廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)

量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.直線后-），+1=0的傾斜角為（）

A.士B.三C.”

4T

636

2.曲線y=e，在點(diǎn)（0,1）處的切線的斜率為（）

A.0B.1C.eD.-1

22

3.雙曲線工-2=1的左右焦點(diǎn)分別是6與0M是雙曲線左支上的一點(diǎn)，且|巾|=7,

916

則附用=（）

A.1B.13C.1或13D.3

4.已知等比數(shù)列｛《,｝滿足4+4=3,43+4=12,則生+&=，()

A.24B.36C.48D.108

3

5.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，滿足5,=》"-3,則勺=（）

A.%=3"B.an=23"C.%=63"D.an=6"

6.已知?jiǎng)t點(diǎn)A到直線6c的距離為（）

AGR2Gx/6D,逞

A?1D?1Lr?1

3333

7.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，斜率為左的直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，并且與拋

物線。交于43兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)M,與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N,若AF=2MN，則

k=（）

A.6B.亞C.±72D.±V3

8.過(guò)點(diǎn)（1M）可以做三條直線與曲線），=朧，相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.,0)B.C.W)ID.卜加

一、多選題

9.數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知S.=-2〃2+i5〃，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.｛q｝是遞減數(shù)列B.%=-23

C.當(dāng)〃>3時(shí)，?M<0D.當(dāng)〃=4時(shí)，S”取得最大值

10.若焦點(diǎn)在入軸上的雙曲線C:工+上=1的焦距為4,則下列結(jié)論正確的是（）

4-A2-2

A.2=1B.2=5

C.離心率是逑D.兩條漸近線的夾角為60

3

11.已知圓O:/+y2=1，點(diǎn)P是直線/：工-丁-2=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作圓。的切線Q4,

PB，切點(diǎn)分別為A和8,線段的中點(diǎn)為M,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.若PAPB=0，則這樣的點(diǎn)戶只有一個(gè)

B.四邊形A08P面積的最小值為1

C.直線A8恒過(guò)點(diǎn)

D.平面內(nèi)存在一定點(diǎn)。，使得線段QM的長(zhǎng)度為定值

12.正方體ABC。-ABCQ的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)尸為底面正方形ABCD上一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界）,

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線A4與平面AC"所成的角的正弦值為平

B.若點(diǎn)尸為耳。中點(diǎn)，點(diǎn)做為AQ中點(diǎn)，則直線CM和反夾角的余弦值為|

C.若/尸。。=30。，則依?尸G的最小值為上手

D.若點(diǎn)E在8。上，點(diǎn)尸在C8,上，則E尸的長(zhǎng)度最小值為*

三、填空題

13.已知a=（2,T,l）力=（-4,匹-2）,若人仍,則大的值為.

14.已知｛q｝為等差數(shù)列，4+4=10,%=4,則%=.

15.已知尸為橢圓江+*=1的右焦點(diǎn)，?是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為圓

43

（x-3）2+（y-3）2=l上一動(dòng)點(diǎn)，則歸例|+|尸產(chǎn)|的最大值是.

16.已知矩形A3。中AB=0,BC=1,將矩形沿著對(duì)角線8。對(duì)折，形成一個(gè)空間四

邊形當(dāng)AC'二包時(shí)，二面角4—8D—C的余弦值為.

3

試卷第2頁(yè)，共3頁(yè)

四、解答題

17.已知圓C經(jīng)過(guò)4(5,1),8(-1,一7)兩點(diǎn)，且圓心C在直線/:“+>1=0上.

(I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑵過(guò)點(diǎn)A的直線4被圓C截得的弦長(zhǎng)為8,求直線的方程.

18.已知數(shù)列｛叫滿足。用=2q+6-2"嗎=4.

⑴證明數(shù)列移｝為等差數(shù)列，并求見(jiàn)；

⑵求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S..

19.已知函數(shù)/(%)=/—3爐+3.

⑴判斷函數(shù)/(力的單調(diào)性，并求出/(x)的極值；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-??+3x在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.如圖，在四棱錐S-ABC￡>中，SA±CD,AD/IBC,ADLAB,SB=SD,AB=AD.

4,A

⑴求證：SA_L平面48CQ；

(2)若&1=45=40=1,8C=2,SN=/ISC(0</1<1),若平面8DN與平面S￡>C夾角的余

弦值為g,求實(shí)數(shù)2的值.

