高考數學解答題常考公式及答題模板

題型一：解三角形

1、正弦定理：—=—=—=2/?(火是AABC外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

..a

sinA=——

a=21?sinA2R

.b

變式①:b=27?sinB變式②:sinBD=——變式③：a:b:c=sinA:sinB:sinC

2R

c=2RsinC

.?c

sinC=——

a2=b2+c2=2bccosA

2、余弦定理:b2=a2+c2-2accosB變式:

c2=a2+b2-2abeosC

3、面積公式:

射影定理:

5、三角形的內角和等于180°,BPA+B+C=TI6、誘導公式：奇變偶不變，符號看象限

奇：一的奇數倍

sin(A+B)=sinCcos(A+3)=-cosC2

利用以上關系和誘導公式可得公式：<sin(A+C)=sin6和cos(A+C)=-cosB

sin(B+C)=sinAcos(B+C)=-cosA偶：巴的偶數倍

②we*

7、平方關系和商的關系：①疝12。+8$2。=1

COS。

8、二倍角公式：①sin2e=2sin，cos，

2?l+cos26.2八l-cos26

②8s26=cos26—sin20=2cos2^-1=l-2sin20n降幕公式:cos0=-,---s-i-n---=---------

22

2tan?

③tan2。

1-tan20

8、和、差角公式:

[sin(?+4)=sinacos°+cosasin(3cos(a+￡)=cosacos夕一sinasin夕

[sin(a-p)=sinacos'-cosasin§cos(tz-/7)=cosrzcos尸+sinasin尸

tana+tan，

tan(?+0=

1-tanatan/?

③

tana-tan，

tan(a-,)=

1+tanatanP

自a2+b2

+

9、基本不等式：?<~~~(",bwR+)(a,bGR)@ab<-------(a,bGR)

第1頁共24頁

注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題中用到，比如求AABC面積的最大值時。

的答題步驟：

①抄條件：先寫出題目所給的條件；(但不要抄題目)

②寫公式：寫出要用的公式，如正弦定理或余弦定理；

③有過程：寫出運算過程；

④得結論：寫出結論；(不會就猜一個結果)

⑤猜公式：第二問一定不能放棄，先寫出題目所給的條件，然后再寫一些你認為可能考到的公式，如均值不等式或面積公式等。

例1；(2016天津文)在415。中，內角4、B、C所對應的邊分別為a、b、c,已知asin23=&sinA.

(1)求B；

(2)若cosA=；,求s加C的值.

解；已知asin25=sinA…山噌幽圜鮑酬渺T

由正弦定理&=3=一，=2R

一寫出襄用的譽式

sinAsinBsinC

sin26=2sin￡cos，—WOAttO

nsinA-2sinBcosB=6sinBsinA

?「sinAw0,sinBw0

=>2COSB=A/3=>cosB=

2

又，；0<B<冗故3=工、—寫出一

6?

(2)已知cosA=；,A+B+C=/r

……嵋跚趣目的暇脾|饕圈的疊式

例2：(2013江西理)在口48。中，角4、B、。所對的邊分別為a、6、c,已知cosC+(cos/-75sin/)cosB=0.

(1)求角B的大小;

(2)若a+c=l，求6的取值范圍.

解：(1)已知cosC+(cos/一后sinZ)cos5=0一”喇趣El的暇米眇T

=>-cos(A+B)+cosAcosB-V3sinAcosB=0

=-cosAcosB+sinAsinB+cosAosB-^3sinAcosB=0……寫冊緡騫的建舞班

nsinAsinB-V3sinAcosB=0

,/sinA0=>sinB=V3cosB=>tanB=電且=也

cosB

O<B<TT=>B=^.***"*1fml飴jft

(2)由余弦定理，得

b1=a2+c2-2accosB……鷺幽嬰JU的譽式

=『+J_2"0……耳幽善罷的遑?M

=(a+c)2—3ac

10、不常用的三角函數公式（很少用，可以不記哦人0人）

（1）萬能公式:

e1-tan2^c9

2tan—2tan—

①sin<9=-----與②cose=------4③tanO=_____2_

1+tan2^l+tan2^l-tan2^

222

（2）三倍角公式:

