人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第2課時計數原理的綜合應用學習目標1.進一步理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別.2.會正確應用這兩個計數原理計數．導語隨著人們生活水平的提高，車輛擁有量迅速增長，汽車牌號僅用一個字母和數字表示已經不能滿足需求，再加上許多車主還希望車牌號“個性化”，因此，汽車號碼需要進行擴容，這樣就需要“數出”某種方案下的所有號碼數，號碼的個數是如何進行計算的呢？一、組數問題例1用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數字且比2000大的四位偶數？解完成這件事可分為三類：第一類是個位數字為0的比2000大的四位偶數，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數字，除0和千位上已選定的數字以外，還有4個數字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數字，有3種選法．由分步乘法計數原理知，這類數的個數為4×4×3＝48.第二類是個位數字為2的比2000大的四位偶數，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數字，除去2,1,0只有3個數字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數字，在去掉已經確定的首尾2個數字之后，還有4個數字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數字，有3種選法．由分步乘法計數原理知，這類數的個數為3×4×3＝36.第三類是個位數字為4的比2000大的四位偶數，其方法步驟同第二類．對以上三類用分類加法計數原理，得所求無重復數字且比2000大的四位偶數有48＋36＋36＝120(個)．反思感悟常見的組數問題及解題原則(1)常見的組數問題：奇數、偶數、整除數、各數位上的和或數字間滿足某種特殊關系等．(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對數字的要求，針對這一要求通過分類、分步進行組數；其次注意特殊數字對各數位上數字的要求，如偶數的個位數字為偶數、兩位及其以上的數首位數字不能是0、被3整除的數各位數上的數字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數字或特殊位置進行組數．跟蹤訓練1(1)從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為()A．24B．18C．12D．6〖答案〗B〖解析〗由于題目要求是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種偶奇奇的情況：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B.(2)用0,1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A．243B．252C．261D．279〖答案〗B〖解析〗0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8＝648(個)，∴有重復數字的三位數有900－648＝252(個)．二、抽取與分配問題例2(1)高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．360種B．420種C．369種D．396種〖答案〗C〖解析〗方法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的一個班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他三個班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．方法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．(2)甲、乙、丙三人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數為________．〖答案〗2〖解析〗不妨由甲先來取，共2種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有2×1×1＝2(種)．延伸探究若將“甲、乙、丙三人”改為“甲、乙、丙、丁四人”，其它條件不變，則有多少種不同的取法？解不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，共3種取法，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種)．反思感悟選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當涉及對象數目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．(2)當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行．②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可．跟蹤訓練2(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數學，在數學考試時，要求每位老師均不在本班監考，則安排監考的方法種數是()A．11B．10C．9D．8〖答案〗C〖解析〗方法一設四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設a監考的是B，則剩下的三個老師分別監考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a監考C，D時，剩下的三個老師分別監考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．方法二讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據分步乘法計數原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同的安排方法．(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A．280種 B．240種C．180種 D．96種〖答案〗B〖解析〗由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．三、涂色與種植問題例3(1)如圖所示，有A，B，C，D四個區域，用紅、黃、藍三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區域的顏色各不相同，共有________種不同的涂法．〖答案〗18〖解析〗①若A，C涂色相同，則按照分步乘法計數原理，A，B，C，D可涂顏色的種數依次是3,2,1,2，則有3×2×1×2＝12(種)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，則按照分步乘法計數原理，A，B，C，D可涂顏色的種數依次是3,2,1,1，則有3×2×1×1＝6(種)不同的涂法．所以根據分類加法計數原理，共有12＋6＝18(種)不同的涂法．(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有________種不同的種植方法．〖答案〗18〖解析〗方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有24－6＝18(種)不同的種植方法．反思感悟涂色與種植問題的四個解答策略(1)按區域的不同以區域為主分步計數，并用分步乘法計數原理計算．(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區域、點、線段”問題，用分類加法計數原理計算．(3)將空間問題平面化，轉化為平面區域的涂色問題．(4)對于不相鄰的區域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標準．跟蹤訓練3(1)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數為________．〖答案〗420〖解析〗按照S→A→B→C→D的順序進行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法．第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法．根據分類加法計數原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法．(2)如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(以數字作答)．〖答案〗72〖解析〗①當使用4種顏色時，先著色第1區域，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個區域，即有1種顏色涂相對的2塊區域，有3×2×2＝12(種)，由分步乘法計數原理得，共有4×12＝48(種)．②當使用3種顏色時，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色第1區域，有3種方法，剩下2種顏色涂4個區域，只能是一種顏色涂第2,4區域，另一種顏色涂第3,5區域，有2種著色方法．由分步乘法計數原理得有4×3×2＝24(種)．綜上，共有48＋24＝72(種)．1．知識清單：(1)兩個計數原理的區別與聯系．(2)兩個計數原理的應用：組數問題、選取問題、涂色問題及種植問題．2．方法歸納：分類討論、正難則反．3．常見誤區：分類標準不明確，會出現重復或遺漏問題．1．某乒乓球隊里有6名男隊員，5名女隊員，從中選取男、女隊員各1名組成混合雙打隊，則不同的組隊方法的種數為()A．11B．30C．56D．65〖答案〗B〖解析〗先選1名男隊員，有6種方法，再選1名女隊員，有5種方法，故共有6×5＝30(種)不同的組隊方法．2．由數字1,2,3組成的無重復數字的整數中，偶數的個數為()A．15B．12C．10D．5〖答案〗D〖解析〗分三類，第一類組成一位整數，偶數有1個；第二類組成兩位整數，其中偶數有2個；第三類組成三位整數，其中偶數有2個．由分類加法計數原理知共有偶數5個．3．甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．5種C．6種D．12種〖答案〗C〖解析〗若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，