21.已知橢圓C:5十》1過(guò)點(diǎn)小，左焦點(diǎn)為產(chǎn)(-6,0),過(guò)點(diǎn)N(l,0)的宜線/與

橢圓C交于AB兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在直線x=4上，直線AM、5M、Ml的斜率分別為

%、右、%.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)之，使得匕+自=義/恒成立，如果存在，請(qǐng)求出力的值，如果不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)f(x)=or+lnr+l,awR.

(1)證明：當(dāng)時(shí),/(x)<0；

⑵若/(x)工肥2K恒成立，求。的取值范圍.

參考答案：

1.B

【分析】把直線的方程化為斜截式，求出斜率，根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，傾斜角的范圍,

求出傾斜角的大小.

【詳解】解：直線后-y+l=O即‘=￡*+1,故直線的斜率等于G，設(shè)直線的傾斜角等

于。，

則a,a＜乃，且tana=6，故a=?,

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】因?yàn)樗詙|z=c°=i,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線J=e'在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為1.

故選：B

3.B

【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.

【詳解】M是雙曲線《-亡=1左支上的一點(diǎn),

916

a2=942=3

所以』+從=25'解得：

c=5

由雙曲線定義可知1MHMI=2a=6,用=7,所以|M周二13.

故選：B.

4.C

【分析】通過(guò)"&="計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為0,

則見(jiàn)+4=不(6+/)，即豈”=如，同理^1二爐，

v7

a3+a4+a2

所以*二守，所以弩=9，

%+%4+。2123

所以4+線=48.

故選：C.

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

5.B

【分析】利用?求出｛為｝為首項(xiàng)為6,公比為3的等比數(shù)列，從而求出通

項(xiàng)公式.

【詳解】S“=13q「3①中，當(dāng)〃=1時(shí)，%=；36-3,解得4=6,

3

當(dāng)〃22時(shí)，S~=5%__3②，

式子①?②得，3叁3&…即4=3%T，

故｛&｝為首項(xiàng)為6,公比為3的等比數(shù)列，

故%=6-31=2.3".

故選：B

6.C

【分析】利用空間點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)锳(l,lJ),B(l,O,l),B(S(LT,l),所以朋=(0,1,0),

_\BA-BC\|-1|73

所以膽在8C上投影的長(zhǎng)度為d=L|^j=g=1-，

所以點(diǎn)A到直線BC的距離為加'丁=/I=乎.

故選：C

7.D

【分析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為尸，過(guò)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4,,根據(jù)拋物線的定義以

及三角形的性質(zhì)可得MM=2|/VV|,根據(jù)含30角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】當(dāng)A在第一象限時(shí)，

設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P,過(guò)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A,

因?yàn)镺M//PN,且。為尸”的中點(diǎn)，

所以O(shè)M為三角形PEV的中位線，即|用/|二|MV|,

所以AF=2MN=FN,又根據(jù)拋物線的定義卜耳二|A4'|,

所以MM=2|A/|=2|/VT|,

所以在直角三角形A4'N中，Z4%V=60%

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

所以ZA&=60,此時(shí)2=石,

根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)A在第四象限時(shí)，k=-G，

故選：D.

8.A

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出切線方程，過(guò)點(diǎn)（1M）,代入化簡(jiǎn)得。=（-片+Ao+l）e'。，將問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為該方程有三個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為?"=&、，.??），'=5+1”，

???川處的切線斜率無(wú)=（毛+1）/，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為尸伉+1）鏟（%-毛）+不。”，

代入點(diǎn)（1,。）的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)得a=（f：+與+l）e",

,:過(guò)點(diǎn)（1M）可以作三條直線與曲線C:y=疣'相切，

???方程0=（-*+%+1）*有三個(gè)不等實(shí)根.

令/（力=（一/+1+1”，求導(dǎo)得到廣（力=（*-]+2）汽

可知/（力在（-8,-2）上單調(diào)遞減，在（-2,1）上單調(diào)遞增，在（1,+向上單調(diào)遞減，

如圖所示，

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方

程的根的問(wèn)題，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及

等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

9.ABD

【分析】當(dāng)〃=1，求出處,當(dāng)〃22時(shí)，4.=S“-S”T，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A,令〃=10判斷選項(xiàng)

B;令72=4判斷選項(xiàng)C;根據(jù)s”的表達(dá)式求解最值，判斷選項(xiàng)D.

