第1頁/共1頁海口市2025屆高三摸底考試數學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據一元二次不等式化簡集合，即可根據交運算求解.【詳解】由于，故，故，故選：D2.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據向量的共線的坐標關系，即可根據充要條件的定義判斷.詳解】由，，若，則，解得，故“”是“”的充要條件，故選：C3.已知函數，則的單調遞減區間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求導，根據導數為負即可求解.【詳解】的定義域為0,+∞，，令，解得，故單調遞減區間為0,1，故選：B4.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷與的大小關系，然后計算即可.詳解】由題可知，，故故選：A5.海口市作為首批“國際濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨特的生態環境，海口市某中學一研究性學習小組計劃利用5月1日至5月5日共5天假期實地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個濕地公園，每天考察1個，其中對美舍河濕地公園的考察安排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（）A.24種 B.48種 C.98種 D.120種【答案】B【解析】【分析】先排特殊，再一般，最后按照計數原理計算即可.【詳解】先安排美舍河濕地公園的考察時間，方式有種；再安排剩下四天的行程有，所以一共有種安排方法.故選：B6.如圖，在平面四邊形中，與交于點，且，，，剪去，將沿翻折，沿翻折，使點與點重合于點，則翻折后的三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，可得兩兩垂直，再補形成長方體，借助長方體求出球的表面積.【詳解】依題意，在三棱錐中，，因此三棱錐可以補形成以為共點三條棱的長方體，該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，設球半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C7.已知是拋物線上的動點，則點到直線的距離的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設點的坐標為，利用點到直線的距離公式結合二次函數的最值可求得點到直線的距離的最小值.【詳解】設點的坐標為，則點到直線的距離為，當且僅當時，取最小值.所以，點到直線的距離的最小值是.故選：D.8.已知定義在上的函數，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據的奇偶性以及單調性，即可將問題轉化為，即可求解.【詳解】記，則，故為的奇函數，又，因此為上的單調遞增函數，因為，由可得，進而，故，解得，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某校為了解學生的身體狀況，隨機抽取了50名學生測量體重，經統計，這些學生的體重數據（單位：千克）全部介于45至70之間，將數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中的值為0.04B.這50名學生體重的眾數約為52.5C.該校學生體重的上四分位數約為61.25D.這50名學生中體重不低于65千克的人數約為10【答案】ABC【解析】【分析】利用頻率之和為1可判斷選項A，利用頻率分布直方圖中眾數的計算方法求解眾數，即可判斷選項B，由分位數的計算方法求解，即可判斷選項C，利用頻率即可計算個數求解D.【詳解】由，解得，故選項A正確；50名學生體重的眾數約為，故選項B正確；因為體重不低于60千克的頻率為0.3，而體重在,的頻率為，所以計該校學生體重的分位數約為，故選項C正確．體重不低于65千克的頻率為，所以這50名學生中體重不低于65千克的人數為人，故選項D錯誤；故選：ABC．10.函數的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（）A.B.C.關于對稱D.將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數【答案】AC【解析】【分析】根據可得，代入最高點可得，進而求出函數的表達式，即可判斷AB，代入驗證即可判斷C，根據平移即可求解D.【詳解】由圖象可知，，解得，，又，所以，即，結合，可知，得的表達式為，故A正確，B錯誤，對于C，由于，即的圖象關于對稱，故C正確；對于D，函數的圖象向右平移個單位長度可以得到函數，故D錯誤．故選：AC．11.在平面直角坐標系中，已知兩定點，，直線，相交于點，且直線與直線的斜率之積為，其中，．下列選項正確的是（）A.當時，動點的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓，且除去，兩點B.當時，動點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且除去，兩點C.當且時，動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且除去，兩點D.當，時，動點的軌跡為曲線，過點且傾斜角為的直線與曲線交于，兩點，則【答案】ABD【解析】【分析】設點，顯然，，，然后根據不同選項的情況判斷即可.【詳解】設點，顯然，，當時，得且，，所以有動點的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓，且除去，兩點，故選項A正確；當時，有，顯然因為，，所以動點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且除去，兩點，故選項B正確；當且時，顯然，，，得當，即時，得動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且除去，兩點；當，即時，得動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且除去，兩點，故選項C錯誤；當，時，得動點的軌跡為曲線的方程為，過點且傾斜角為的直線方程為設，聯立方程，，化簡得得利用韋達定理可知所以，故選項D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______．