洪創教育精品文檔工作室洪創教育精品文檔工作室1.1空間向量及其運算知識梳理知識梳理1、空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2、空間向量的有關定理〔1〕共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內任意一點〔2〕共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點3、空間向量的數量積及運算律〔1〕數量積及相關概念①兩向量的夾角：兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，假設〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.〔2〕空間向量數量積的運算律：①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.知識典例知識典例題型一空間向量根本關系例1向量互為相反向量，＝3，那么以下結論正確的選項是〔〕A． B．為實數0C．與方向相同 D．＝3【答案】D【詳解】向量互為相反向量，那么模相等、方向相反..應選：D.穩固練習穩固練習1、以下說法正確的選項是〔〕A．任何三個不共線的向量可構成空間向量的一個基底B．空間的基底有且僅有一個C．兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D．基底中基向量與基底基向量對應相等【答案】C【解析】【分析】根據空間向量根本定理判斷選項可解.【詳解】項中應是不共面的三個向量構成空間向量的基底,所以錯.項，空間基底有無數個,所以錯.項中因為基底不唯一，所以錯.應選.2、在以下命題中：①假設、共線，那么、所在的直線平行；②假設、所在的直線是異面直線，那么、一定不共面；③假設、、三向量兩兩共面，那么、、三向量一定也共面；④三向量、、，那么空間任意一個向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個數為〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】①假設、共線，那么、所在的直線平行或重合；所以①錯；②因為向量是可以自由移動的量，因此即使、所在的直線是異面直線，、也可以共面；所以②錯；③假設、、三向量兩兩共面，因為兩平面的關系不確定，因此、、三向量不一定共面；所以③錯；④假設三向量、、共面，假設向量不在該平面內，那么向量不能表示為，所以④錯.應選：A.題型二空間向量的表示例2如圖，在平行六面體中，與的交點為，點在上，且，那么以下向量中與相等的向量是〔〕A． B．C． D．【答案】C解：因為，所以，在平行六面體中，，應選：C【點睛】穩固練習穩固練習1、在四面體中，點在上，且，為中點，那么等于〔〕A． B．C． D．【答案】B解：在四面體中，點在上，且，為中點，所以，即.應選：B.2、在四面體中，、分別是、的中點，假設記，，，那么______.【答案】解：在四面體中，、分別是、的中點，那么.故答案為：.題型三基底問題例3〔多項選擇〕設，，是空間一個基底，那么()A．假設⊥，⊥，那么⊥B．那么，，兩兩共面，但，，不可能共面C．對空間任一向量，總存在有序實數組(x，y，z)，使D．那么＋，＋，＋一定能構成空間的一個基底【答案】BCD【解析】【分析】根據基底的概念，對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，與都垂直，夾角不一定是，所以A選項錯誤.對于B選項，根據基底的概念可知，，兩兩共面，但，，不可能共面.對于C選項，根據空間向量的根本定理可知，C選項正確.對于D選項，由于，，是空間一個基底，所以，，不共面.假設＋，＋，＋共面，設，化簡得，即，所以，，共面，這與矛盾，所以＋，＋，＋不共面，可以作為基底.所以D選項正確.應選：BCD穩固練習穩固練習1、有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；③向量是空間的一個基底，那么向量也是空間的一個基底．其中正確的命題是〔〕A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；所以不正確．反例：如果有一個向量為零向量，共線但不能構成空間向量的一組基底，所以不正確．②為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；這是正確的．③向量是空間的一個基底，那么向量不共面，也是空間的一個基底；所以正確．應選：C．2、以下關于空間向量的命題中，正確的有______.①假設向量，與空間任意向量都不能構成基底，那么；②假設非零向量，，滿足，，那么有；③假設，，是空間的一組基底，且，那么，，，四點共面；④假設向量，，，是空間一組基底，那么，，也是空間的一組基底.【答案】①③④【解析】【分析】根據空間向量根本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析選擇.【詳解】對于①：假設向量，與空間任意向量都不能構成基底，只能兩個向量為共線向量，即，故①正確；對于②：假設非零向量，，滿足，，那么與不一定共線，故②錯誤；對于③：假設，，是空間的一組基底，且，那么，即，可得到，，，四點共面，故③正確；對于④：假設向量，，，是空間一組基底，那么空間任意一個向量，存在唯一實數組，使得，那么，，也是空間的一組基底，故④正確.故答案為：①③④題型四共面問題例4點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，都有，那么的值是()A．1 B．0 C．3 D．【答案】D【解析】試題分析：因，那么M、A、B、C四點共面，必有，解得，應選D．考點：空間向量的共面問題．穩固練習穩固練習1、正方體ABCD－A1B1C1D1中，假設點F是側面CD1的中心，且那么m，n的值分別為()A．，－ B．－，－ C．－， D．，【答案】A由于，所以.應選：A【點睛】2、設是平面內不共線的向量，假設A，B，D三點共線，那么____.【答案】【解析】【分析】由A、B、D三點共線、共線向量定理得關于的方程，即可得答案；【詳解】，又A、B、D三點共線，由共線向量定理得，，故答案為：.題型四數量積例4a、b是異面直線，且a⊥b，分別為取自直線a、b上的單位向量，且，那么實數k的值為___.【答案】6【解析】【分析】根據向量垂直數量積為0，可得關于的方程，解方程即可得答案；【詳解】由，得，∴，∴，∴.故答案為：6.穩固練習穩固練習如下圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，類比平面向量有關運算，如何求向量與的數量積？并總結求兩個向量數量積的方法.【答案】答案見解析【解析】【分析】運用向量的減法表示向量＝－，再由向量數量積的定義分別求·和·可得答案.【詳解】∵＝－，∴·＝·－·