【詳解】當(dāng)〃=1,《=$=—2x12+15x1=13,

當(dāng)〃N2時(shí)，S“T=_2(〃_1)2+15(〃_1)

則二S“-S〃_]=-4〃+17,?>2,則〃=1滿足題意，故。“=-4〃+17,故選項(xiàng)A正確；

須=-4乂10+17=-23,故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)〃=4時(shí)，《=1>0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)〃=?時(shí)，S.取最大值，但是“cN,所以當(dāng)〃=4時(shí)，S“取最大值，故選項(xiàng)D正確;

4

故選：ABD

10.ACD

【分析】首先根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求；I，即可求離心率和漸近線方程，即可判斷選項(xiàng).

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】由題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:VJ1,其中2r=4

4-22-/1

即/=4—2,b2=2—A?即/=/+從=6-24=4,得2=1,故A正確;

此時(shí)C：,_y1,離心率e=3==2石,故C正確;

a63

雙曲線的漸近線方程為丁=±2>±）%=土與

aV3

所以其中一條直線的斜率為包，傾斜角為30,所以兩條漸近線的夾角為60,故D正確.

3

故選：ACD

11.ABD

【分析】對(duì)于A：設(shè)出切線方程，根據(jù)直線與圓相切列式，得到關(guān)于斜率的二次方程，利用

韋達(dá)定理可得答案；對(duì)于B：通過(guò)計(jì)算得到床邊形A慚=-1，求出的最小值即可;

對(duì)于C：求出以。戶為直徑的圓的方程，與已知圓做差可得公共弦所在直線方程，根據(jù)方程

可得定點(diǎn)；對(duì)于D：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M的軌跡，如果點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓即可.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)P（p,p-2）,過(guò)點(diǎn)尸作圓。的切線，切線斜率不存在時(shí)顯然不滿足題意，

設(shè)切線方程為尸女（x-p）+p-2,

即kx-y-pk+p-2=01

則卜整理得（〃2-1*+2〃（2-〃）%+（2-〃）2-1=0

則方程的根為小，

又尸AP8=0，所以攵/，AM>8=T

所以（2-2）解得〃=1,即若PA/8=0,則這樣的點(diǎn)尸只有一個(gè)，A正確;

P“T

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)于B：S四…P=2sA0P=2xlx|OA|x|AP|==加*1

要四邊形A08P面積的最小值為1,則|OP|最小，

當(dāng)|。耳為點(diǎn)。到直線x-y-2=0距離時(shí)最小，

此時(shí)|。”=專=應(yīng),

所以四邊形AOBP面積的最小值為點(diǎn)二1=1，B正確；

對(duì)于C：由于直線A8為以0P為直徑的圓與圓O:/+y2=i的公共弦，

設(shè)P(p,p-2),則以O(shè)P為直徑的圓的方程為卜-,=P2-1

即f-pX+VTp—ZjynO,結(jié)合J+V=],

兩圓方程做差可得px+(p-2)y-l=o,

變形為P(x+y)-2y-l=0,令

即直線AB恒過(guò)點(diǎn)

對(duì)于D：由選線C得直線的方程為px+(p-2)y-l=0,即2y+l=〃(x+)，)

又直線OP的方程為(〃—2)x—=0,即〃(x—y)=2x

兩式相乘得(2y+l)〃(x-y)=2卬(1+y),

當(dāng)〃工0時(shí)，(2y+l)(x-j)=2x(A+y),整理得

當(dāng)P=0時(shí),直線A8與直線。尸的交點(diǎn)為10,-5,滿足

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

故直線A5與直線OP的交點(diǎn)軌跡方程為1-+即為點(diǎn)M的軌跡方程，故

存在點(diǎn)使得線段QM的長(zhǎng)度為定值乎，D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：①兩相交圓的方程做差可得公共弦所在直線方程;

②是否存在一定點(diǎn)Q，使得線段QM的長(zhǎng)度為定值，即求點(diǎn)M的軌跡是否是圓.

