第三章整式及其加減問題解決策略：歸納一、學習任務分析歸納是通過對個別具體對象的研究，得出一般性結論的方法，是人類認識事物、把握事物內在聯系和本質規律的基本方法之一。雖然學生在以往的數學學習中已初步感受和運用過歸納的方法，但未形成豐富的經驗和具體的認識。為豐富學生歸納經驗、促進學生對歸納形成一定的理性認識，本專題在點題“歸納”后，先后提供圖形規律、數字規律背景的問題，以理解、計劃、實施、反思四個階段呈現解題全過程，每個階段通過指向元認知、遷移性強的問題串引導學生思考，完成階段目標的同時體會歸納的適用情境，感悟歸納方法的重要意義，充分積累歸納經驗，形成運用歸納策略解決實際問題的具體而深刻的認識。二、學生起點分析學生知識技能基礎：在本章前面的學習中，學生借助對現實情境和簡單問題中數量關系的分析，進一步理解了用字母表示數的意義，先后認識了代數式、整式等概念，進一步熟悉了用代數式描述具體問題中的數量關系，在此基礎上研究了利用合并同類項法則和去括號法則進行簡單的整式加減運算，并借助代數式探索和表達具體問題中的一般規律。學生活動經驗基礎：通過前面的學習，學生已初步認識了探索規律的方法，積累了一定的數學活動經驗，但作為七年級的學生，思維正處于由形象化、發散性向抽象化、深刻化轉變的過程中，對于問題解決的一般過程，即理解問題、擬訂計劃、實施計劃、回顧反思等沒有形成深刻的認識，運用歸納法研究規律探索問題的一般思路也沒有完全建立，因此需要設計能激發興趣、有一定挑戰性的實際問題，通過問題的研究和解決提升抽象能力、模型觀念和歸納推理能力。三、教學目標1.通過研究長方形中分割三角形的問題，經歷運用理解問題、擬訂計劃、實施計劃、回顧反思等四個步驟解決問題的一般過程，并能按照以上四個步驟解決類似的數學問題，提升分析問題和解決問題的能力。2.在具體情境中能從特例出發，通過分析和整理數據，形成猜想，并驗證猜想的正確性，充分體會運用歸納策略的一般思路并歸納出一般步驟。3.運用歸納策略解決規律發現問題，進一步體會歸納策略的應用價值，增強數學的應用意識。教學重點1.解決問題過程中了解問題解決的四個步驟；2.運用歸納策略解決探索規律的問題，并對歸納的一般思路和步驟形成認識。教學難點1.了解運用問題解決的四個步驟解決問題的過程；2.能從操作層面明確并總結出歸納方法的基本步驟和一般思路。四、教學過程設計本節課設計了六個教學環節：【第一環節】情境引入；【第二環節】理解問題；【第三環節】擬訂計劃；【第四環節】實施計劃；【第五環節】回顧反思；【第六環節】鞏固提升。【第一環節】情境引入1.活動內容（1）教師通過視頻展示平面設計風格——低多邊形風格。教師介紹低多邊形風格：“低多邊形風格”是一種數字藝術設計風格。它將整個區域分割為若干三角形，通過把相鄰三角形涂上不同顏色，產生立體及光影的效果，隨著三角形數量增加，效果更為斑斕絢麗。將長方形區域分割成三角形的過程是：在長方形區域內取一定數量的點，連同長方形的4個頂點，逐步連接這些點，保證所有連線不再相交產生新的點，直到長方形內所有區域都變成三角形。（利用計算機軟件展示并說明，注意解釋和強調“保證所有連線不再相交產生新的點”）（2）如果長方形畫布內有35個點，可分得多少個三角形？2.活動目的播放低多邊形風格的相關視頻，讓學生快速了解這是一種平面圖案設計方法，使用計算機軟件展示并講解這種圖案的生成過程，引導學生用數學眼光觀察，并用數學思維思考其中的原理，同時創設跨學科問題情境激發學生的學習興趣，為后面探索規律做鋪墊。問題（2）由于點數多，學生不易回答，此時提示學生：可以先試著畫一畫，感受一下分割得到三角形的過程。經過嘗試后教師追問：你遇到了什么困難？學生發現取的點很多，不容易畫出圖形，同時分割的三角形個數多，不容易數清楚。體會到按照步驟解決問題的重要性和必要性。3.實際效果學生觀看視頻后既為圖片中形成的光影和立體效果而興奮，又對其設計原理和方法感到好奇，這時教師親自操作軟件現場展示低多邊形風格的設計過程，并說明其設計原理。學生經過思考認識到長方形中所分割的三角形區域隨著點數的增加而增加，并且明確了點的個數與三角形個數之間有對應關系，順利將實際問題轉化為有待深入研究的數學問題。對于問題（2），學生嘗試取點后，將長方形分割成若干三角形，發現難以直接得出答案，充分感受并認識到直接解決問題存在困難。教師引導學生明確解決問題的步驟：理解問題、擬訂計劃、實施計劃、回顧反思。【第二環節】理解問題1.活動內容（1）先動手畫一畫，感受分割得到三角形的過程。（2）這個問題中的已知條件是什么？目標是什么？2.活動目的引導學生通過動手畫圖理解題意，使學生理解問題背景，明確已知條件和待解決的問題，并體會問題解決的第一個步驟的重要性。3.實際效果學生分析得出：①基礎圖形是長方形，在其內部取35個點；②問題中的目標是確定長方形區域內三角形個數。【第三環節】擬訂計劃1.活動內容（1）直接研究“長方形內有35個點”的情形，你遇到了什么困難？（2）哪些情形容易研究？從中你能發現什么規律？（3）你發現的規律正確嗎？你能給出合理的解釋嗎？2.活動目的以問題串的形式引導學生結合已有經驗，擬訂研究該復雜問題的計劃。