①sin3。=3sin6>-4sin36>②cos36>=4cos36>-3cos6>③tan38="Jtan。

3tan26>-l

題型二：數列

1、等差數列2、等比數列

①定義：皿=夕

①定義：an+i-an=d

an

nm

②通項公式：4="I+（n—X）d=>a=a+（n—m）d=>d=—②通項公式：an=。1夕"一1=。〃=amq~

nmn

③前〃項和：S“=〃"i+若[d（大題小題都常考）③前"項和：s"=皿二幺）（常考）

1-鄉

S,=〃（■廣）（小題常考）S,=%二也（可以不記哦人0人）

i-q

④等差中項：若A5,C成等差數列，則25=A+C④等比中項：若成等比數列，則爐=AC

⑤性質：若加+"=p+q,則。機+⑤性質：^m+n=p+q,貝!J4,

S［,n=l

3、a,與S”的關系:注意：該公式適用于任何數列,常利用它來求數列的通項公式

5n-5?_1,n>2

4、求數列通項公式的方法

（1）公式法：

①若已知冊+i-a〃=d和％=。，則用等差數列通項公式=G]+5-1）4

②若已知2±l_=g和%=。，則用等比數列通項公式/=“應"-1

(2)。“與S”的關系：

國-s1,n>2

例3:數列｛%｝滿足%+3a2+32%+…+3"T%=/,求冊.

解：設S”=。［+3。2+3,3+…+3"一匕”='，貝！I

(1)當九=1時，。［=5］=；

1n2w_1

(2)當〃22時，Sn=ax+2,a2+3a3+---+?>-an_x+3an①

S“_i=。［+3a2+3?。3■1--^3"2al=---②

①-②，得

3"-匕=T.擊("-2)--WIT4與S,的網

(3)構造法：形如%+1=04+q(p,q為非零常數)構造等比數歹U%M+；1=M4+；1)

例4s已知數列｛冊｝滿足an+l=2an+l,且％=1?求冊，

解；已知an+l—2an+1>且a1=1

構造%+2=2a+2)??“?嘴4地數列

a

=n+\+2=2Q〃+22=>an+i=2an+2

??/=i……糊舞曲來的式子切8式眈皺，求跑未如敷見

冊+1+1=2(an+1)=>""I?=2

%+1

令bn=%+1=>仿="1+1=2

=導=2=-｛"｝

(4)累加法；形如冊=G.T+/(〃)，且了5)可用求和，可用累加法

例5；已知數列｛冊｝中，%=1,為=為_1+2〃，求冊.

解：已知冊=冊_1+2〃

=4~an-\=21rl

a2-?i=2x2

。3—。2=2x3

。4一。3=2x4

%-。4=2*5"…"蠲蒯右SMS?

斯-1-許-2=2(〃-1)

an-an-\=2n

累加后，得

cin—=2x(2+3+4+5+。一+n)

=2X(1+2+3H---Fn)-2

_n(n+1)?…喇阿了?式1+2+3+…+"=^^

=2x----------22

2

=n2+n-2

(5)累乘法：形如馬-=/(〃)，且/5)可用求積，可用累乘法

4T

例6：已知數列｛%｝中，a,=1,馬-='求明?

an-ln+1

解：已知'=n

an-\n+\

“2_2CI3_2包，冊_]_n-1an_n

n'a_n+1

ax3124'%5an_2nx

累乘后，得

第4頁共24頁

(6)取倒數法：形如a“=%T5,g為非零常數)則兩邊同時取倒數

p%+q

例入已知數列g｝滿足4=%且丁=1,求即

2味+1

%1:1=2-+1=211

解：已知an=

2%……等閾嬲周晡取倒數

+1%?n-i。“-1

口，=2

,溺足萼差財的定文

4磯

令〃=，-,貝!］仿=。_=1

a,ai

bn-bnx=2=d=>｛么｝為等差數列

5、求數列前〃項和S”的方法

(1)公式法：除了用等差數列和等比數列前〃項和的公式外，還應當記住以下求和公式

①…+???+〃-@21+22+23+---+2n=2n+1-2

②1+3+5+…+(2〃—1)=M@12+22+32+--+H2=-n(n+l)(2n+l)