12.BCD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)線面角的向量求法進(jìn)行計(jì)算求解即可；對(duì)于B,根據(jù)異面直線夾角的

向量求法進(jìn)行計(jì)算求解即可；對(duì)于C,先求出P點(diǎn)軌跡，再根據(jù)向量的運(yùn)算律將所求向量進(jìn)

行轉(zhuǎn)化，結(jié)合定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離最小值求法進(jìn)行計(jì)算求解；對(duì)于D,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求異面

直線的距離，結(jié)合其計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】對(duì)于A,對(duì)于正方體4BC。-A&GA，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,O,O),c(o,1,0),A(0,0,1),4(1,1,1),

則做=(OJl),AC=(-l,l,0),A.=(-1,0,1),

設(shè)平面AC"的法向量為〃=(x,y,z),

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

n-AC=-x+y=0,、

所以，令x=l,則

〃?AD、=-x+z=0

所以直線A4與平面AC"所成的角的正弦值為卜os〃，做卜品32瓜..A

=—f=—T==--,故A

及xQ3

錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如圖所示，

CMAF

所以直線CM和■夾角余弦值為gsCM,A尸卜1____2

CM^AFA/65/6-3?故B正確;

--X一

22

因?yàn)椤_L平面A8CO,DPu平面48cO,所以。〃_LDP,

又因?yàn)?尸口。=30。，所以「。=立，

3

所以尸在以。為圓心，立為半徑的圓上（正方形A8CO內(nèi)的部分）,

3

取的中點(diǎn)。,

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

則PBPG=P8(PC+CC)=PBPC==隔一；,

由于］邳函-曰邛_曰,所以PQ2+(茅用_1=4-^5

則產(chǎn)區(qū)?尸G的最小值為土二叵，故c正確；

3

對(duì)于D,若點(diǎn)E在8D上，點(diǎn)尸在C4上，

則E廠的長(zhǎng)度最小值即異面直線8。和C4的距離，

設(shè)加=(〃,b,c)為直線8。和eq的法向量，

又因?yàn)?8=(1,1,0),Cg=(1,0,1),3g=(0,0,1),

m-DB=a+b=0

則令a=T,Mm=(-1,1,1),

m-CB1=a+c=0

\BB.?mi.R

所以異面直線3。和CBi的距離為L(zhǎng)_^_l==叱，

\m\G3

即EF的長(zhǎng)度最小值為立，故D正確.

3

故選：BCD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問(wèn)題的常見(jiàn)方法有:

(1)定理法，通過(guò)相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；

(2)空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；

(3)轉(zhuǎn)化法，通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長(zhǎng)度或角度轉(zhuǎn)化求解.

13.2

【分析】利用空間向量平行的坐標(biāo)計(jì)算法則求解即可.

【詳解】因?yàn)閍/彷，所以勸，

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

2=-42

又因?yàn)椤?(2,T,l),b=(-U,-2),所以卜】=Zr,解得.A=--

2.

l=-22x=2

故答案為：2

14.6

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，因可求解.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，4+4=%+%=10,又％=4,

所以％=10—4=6.

故答案為：6

15.10

【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義，轉(zhuǎn)化1PM+|尸產(chǎn)利用數(shù)形結(jié)合，即可

求|PM|+|P尸|的最大值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)F'為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)C為圓的圓心，

點(diǎn)尸為圓外的點(diǎn),I尸M的最大值為|PC|+1,|P尸|+|"1=4,即|尸耳=4-|尸產(chǎn)1,

|PM|十|PF|的最大值為|「（-仍廣|+51。尸|+5,

如圖，當(dāng)MCRP四點(diǎn)共線時(shí),『”成立，

C（3,3）,r（-l,0）,|cr|=7（3+1）2+32=5,

所以|PM|+|PP|的最大值為5+5=10.

故答案為：10

16.-/0.75

4

【分析】在△ABO和△8CO中，分別過(guò)點(diǎn)AC'作AM_L8￡）,CN_L8。，根據(jù)

AC=4M+MN+NC,平方，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，代入求解即可得到二面角余弦值.

