試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省衡水中學2023-2024學年高二下學期第二次綜合素養評價數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若函數，則（

）A．0 B． C． D．2．設曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．3．函數在上是（

）A．偶函數、增函數 B．奇函數、減函數C．偶函數、減函數 D．奇函數、增函數4．如圖是函數的導函數的圖象，下列結論正確的是（

）

A．在處取得極大值 B．是函數的極值點C．是函數的極小值點 D．函數在區間上單調遞減5．函數在區間的極大值、極小值分別為（

）A．， B．，C．， D．，6．已知直線與拋物線：（）交于，兩點，為坐標原點，且，交于點，點的坐標為，則拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．7．若關于的不等式恒成立，則實數的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．8．某種生命體M在生長一天后會分裂成2個生命體M和1個生命體N，1個生命體N生長一天后可以分裂成2個生命體N和1個生命體M，每個新生命體都可以持續生長并發生分裂.假設從某個生命體M的生長開始計算，記表示第n天生命體M的個數，表示第n天生命體N的個數，則，，則下列結論中正確的是（

）A． B．數列為遞增數列C． D．若為等比數列，則二、多選題9．設函數，若恒成立，則實數的可能取值是（

）A．5 B．4 C．3 D．210．已知數列，記的前項和為，下列說法正確的是（

）A． B．是一個等差數列C． D．11．已知為雙曲線的左、右焦點，為平面上一點，若，則（

）A．當為雙曲線上一點時，的面積為4B．當點坐標為時，C．當在雙曲線上，且點的橫坐標為時，的離心率為D．當點在第一象限且在雙曲線上時，若的周長為，則直線的斜率為12．設，且，則下列關系式可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．若函數的導函數為，且滿足，則．14．已知等差數列中，，則數列的前8項和等于.15．拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內容是：如果函數在閉區間上連續，在開區間內可導，那么在區間內至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點”，根據這個定理，判斷函數在區間上的“拉格朗日中值點”的個數為.16．已知函數，關于的不等式有且只有四個整數解，則實數的取值范圍是．四、解答題17．已知數列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.18．已知函數在和處取得極值．(1)求的值.(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．19．已知函數，其中參數．(1)求函數的單調區間；(2)設函數，存在實數，使得不等式成立，求a的取值范圍．20．已知橢圓的右焦點為，且過點.(1)求C的方程；(2)若過點的直線與交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值.21．已知函數.(1)若函數有兩個零點，求的取值范圍；(2)設是函數的兩個極值點，證明：.22．已知函數．(1)當時，求函數在處的切線方程；(2)討論在區間上的零點個數．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A2．B3．B4．C5．D6．A7．B8．B9．CD10．BD11．ABD12．AC13．/14．7215．216．由，可得，令，解得，令，解得，的遞增區間為，遞減區間為，故的最大值為，當趨于時，趨于；當趨于時，趨于，且，故當時，，當時，，函數的圖象如圖，

①當時，由不等式，得或，當時，，有無數多個整數解；當時，其解集為的子集，不含有整數解；所以不合題意；②當時，由不等式，當得，得，則解集為，整數解有無數多個，不合題意；③當時，由不等式，得或，當時，解集為，無整數解；當時，因為不等式有且僅有四個整數解，又，，，，且，又因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以四個整數解只能為、、、，所以，即．所以實數的取值范圍為.故答案為：.17．(1)(2)【解析】（1）解：且，有，當時，有，兩式相減得，當時，由，適合，所以.（2）由（1）知，，所以.18．(1)，.(2).【解析】（1）由，可得，由在和處取得極值，可得，，解得，.代入檢驗，可得，令，解得，.所以時，，函數單調遞增，時，，函數單調遞減，時，，函數單調遞增，所以是的極大值點，是的極小值點，符合題意.所以，.（2）由（1）可得，在單調遞減，在單調遞增.要使對任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值.令，顯然在單調遞減，在單調遞增，所以.所以，解得或.所以c的取值范圍為.19．(1)答案見解析(2)【解析】（1），（1）當時，，，的減區間是．（2）當時，，的減區間是．（3）當時，，，的增區間是，，的減區間是．綜上，當時，減區間是；當時，增區間是，減區間是.（2），，因為存在實數，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．20．(1)(2)【解析】（1）橢圓的右焦點為，則橢圓的半焦距為，由于，則橢圓的方程變為：，將點的坐標代入，，解得：或（舍去），得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，直線l的斜率不為0，則設直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設，，，因為，當且僅當，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.21．(1)(2)證明過程見解析.【解析】（1），該方程有兩個不等實根，由，所以直線與函數的圖象有兩個不同交點，由，當時，單調遞減，當時，單調遞增，因此，當時，，當，，如下圖所示：所以要想有兩個不同交點，只需，即的取值范圍為；（2）因為是函數的兩個極值點，所以，由（1）可知：，不妨設，要證明，只需證明，顯然，由（2）可知：當時，單調遞增，所以只需證明，而，所以證明即可，即證明函數在時恒成立，由，顯然當時，，因此函數單調遞減，所以當時，有，所以當時，恒成立，因此命題得以證明.【點睛】關鍵點睛：常變量分離構造新函數，利用新函數的單調性求解證明是解題的關鍵.22．(1)(2)答案見解析【解析】（1）當時，，其定義域為，，所以，，函數在處的切點坐標為，切線斜率為，因此，函數在處的切線方程為，即．（2）令，則．因為，則，則．當時，則，故，從而在上單調遞減；而，故當