6

3333

③2+4+6H----i-2n=n2+n@1+2+3H---bn=—n(n+l)

2

③/1——-j==-J-3n+k-4n')

yjn+k—yink

④

(2n-l)(2n+l)4-

例8；設等差數列｛“”｝的前"項和為S”，且§4=432，%=2為+1,

(1)求數列｛a〃｝的通項公式:

(2)設，=」一，求數列｛耳｝的前初項和

M%+1

解：(D已知S4=4S2，a2n=2an+l

工i+的曰，…+(fd

……一意嬰先寫齦晏州)的公式，再地

4x3

S4—4t/jH——-d-4tZj+6d

=4〃]+6d=4(2。]+d)①

2x1

S2=20[H———d—2。]+4

a2n=%+(2〃—l)d=2(?1+(〃-l)d]+1②皿…先寫冊秀式。期地

由①②式，解得囚=1,"=2

=>〃“=%+(ji—V)d=l+(n—1)-2=2n—1.皿“?先寫冊會貳，

1/1

(2)由(1)知；bn=——…?揶演廚I心松就遮命回去眥E

anan+\(2n-l)(2n+l)22n-X2n+l

=>〃=4+b2+b3+---+bn_i+br

(3)錯位相減法：形如“冊=等差x等比”的形式可用錯位相減法

19：設數列滿足。i=2,"I-%=32,

(D求數列｛冊｝的通項公式：

(2)令bn=n%、求數列｛2｝的前"項和G，

解；⑴已知.=24+1-冊=33,則……一窟嬰強寫幽題同履的箱僻

。2一%=3?2

o3—。2=3?2?

。4—。3=3-23

斯—“I=3-2〃T

%=3。2”

累加后，得

23

an+l-ax=3(2+2+2+…+2〃)

。2(1-2")…?遢用蟒蛾數列求歌哈或=仁心

=3-----------S”

1-21-9

=-6(l-2n)=6-2n-6

=>4+1=6.2"-4=>%=6-2”-1-4.H肺雷的智歌丁的翻8。〃

(2)由(1)知：乩=〃〃一=6〃?2"-1-4〃=3"?2"-4”

T=b

nl+b2+b3+…+一

=(3-l-21-4-l)+(3-2-22-4-2)+(3-3-23-4-3)+--+(3n-2n-4n)

=3Q-21+2-22+3-23+??■+?-2M)-4(l+2+3+---+n)

t己=1-21+2-22+3-23+---+(K-1)2M-1+M-2H①

2%=l.22+2.23+3.24+...+(〃-1).2〃+小2川②……等式網迪網畸索嫉等比端分的疊墩

(4)分組求和法：

例10：已知等差數列｛4｝滿足=2,。2+。4=8.

(1)若ai，%，即成等比數列，求m的值；

⑵設"=4+2冊》求數列回｝的前"項和S”.

解：(1)已知/=2,做+。4=8皿??詞踞趣|0腑fr翻噬解

由冊=9+(n—X)d,得a2+〃4=3]+d)+(〃i+3d)=2。]+4d=8

n〃i+2J=4=d=l

=>??=?1+(n-l)d=n+l,…T瞞胡儂蚣式KM?式？再蒯tt

9、基本不等式:

(l)\[ab<a+^(a,beR+)②ab/"”](a,beR+)③abW。十匕(a,bGR)