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】在△A8O和△BCD中，分別過(guò)點(diǎn)AC'作AM_L8DCN_L8O,

由=代入/6+心=648=歷5￡>=1,

得AM=,所以DM=\IAD2-AM2=J1一：=,

同理，CN=旦,BN=—，所以MN=包,

333

設(shè)二面角A—8D—C'大小為。(04。<兀)，

則AM與NC'夾角為兀-。，

由AC'=AM+MM+NC；，

平方得，AC1=AM2+MN2+NC2+2AM-MN+2AM-NC+2MN-NC，

221223

所以一=—+—+—+0+2x—COS(JI-。)+0解得cos。=-

33333949

所以二面角A-BD-C的余弦值為3:

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問(wèn)題的常見(jiàn)方法有:

(1)定義法，通過(guò)相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；

(2)空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；

(3)轉(zhuǎn)化法，通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長(zhǎng)度或角度轉(zhuǎn)化求解.

17.⑴(不可+(y+3)2=25

(2)x=5?￡7x-24y-l1=0

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】（1）根據(jù)圓心所在直線設(shè)出圓心坐標(biāo)，結(jié)合圓過(guò)的點(diǎn)列出方程求解圓心進(jìn)而求圓的

方程；

（2）先求出圓心到直線的距離，再分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況求解方程即可.

【詳解】（1）因?yàn)閳A心c在直線/：x+y+i=o上，

所以設(shè)C（4—4—1）,

因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A（5,l）,8（—1,-7）兩點(diǎn)，

所以（5-4+（1+〃+1）2=（4+1）2+（一°-1+7）2,

解得a=2,即。（2,-3）,半徑r=J（5—2）2+（l+3『=5,

所以圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2），（y+3）2=25

（2）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A的直線4被圓C截得的弦長(zhǎng)為8,

所以C到直線2。距離d==

當(dāng)直線，。斜率不存在時(shí)，直線x=5滿足題意；

當(dāng)直線4斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為丁=攵（工-5）+1,即--y-5攵+1=0,

|2&+3-5&+1|7

所以d=~門(mén)1=3,解得女=三，

"2+124

此時(shí)直線方程為y=（（x—5）+1,gp7x-24y-Il=0.

綜上所述，直線％的方程為x=5或7x—24y—11=0

18.（1）證明見(jiàn)解析，可=（3〃-1）,2"

（2）S.=（3〃-4）-2川+8

【分析】（1）根據(jù)題意構(gòu)造等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的概念證明并求解通項(xiàng)公式即可；

（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】（1）因?yàn)?=24+6-21所以符噬+3,

所以爵喙=3為定值，

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

所以｛墨｝是首項(xiàng)為母=2,公差為3的等差數(shù)列，

所以祟=2+3（〃-1）=3〃一1,所以4=（3〃-1）.2"

（2）由（1）知，（=（3〃一1>2”,

所以S.=2X2+5X22++（3?-1）.2\

所以2S〃=0+2x2?++（3?-4）.2w+（3n-l）-2n+1,

所以-S”=4+3X（22++2”）一（3〃一1>2向

4-9"41

=4+3XT^2__（3〃_]卜2""=_（3〃_4>2"“一8,

所以邑=（3-4）.2田+8

19.⑴/⑺在（-與0）和（2,+co）單調(diào)遞增，在（0,2）單調(diào)遞減，極大值3,極小值T

⑵（―⑼

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)直接求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系求解單調(diào)性和極值即可；

（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，參變分離后利用基本不等式求最值進(jìn)而求得答案.

【詳解】（1）由/（X）=丁-3^+3,則7（x）=3f-6x=3x（x-2）,

當(dāng)xvO或」>2時(shí),用%）>0,/（力單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<2時(shí)，r（x）<0,/（X）單調(diào)遞減，

所以/（x）極大值為/（0）=3,極小值為/（2）=-1,

所以“X）在（—,0）和（2,一）單調(diào)遞增，在（0,2）單調(diào)遞減，極大值3,極小值-1

（2）由題意得，^（X）=/（X）-OK2+3x=A3-（3+a）x2+3x+3,

所以/（工）=3工2-2（3+辦+32。對(duì)工￡（0,4<?）恒成立，

則2a《3x+5—6對(duì)x?0”）恒成立，

因?yàn)?x+5—622小工3—6=0,當(dāng)且僅當(dāng)3x=：,即x=l時(shí)等號(hào)成立，

所以2?40,即所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（7,0]