引導學生從簡單情況入手研究點的個數與三角形個數間的關系并形成猜想，表達猜想后進行驗證，逐步深入形成計劃。幫助學生較為完整地擬訂計劃，形成對實施步驟的一般認識。通過分析問題，明確形成從幾個簡單的情況出發尋找一般性結論的思路。擬訂計劃是解決問題的重中之重，要讓學生充分體會選用歸納法的情境特征和必要性。3.實際效果因為點數太多，無從下手。引導學生回憶火柴棒拼正方形、菱形等圖案的活動，想到可以先研究1個點、2個點、3個點等簡單情況。學生分析出簡單情況下更容易數出所分三角形的個數，從而找出取點的個數與分割的三角形個數之間的數量關系，尋找規律。在教師的提示和引導下想到需驗證或解釋規律，并用字母表達這個規律。經過幾位學生的補充完善形成計劃：在長方形中分別取1個點、2個點、3個點、4個點，分別確定三角形個數，找出所分割的三角形個數與所取點的個數之間的數量關系，表示規律并驗證規律。【第四環節】實施計劃1.活動內容（1）按照擬訂的計劃，利用學案紙上的長方形進行探索。（2）經過探索你有什么發現？（3）這個猜想是否合理？說說理由。2.活動目的依據擬訂的計劃進行操作，過程中檢查每個步驟是否正確，最終得到問題的答案。利用數形結合、列表的思想和方法，分析和整理數據，形成猜想，并驗證猜想的正確性，充分體會運用歸納的方法探索規律的過程。3.實際效果教學中，部分學生從1個點、2個點、3個點……分別畫圖展開研究：44個點1個點2個點3個點教師可追問：當我們數出點所對應的三角形的個數后，怎么記錄下來更方便比較和研究呢？學生發現通過列表的方式記錄和探索更方便。還有部分學生在同一個長方形中連續取1個點、2個點、3個點……從而發現，長方形內點的個數每增加1，三角形個數增加2。這時教師再追問：如果改變長方形中新增點的位置，結果還一樣嗎？學生發現不變。（學生回答后，可用計算機軟件演示和驗證）對于問題（3），學生經過思考和討論得出：當取1個點時，有4個三角形。當取n個點時，有4+2(n?1)個三角形。再增加一個點，即取(n+1)個點時，如上圖所示，若該點在某個三角形內部，則原來的一個三角形分成3個三角形，增加了2個三角形；若該點在某條線段上，則連接該點和所在三角形的頂點，仍增加2個三角形。因此，當長方形內部有35個點時，實際有4+34×2=72個三角形。【第五環節】回顧反思1.活動內容（1）至此，我們已經經歷了一個運用歸納法解決問題的完整過程。在此基礎上，你還能提出什么問題呢？在剛才的研究過程中，從簡單的情況入手有什么好處？通過簡單情況歸納一般性結論，你積累了哪些經驗？2.活動目的引導學生在解決問題后回顧歸納方法，進一步提問或拓展延伸，將結論推廣到更一般的情況，進而深刻體會歸納方法的優勢，并在更大范圍的學習或解題經歷中反思歸納的一般思路和方法。3.實際效果學生得出規律后很自然地回答了問題（1）：當長方形中有100個點時，有多少個三角形？當長方形中有n個點時，有多少個三角形？同時得出答案：分別有202個、(2n+2)個三角形。這時教師提煉總結：當我們得到2n+2這個代數式后，任意給一個n的值我們都能得到三角形個數，反過來，已知三角形個數，也能得出點的個數，這就是用字母表達規律的意義。經歷了整個探索過程后，學生真切感受到問題（2）：從簡單情況入手更容易發現規律，便于觀察和猜想，同時經過師生共同討論歸納出探索規律的一般過程：特例研究—初步發現—提出猜想—驗證猜想—結論表達—拓展延伸。【第六環節（一）】鞏固提升1.活動內容32024的個位數字是多少？請參照上面活動的四個階段和解題過程完成。2.活動目的設計一個代數背景的探索規律問題，目的是通過解決不同類型的問題，讓學生感受到歸納法在問題解決中的廣泛作用，同時再一次鞏固問題解決的四個步驟及歸納策略的一般思路。3.實際效果學生經過獨立思考后，以小組為單位經歷理解問題—擬訂計劃—實施計劃—回顧反思等四個過程，歸納發現3n的個位數字是3，9，7，1依次循環，當n是4的整數倍時，個位數字為“1”，即32024的個位數字是1。n123456…3n392781243729…個位數字397139…【第六環節（二）】鞏固提升（可根據學生情況確定是否進行以下內容拓展，或作為課后探究的內容）1.活動內容你還能提出什么問題？可以試著改變長方形的形狀，例如，改為三角形、五邊形……再試一試。2.活動目的可研究在m邊形內取n個點分割三角形的個數問題。具體的研究方法與剛才長方形的情況相同，仍然用歸納法。11個點2個點3個點n個點(2n+1)個三角形…11個點2個點3個點n個點(2n+3)個三角形…猜想并驗證“在m邊形（m≥3且m是整數）中取n個點，可分割成(2n+m?2)個三角形。”通過更為深入的研究，建立了一個更一般化的數學模型，當給定多邊形邊數m及點的個數n時，所分割的三角形個數就隨之確定。五、教學反思歸納推理是一種思維過程，它并非表現在經驗結果上，而是體現在思考與解決問題過程中。學生只有掌握了歸納推理的一般思維步驟，才能明晰自己接下來應該思考什么，研究什么，解決什么。本節課一開始就提出了跨學科情境下富有挑戰性的數學問題，讓學