2I<2J2

注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題的時候用到，有時還用于證明數列不等式。

，由答題步驟：

ti

①抄條件：先抄題目所給的條件；（但不要抄題目）

\②寫公式：寫出要用的公式，如等差數列的通項公式或前〃項和；

i

，③有過程：寫出運算過程；

④得結論：寫出結論；（不會就一個結果）

\⑤猜公式：第二問一定不能放棄，先寫出題目所給的條件，然后再寫一些你認為可能考到的公式。

I

AoA數列題型比較難的是放縮法

題型三：空間立體幾何

1、線線關系

①線線平行：（很簡單，基本上不考）

②線線垂直：先證明線面垂直，從而得到線線垂直。（常考）

方法：（力利用面與面垂直的性質，即一個平面內的一條直線垂直于兩面交線必與另一平面垂直;

（而）利用線與面垂直的性質，即直線同時垂直于平面內的兩條相交直線。

例11：如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD是ND4B=60°且邊長為a的菱形，側面尸AZ）是等邊三角形,

且平面尸AZ）垂直于底面ABCD,求證:AD±PB.

證明：取AD的中點為G,連接PG,BG,如圖所示:“…噂蒯峨一定嬰有魄明

APAD是等邊三角形=>PG_LAT>□哪條件國班來

2、線面關系

①線面平行：只需證明直線與平面內的一條直線平行即可。方法：將直線平移到平面中，得到平面內的一條直線，只需證明它

們互相平行即可。一般要用平行四邊形或三角形中位線的性質證明。（最常考，一定要掌握鴨）

②線面垂直：只需證明直線與平面內的兩條相交直線都互相垂直即可。（最常考，一定要掌握鴨）

方法：（力利用面與面垂直的性質；

（而）直線同時垂直于平面內的兩條相交直線。

例12：如圖所示，在長方體ABCD-AiBiGDi中，AA產AD=Q,AB=2a,E、F分別為C1D1、A1D1的中點,

(1)求證：DE□平面BCE；

(2)求證：AF□平面BDE.

證明；(1)已知AAi=AD=。，AB=2a,E為CiDi的中點

:.DE=EC=42a^DE2+EC2=CD2

DELEC①

又,/BC_L面=BC_LDE②

BC,石Cu面5CE,且5Cc￡C=C

而DE(Z面3CE=>DE_L面BCE.

(2)連接EF,連接AC交BD于點M如圖所示：

E哩A?

<AM=-AC=>EF//AMn四邊形AMEF為平行四邊形

2=

A,A?

3、面面關系

①面面平行：只需證明第一個平面的兩條相交直線與第二個平面的兩條相交直線互相平行即可（很少考哦）。

②面面垂直：只需證明有一條直線垂直于一個平面，而這條直線又恰好在另外一個平面內即可。（常考）

例13：如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VABL平面ABC,△VAB為等邊三角形，AC_LBC且AC二BC,O,

M分別為AB,VA的中點.求證：平面MQC_L平面VAB.

由答題模板：

①作輔助：需要作輔助線的一定要在圖中作出輔助線，如取的中點為民

②有說明：需要在圖上連線時一定要有說明，如連接43兩點如圖所示；

③抄條件：寫出證明過程，并將條件圈出；

④再說明：說明線與面的關系，如A5u面A5C,而瓦1U面A5C；

⑤得結論：得出結論，證畢；

⑥寫多分：第二問不要不寫，能寫多少寫多少，哪怕是抄題目的條件。

文科常考錐體體積公式：曝體=gs/z

理科常考二面角的余弦值：COSa=-^-其中為和沅為兩個平面的法向量

\n\\m\

點到平面的距離公式(理科)：設平面的法向量為而，A為該平面內任意一點，則點P到平面的距離為：d=L上

1?1

"人總之第二問一定要多寫，多寫多得分

例14：(2018全國□卷文)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且NBAP=NCDP=90。.

(1)證明：平面PAB□平面PAD；

Q

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°?且四棱錐P-ABCD的體積為屋求該四棱錐的側面積,

證明：(1)ZBAP=ZCDP=9(T局榭避園峋已知的

ARVAP□

CDVPD

又???ABHOnAB±PD□……施tag的條俳圜跑來

AP,PDu面PAD,HADcPD=D

而AB(Z面PAO……奧明浦幽與畫的關索

nA3_L面B4￡)

又???ABu面=>面_L面.