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

20.(1)證明見(jiàn)解析

(2)1

【分析】(1)取中點(diǎn)E,連接SE,AE,由線面垂直可證得BD/面”號(hào)進(jìn)而可得SA工BD,

再利用線面垂直即可證得結(jié)果；

(2)由(1)可知，SA_L平面A6CO,且AD1AB,以A為原點(diǎn)，ADAB,AS所在的直

線為X，￥z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和平面S0C的一個(gè)法向

量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】(1)取8。中點(diǎn)E,連接5￡4號(hào)

因?yàn)镾B=SD,AB=AD,則SE工BD,他_13。,且跖^^人后=￡：,

又SE,AEu面所以AD/面1s4E,S4u而&4E.則SAIRD,

又因?yàn)镾AJ_8,BOcC0=O,8RCDu平面ABC。，所以SA_L平面A8CD

(2)由(1)可知，SA_L平面A5CD,且ADSAB,以A為原點(diǎn)，ADAB,AS所在的直

線為％￥z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镾4=A8=AO=1,8C=2,SN=/ISC(0<；1<1),

所以4(0,0,0),8(0,1,0),0(1,0,0)所(0,0,1),C(2J,0),

SC=(2,l,-l),DC=(l,l,0),SD=(l,0,-l),

所以SN=(244，),N(2；M,l—/i),BD=(l,T,0),BN=(2；l,/lTl-4)

設(shè)平面SDC的一個(gè)法向量而一(西g,2,),

mDC=x.+y.=0

則''令再=1，可得》=T，Z]=1,所以歷

mSD=xi-zl=0

設(shè)平面BDN的一個(gè)法向量為n=(x,,y2,z2),

="必=。，令％=],可得必=鵬=3

則

nBN=-22+y2-(2-l)+z2(1-2)=01一九

ULII111—32

所以〃=--

I1-4

因?yàn)槠矫?0V與平面SDC夾角的余弦值為;,

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

./［、［1—34

lx（T）+lx「~

1-A11

所以|cosm,〃|=?解得：4=方或2=0,

1-3A

1-2

21.（!）—+/=1

4

(2)A=2,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)直接根據(jù)題目條件列方程組求解即可;

(2)設(shè)出宜線/的方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算4+為，勺，發(fā)現(xiàn)他們之間的關(guān)系進(jìn)

而可得實(shí)數(shù)2的值.

【詳解】(1)由己知得/+/=,解得/=4,6=i,

a2-b2=3

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+丁=1；

4

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線/的方程為：y=k(x-l),A(s，yJ,8(毛,％)，/(4,6)，

y=Z:（x-1）

消去y得(1+止卜2-8公X+軟2—4=0,

聯(lián)立X.

—+y2=1

14

8k24k2-4

所以X]+工2=T7而'R2=y7/

川A+k_%（y-m）（1-4）+（%-加）（辦-4）

'x\~49-4（5-4）（占-4）

,出+）’2%—4（X+）'2）T〃（N+毛）+8〃?

-4（^+x,）+16

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

-l)x2+女(工2-1)為一4［左(王一1)+&(々-1)］一〃?(丹+x2)+8w

X\X?-4(%)+Xj)+16

2例，G-(m+5&)(X］+%)+8&+

rw-4(±+X2)+16

2M4公一4)8公(〃?+52)

+8%+8加

1+4公1+4公

4k2-432k2匕

---------y+16

\+4kr21+4公

8m(1+35)#

12(1+3&2)-3

tnm

又k、=---=—

34-13

要勺+&=/1%恒成立，即勺—g=g（2—/l）=0恒成立,

所以;1=2,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，A1，亨，81，-苧

..7，n2，n2〃?.mm,此時(shí)K+&=2k%,

k\+k、=)----+--------=——，匕=----=—

'21-41-43r4-13

綜上所述：存在實(shí)數(shù)4=2,使得K+&=義付恒成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（百方）（七,%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，注意△的判斷;

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為芭+占，*/2（或凹+為，乂為）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

22.（1）證明見(jiàn)解析

答案第16頁(yè)，共18頁(yè)

(2)(-oo,2]

【分析1(1)將題意轉(zhuǎn)化為證明m(x)=T+hu+lW0,直接求導(dǎo)證明即可.

(2)根據(jù)題意將不等式進(jìn)行參變分離，得到。4犬上竺二1在(0,+力)上恒