課程基本信息課例編號2020QJ07SXRJ058學科數學年級七年級學期第一學期課題實際問題與一元一次方程（七）——行程問題教科書書名：數學七年級上冊出版社：人民教育出版社出版日期：年月教學人員姓名單位授課教師胡波平北京師范大學附屬實驗中學指導教師黃婉華北京市西城區教育研修學院教學目標教學目標：1．熟練掌握時間、速度、路程之間的基本關系；并能通過劃關鍵詞，畫線段圖，列表格等方式不重不漏地找出行程問題中數量之間的相等關系。2.在具體問題的分析與解決的過程，經歷利用字母表示未知量，借助圖表尋找量與量之間的關系過程，體會“方程”是解決實際問題的有效模型．3.在問題的解決中，體會數學學習的過程與方法，提升對數學問題學習與研究的興趣.教學重點、難點：能通過數形結合的方式不重不漏地找出行程問題中隱蔽的數量關系，設恰當的未知數，建立方程模型。教學過程時間教學環節主要師生活動復習引入1、行程問題三個基本量：速度、時間、路程。2、三個量的基本關系及變形：路程=速度×時間速度=路程÷時間時間=路程÷當知時間、速度、路程中的兩個量時，可以通過基本關系及變形關系求出剩余的一個量。3、練習：已知速度為a千米/小時，時間為5小時，則路程為___5a_______已知時間為2小時，路程為m+30千米，則速度為____m+30已知速度為30千米/小時，路程為2x-15千米，則時間為_2例題講解例：小剛和小強分別從A,B兩地同時出發，小剛騎自行車，小強步行，沿同一條路線相向勻速而行，出發后2h兩人相遇，相遇時小剛比小強多行進24km,相遇后0.5h小剛到達B地，兩人的行進速度分別是多少?相遇后經過多少時間小強到達A地?分析步驟：首先我們要讀題，在讀第一遍題時，要邊讀邊圈畫題中的關鍵詞語，通過讀題我們得到的信息有：小剛和小強分別從A,B同時出發相向而行；這是行程問題中的相遇問題；行進過程分為兩個階段：相遇前和相遇后。接下來，我們進行第二遍讀題，并借助線段圖，將題目中小剛和小強的行進過程以及量與量之間的數量關系直觀地呈現出來。如圖，用一條線段表示A,B之間距離，小剛由左向右騎行，小強由右向左步行，在C處相遇?！皠蛩佟保簝扇怂俣热潭疾蛔?。小剛相遇前速度=小剛相遇后速度①“2h后相遇”：同時到達同一地點.時間信息：小剛相遇前時間=小強相遇前時間=2h。位置信息：小剛相遇前路程+小強相遇路程=A、B兩地距離②“相遇時小剛比小強多行進24km”。小剛相遇前路程-小強相遇前路程=24km③“相遇后0.5h小剛到達B地”。小剛相遇后路程=小強相遇前路程④也有同學可能通過看圖，在“小剛相遇后路程=小強相遇前路程④”的基礎上得到“小剛0.5h所行路程=小強2h所行路程”,進而得到“小剛的速度=小強的速度的4倍。”此處“小剛的速度=4小強的速度?！焙汀靶傁嘤龊舐烦?小強相遇前路程④”的含義是相同的，用其中一個，不能重復使用。在此我們用圖形上最直接得到的路程關系。“小剛相遇后路程=小強相遇前路程④”含有未知量的相等關系有：小剛相遇前速度=小剛相遇后速度①小剛相遇前路程+小強相遇路程=A、B兩地距離②小剛相遇前路程-小強相遇前路程=24km③小剛相遇后所行路程=小強相遇前所行路程④小剛相遇前路程=小剛相遇前速度×2⑤小強相遇前路程=小強相遇前速度×2⑥小剛相遇后路程=小剛相遇后速度×0.5⑦找到相等關系后，需要我們將所有量表示出來，同樣借助表格梳理清楚。不難看出時間都已知，將其填入表格。表格中呈現的未知量有六個，還有一個未知量是A、B兩地距離。我們只能在其中選一個設為未知數，利用含未知量的相等關系將其它未知量用含該字母的式子表示出來。設誰為未知數呢？先考慮問什么就設什么，即設速度，小剛的速度比小強的大，先考慮設小的速度即小強的速度。（方法1）若設小強的速度為xkm/h，我們要將它看成已知量去表示別的未知量。從速度與速度的關系看，我們找出的相等關系中，含小強速度的，只能通過小強相遇前自己三個基本量的關系，來表示其它量。即“小強相遇前路程=小強相遇前速度×2⑥”得小強相遇前路程為2xkm，用了的相等關系做好標記，再通過小強與小剛路程的關系表示與小剛有關的未知量。比如用“小剛相遇前路程-小強相遇前路程=24km③”得小剛相遇前路程為2x+24km，從路程與路程或距離的關系來看，與“小剛相遇前路程”有關的相等關系“小剛相遇前路程+小強相遇前路程=A、B兩地距離②”，但這個相等關系中“A、B兩地距離”未知，沒法表示。因此仍然用小剛相遇前自己三個基本量之間的關系“小剛相遇前路程=小剛相遇前速度×2⑤”得小剛相遇前的速度為2x+242km/h，再利用“小剛相遇前速度=小剛相遇后速度①”得相遇后的速度也為2x+242km/h，利用“小剛相遇后路程=小剛相遇后速度×0.5從整理表格，列方程的過程中，我們發現沒有用到等量關系②，小剛相遇前路程+小強相遇路程=A、B兩地距離②題目也沒有問A、B兩地距離，那我們在后面的分析中就不關注這個等量關系了。