＝|cos〈〉－|cos〈〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16.題型五異面直線夾角例5⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?AB、?BC的對角線都分別相互垂直且相等，假設AB＝a，求異面直線與AC所成的角.【答案】60°【解析】【分析】根據幾何體的特點，利用向量法求得，以及對應的模長，那么問題得解.【詳解】如下圖.因為故因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，故故又故.而，故可得，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC成60°角.穩固練習穩固練習如圖，三棱柱中，底面邊長和側棱長都等于1，，，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】．【分析】根據空間向量的夾角公式計算可得結果.【詳解】因為，因為，所以．所以異面直線與所成角的余弦值為．題型六線段長度求解例6：如圖，在的二面角的棱上有兩點，直線分別在這個二面用的兩個半平面內，且都垂直，，那么__________．【答案】【解析】，所以，所以，故填：.穩固練習穩固練習平行六面體，，，，，設，，；〔1〕試用、、表示；〔2〕求的長度；【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕根據空間向量的線性運算法那么，由此能求出結果．〔2〕由．，，由此能求出的長度．【詳解】解：〔1〕．〔2〕．，，，，設，，；，的長度為．題型七共面證明例7如圖，、、、、、、、、為空間的個點，且，，，，，，.求證：〔1〕、、、四點共面，、、、四點共面；〔2〕；〔3〕.證明：〔1〕∵，，∴A、B、C、D四點共面．∵，，∴E、F、G、H四點共面．〔2〕，∴.〔3〕.穩固練習穩固練習如圖，點M，N分別在對角線上，且．求證：向量共面．【答案】證明見解析.【分析】由題意，在上取點，使，從而可證，，從而可證向量，，共面．【詳解】證明：如圖，在上取點，使，又，，又，，同理，，故由、、共面可知，向量，，共面．穩固提升穩固提升1、以下命題中，假命題是〔〕A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比擬大小B．兩個相等的向量，假設起點相同，那么終點也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等【答案】D【詳解】A.向量是有向線段，不能比擬大小.真命題.B.兩向量相等：方向相同，模長相等.起點相同，那么終點也相同.真命題.C.零向量：模長為0的向量.真命題.D.共線的單位向量是相等向量或相反向量.假命題.應選：D.2、對于空間任意一點和不共線的三點，，，有如下關系：，那么〔〕A．四點，，，必共面 B．四點，，，必共面C．四點，，，必共面 D．五點，，，，必共面【答案】B【解析】【分析】根據題意，得到，判定，，共面，進而可得出結果.【詳解】因為，所以，即，根據共面向量根本定理，可得，，共面，所以，，，，四點共面．應選：B．3、在以下命題中：①假設向量共線，那么所在的直線平行；②假設向量所在的直線是異面直線，那么一定不共面；③假設三個向量兩兩共面，那么三個向量一定也共面；④三個向量，那么空間任意一個向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個數為〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】此題考查向量的知識點；對于①：根據兩向量共線定義知道，兩向量共線有可能兩向量所在的直線重合，所以此命題錯誤；對于②：兩個向量可以平移到一個平面內，所以此命題錯誤；對于③：假設三個向量兩兩共面，這三個向量有可能不共面，所以此命題錯誤；對于④：根據空間向量的根本定理知道，這三個向量要不共面才可以，所以此命題錯誤，所以選A4、設向量不共面,那么以下可作為空間的一個基底的是()A． B．C． D．【答案】C選項A,B中的三個向量都是共面向量，所以不能作為空間的一個基底.選項D中，，根據空間向量共面定理得這三個向量共面，所以不能作為空間的一個基底.選項C中不共面,故可作為空間的一個基底.應選：C.5、如圖，在空間四邊形ABCD中，〔〕A． B．1 C．0 D．不確定【答案】C【詳解】.應選：C.6、在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設,,,A1C1與B1D1的交點為E,那么=_____.【答案】-a+b+c【詳解】如圖,)=)=故答案為7、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，假設=，=，=，那么=_____．

【答案】【詳解】解：=(+)=+)=+=．故答案為：.8、假設，，,,假設不共面,當時,α+β+γ=____.【答案】3【解析】【分析】由,所以故有α+β+γ=3.【詳解】由,所以故有α+β+γ=3.故答案為39、如下圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點，用向量，，表示和【答案】；【解析】【分析】根據向量的加法、減法法那么及條件，先求出，，，，再結合圖形，運用向量加法，用空間向量根本定理表示出待求向量．【詳解】因為M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點，所以，，，所以======；======10、如下圖，在平行六面體中，，是的中點，是的中點，是的中點，點在上，且用基底表示以下向量.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕..連接〔1〕是的中點〔2〕是的中點〔3〕是的中點〔4〕點在上，且【點睛】此題考查空間向量根本定理，屬于根底題11、如圖，三棱柱中，底面邊長和側棱長都等于1，．〔1〕設，，，用向量，，表示，并求出的長度；〔2〕求異面直線與所成角的余弦值．【答案】〔1〕；；〔2〕.