【答案】3【解析】【分析】利用指數的運算法則計算即可.【詳解】由題可知故答案為：313.記的內角，，的對邊分別為，，，已知，且，則______．【答案】1【解析】【分析】根據正余弦定理邊角互化即可求解.【詳解】由以及正弦定理可得，故，即，故.故答案為：.14.已知函數，若存在唯一的負整數，使得，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】當時，由可得出，令，其中，利用導數分析函數在上的單調性與極值，數形結合可得出實數的取值范圍.【詳解】當時，由可得，則，令，其中，則，當時，令，可得，列表如下：增極大值減且，，，，如圖所示：要使得存在唯一的負整數，使得，即，只需，即，因此，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為數列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，兩個等式作差推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求出數列的通項公式；（2）求出數列的通項公式，利用分組求和法可求得.【小問1詳解】解：因為為數列的前項和，且，當時，則有，解得；當時，由可得，上述兩個等式作差可得，整理得，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，.【小問2詳解】解：因為，所以，.16.如圖，在正四棱柱中，，點滿足，是的中點．（1）證明：過、、三點的平面截正四棱柱所得的截面為梯形；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設平面交棱于點，利用面面平行的性質可得出，根據求出的值，可得出，由此可證得結論成立；（2）利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得二面角的正弦值.【小問1詳解】證明：在正四棱柱中，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設平面交棱于點，設，則、、，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，因為，，因為，設，即，所以，，解得，所以，，即且，因此，過、、三點的平面截正四棱柱所得的截面為梯形.【小問2詳解】解：因為，則、、、，，，設平面的法向量為m=x,y,z，則，取，則，，所以，，易知平面的一個法向量為n=0,1,0所以，，所以，，因此，二面角正弦值為.17.制定適合自己的學習計劃并在學習過程中根據自己的實際情況有效地安排和調整學習方法是一種有效的學習策略．某教師為研究學生制定學習計劃并堅持實施和數學成績之間的關系，得到如下數據：

成績分成績分合計制定學習計劃并堅持實施沒有制定學習計劃合計50（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“制定學習計劃并堅持實施”和“數學成績高于分”有關聯？（2）若該校高三年級每月進行一次月考，該校學生小明在高三開學初認真制定了學習計劃，其中一項要求自己每天要把錯題至少重做一遍，做對為止．以下為小明堅持實施計劃的月份和他在學校數學月考成績的校內名次數據：月考時間月初月初次年月初次年月初次年月初時間代碼月考校內名次參考數據：，．（ⅰ）求月考校內名次與時間代碼的線性回歸方程；（ⅱ）該校老師給出了上一年該校學生高考（月初考試）數學成績在校內的名次和在全省名次的部分數據：校內名次全省名次利用數據分析軟件，根據以上數據得出了兩個回歸模型和決定系數：模型①模型②在以上兩個模型中選擇“較好”模型（說明理由），并結合問題（ⅰ）的回歸方程，依據“較好”模型預測小明如果能堅持實施學習計劃，他在次年高考中數學成績的全省名次（名次均保留整數）．（參考數據：，，）附：（ii），其中．（i）對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．【答案】（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能認為“制定學習計劃并堅持實施”和“數學成績高于分”有關聯（2）（ⅰ），（ⅱ）模型②較好，全省名次預測為【解析】【分析】（1）計算卡方，即可與臨界值比較作答，（2）根據最小二乘法即可求解回歸方程，利用決定系數的大小比較即可選擇模型②，代入方程即可求解名次.【小問1詳解】零假設：制定學習計劃并堅持實施和數學成績高于分沒有關聯因為，依據小概率值的獨立性檢驗認為不成立，即認為“制定學習計劃并堅持實施”和“數學成績高于120分”有關聯【小問2詳解】（ⅰ），，，．回歸直線方程為，模型②較好，由于模型②與模型①相比較，模型②決定系數大于模型①，因此擬合效果更好，由于回歸直線方程為，當六月初月考時，，小明的月考校內名次預測值為，故省內排名預測為.18.已知函數．（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）若有兩個不同的零點，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求導，即可求解，（2）求導，對進行討論，即可根據導數的正負確定函數的單調性，（3）將問題轉化為，構造，即可利用導數確定函數單調性求解.【小問1詳解】當時，，則，故，故y=fx在處的切線方程為【小問2詳解】，當時，令f′x>0，解得或，令f′x<0故此時在單調遞增，在的單調遞減，當時，f′x≥0在0,+∞上恒成立，故此時在當時，令f′x>0，解得或，令f′x<0故此時在單調遞增，在的單調遞減，當時，，故在的單調遞減，在單調遞增，當時，令f′x>0，解得，令f′x故此時在的單調遞減，在單調遞增，【小問3詳解】，令，則，記，則，當時，，當時，，故?x在單調遞增，在單調遞減，且，當時?x>0恒成立，要使有兩個零點，則由兩個交點，故，解得19.對于二次曲線，我們有：若是曲線上的一點，則過點與曲線相切的直線方程為．已知橢圓，，動圓，點是與在第一象限的交點．（1）求橢圓的離心率；（2）過點作動圓的切線，經過橢圓的右焦點，求與滿足的關系式；（3）若，直線與，均相切，切點在上，切點在上，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，利用橢圓離心率公式計