（方法2）設小強的速度為xkm/h，依次根據相等關系⑥④⑦①⑤根據“小剛相遇前路程-小強相遇前路程=24km”③列方程4x小結：對于表格中的6個未知量，在設小強的速度為xkm/h的情況下，還剩5個未知量，我們可以通過①③④⑤⑥⑦六個相等關系中任意5個來將這些未知量用含有x的式子表示出來，剩下的一個列方程。進而解方程求出未知數x的值，那么所有未知量就能求出來。因此實際問題中有幾個未知量，就需要幾個含未知量的相等關系，才能列方程求出這些未知量的值。如果增加考慮“由于本題，關于小剛的信息更多，可設小剛的速度為xkm/h。依次根據相等關系①⑤⑦③⑥填表。根據“小剛相遇后所行路程=小強相遇前所行路程”④得方程0.5x=2x-24解：設小剛的速度為xkm/h，則小剛相遇前行駛路程為2xkm，小強相遇前行駛路程為2x-24km，小剛相遇后的路程為0.5xkm，解方程0.50.5-1.5x=-24x檢驗x=16小強的速度為0.5相遇點距離A的距離為2×16=32(km)所以小強相遇后到達A的時間為32÷4=8(h)答：小剛的速度為16km/h，小強的速度為本節小結現在我們小結一下本節課學習的主要內容。本節課我們主要學習了列方程解行程問題。（1）列方程解行程問題的關鍵是理清行程中的每個過程，線段圖能直觀地反應研究對象的運動過程，便于找出路程之間的相等關系。（2）相等關系主要分兩類：題目每句話中隱含的時間、路程、速度信息以及研究對象每個運動階段的基本關系。（3）有幾個未知量就要找出幾個含這些未知量的相等關系。（4）表格能幫助我們清晰的整理出題目所有涉及的量，注意按對象、階段、基本量來列表。在借助圖表尋找數量之間的關系時，要設恰當未知量，用合適的相等關系列方程．這樣可使所列的方程相對簡單，接下來的解方程的過程也簡捷些。（5）列方程解決實際問題的難點是從實際問題到列出方程這個過程，下面我們一起總結這個過程的步驟和方法。思考練習練習：一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發2小時后，一輛轎車從甲地出發去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度快30千米每小時，但轎車行駛一個小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了13，按步驟進行分析：首先我們要讀題，在讀第一遍題時，要邊讀邊圈畫題中的關鍵詞語，通過讀題我們得到的信息有：卡車和轎車都從甲地出發，轎車追卡車；這是行程問題中的追及問題；本題涉及卡車和轎車，卡車全程運動狀態沒有變化。而轎車運動狀態分為兩個階段：故障前和故障后。第二遍讀題，逐句分析，畫線段圖，“一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發2小時后，一輛轎車從甲地出發去追這輛卡車”“轎車的速度比卡車的速度快30千米每小時”轎車故障前的速度=卡車速度+30千米每小時①“但轎車行駛一個小時后突遇故障”“修理15分鐘后”“又上路追這輛卡車，但速度減小了13轎車故障后的速度=轎車故障前速度×23結果用兩個小時才追上這輛卡車”追上：同一時間到達同一地點。用線段圖呈現。時間信息：兩輛車又都行駛了兩小時。位置信息：兩輛車的終點相同，由于全程起點相同，所以能得到全程兩車路程相等。即轎車的全部路程=卡車的全部路程而卡車全程運動狀態一致，而轎車的全路程由兩段組成，前面的信息也是分段給的，我們將該相等關系換一個說法，得：轎車故障前的路程+轎車故障后的路程=卡車的全部路程③特別的：卡車全程，轎車故障前后都有自己的基本關系?？ㄜ嚨娜柯烦?卡車速度×時間卡車全程時間為：2+1+14+2=即卡車的全部路程=卡車速度×214④

轎車故障前路程=轎車故障前速度×1轎車故障后路程=轎車故障后速度×2檢查相等關系漏、重。所有等量關系：轎車故障前的速度=卡車速度+30千米每小時①轎車故障后的速度=轎車故障前速度×23轎車故障前的路程+轎車故障后的路程=卡車的全部路程③卡車的全部路程=卡車速度×214④

轎車故障前路程=轎車故障前速度×1轎車故障后路程=轎車故障后速度×2前三個，由題目關鍵信息得到，由于時間均為已知量，所以主要是速度和路程的關系，也沒有能互相推得的信息。后三個是由時間、速度、路程基本關系得到得相等關系。涉及轎車故障前后路程、速度以及卡車路程，六個未知量，六個相等關系。應該沒有重復或漏掉的相等關系。設未知數，列表格將所有量表示出來：運動過程轎車和卡車兩個對象，可以用縱向來表示；轎車運動過程分故障前后，在轎車下位縱向表示。時間、速度、路程三個基本量放在橫向。先講已知得時間填入。六個未知量中，設其中一個為未知數x，先考慮問什么，設什么。（方法1）設卡車速度為xkm/h。利用相等關系①②④⑤⑥根據“轎車故障前的路程+轎車故障后