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)C(S)-H1(S)對結構圖進行簡化，求系統閉環傳遞函數.解（1）

a點后移R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---

G3(S)例題aR(S)G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)C(S)---

1/G4(S)R(S)G1(S)G2(S)C(S)--1/G4(S)R(S)G1(S)G2(S)R(S)--1/G4(S)

bPage31例2－7對結構圖進行簡化，求系統的閉環傳遞函數。Page31例2－8對結構圖進行簡化，求系統的閉環傳遞函數。2、梅森公式——

所有各回路的“回路傳遞函數”之和。——

兩兩互不接觸回路，其“回路傳遞函數”乘積之和。——

三個互不接觸的回路，其“回路傳遞函數”乘積之和。回路傳遞函數——

回路的前向通路和反饋通路的傳遞函數的乘積。包括反饋極性！相接觸回路——

在框圖中具有共同的重合部分，包括共同的函數方框、或共同的相加點等。梅森公式n——

系統前向通路個數；Pk

——

從輸入端到輸出端的第k條前向通路上各傳遞函數之積。例題求系統閉環傳遞函數。R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)L1L2L3例題某電氣網絡的方框圖如下，求閉環傳遞函數。R(S)C(S)---

L1L2L3§2－6反饋控制系統的傳遞函數反饋控制系統的典型結構如圖：G1(S)G2(S)R(S)C(S)E(S)B(S)H(S)+N(S)一.閉環系統的開環傳遞函數：

G(S)=G1(S)G2(S)H(S)二.系統的閉環傳遞函數1.輸出對輸入的傳遞函數令N(S)＝0G1(S)G2(S)Xi(S)X0(S)E(S)B(S)H(S)+N(S)

（2-11）2.輸出對擾動的傳遞函數G1(S)G2(S)Xi(S)X0(S)E(S)B(S)H(S)+D(S)令Xi(S)＝0G1(S)G2(S)X0(S)H(S)