(2)過P點作PM_LA。，垂足為點M,如圖所示:

45_1面24￡)=＞鉆，尸加□

PM1AD□

=>PM±^ABCD

設AB=a?貝！］AD=-/2a,PM=----a

2

yp-ABCD=^-Sh=^-ABADPM=^a3

題型四：概率與統計

1、莖葉圖

①平均數：元=!（%]+為+%+—+工〃）

n

②極差=最大值-最小值注：極差越小，數據越集中

③方差：S2」扃_幻2+（巧_幻2+...+（/_幻2]注：方差越小，數據波動越小，越穩定

④標準差：S=J—[(Xj—%)?+(0一九產+???+(%”—%)?]

Vn

例16：（2018全國III卷理）某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的

生產方式，為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人。第一組工人用

第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如

下莖葉圖：

第一種生產方式第二種生產方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數處并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人

癡埴入下面的刷胖美.

超過m不超過m

第一章生產方式

第二章生產方式

（3）根據（2）中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500,0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

解；（1）工作效率的高低看兩種生產方式的平均工作時間，分別為,

第一種生產方式;Xx=ix（68+72+76+---+92）=84（min）

第二種生產方式；X2=—x（65+65+66+???+90）=74.7（min）

2、頻率分布直萬圖

①眾數：最高小長方形的中間值

②中位數：小長方形面積之和為0.5的值

③頻率=概率=組距、喘二小長方形的面積

④所有小長方形的面積之和等于1

⑤平均數：每個小長方形的中間值x相應小長方形的面積，然后將所得的數相加

例17；（2019全國III卷文）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下實驗,將200只小鼠隨機

分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液,每只小鼠給服的

溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試

驗數據分析得到如下直方圖：

皴率/組距

頻率/組距

0.30................

S20

0.20

15

0.165

0.1

0.0

0.0505

o1.52.53.54.55.56.57.5百分比02.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘町百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P（C）的估計值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區間的中間值為代表）.

解：（1）頻率分布直方圖的小矩形面積表示概率.

由題意，得

a+0.2(JH-0.15=0.70na=0.35

根據“各小矩形的面積之和等于1”，得

0.05+6+0.15+0.35+0.20+0.15=1n20.10

3、線性回歸方程

口答題模板：

第12頁共24頁

（1）設方程：先假設回歸方程為a=嬴+2;

（2）抄公式：寫出公式5=烏---------，a=y-bx（不管題目有沒有給，都要寫出來哦人o人）

以5

Z=1

（3）求各值：求出①元=’（西+尤2+%3+…,②y=,（%+為+'3+…+%）...沒時間計算就把式子列出來

③2%由=西力+%2y2+%3y3+…+/力，④2%；=靖+巖+君+…+片沒時間計算就把式子列出來

i=li=l

（4）得施：代入公式求出A和4;

（5）寫方程：寫出回歸方程；

（6）寫多分；第二問也不難，一般給你％讓你估計y的值，直接帶公式OK!A0A

例18：（2014全國H卷理）某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代號t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85,25.9

（1）求y關于f的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該

地區2015年農民居民家庭人均純收入.

附；回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為；

一切

3=衛-------------,a=y-bi

i=i

解,（1）設線性回歸方程為￡=&+&.則……匏魄爨跟闞歸；ar疆

,1

，=亍X(1+2+3+4+5+6+7)=3.86

y=1x(2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.30

力=1x2.9+2x3.3+3x3.6+4x4.4+5x4.8+6x5.2+7x5.9=134.4

Z=1

=12+22+32+42+52+62+72=140

i=l

1344—7x3.86x4.3018?140八_

=5=—----=0.51,a=y-Z?f=4.30-0.51x3.86=2.33

140-7x3.86235.7028

故線性回歸方程為：y=0.51（+2.33.,

FT?4-+FSd1JJt冊bJA1S卬--frB士AA

第13頁共24頁

題型五：圓錐曲線

1、橢圓(以焦點在％軸上的為例)

①定義：PF+PF=2a⑥準線：x=+—

l2c

⑦通徑：|AB|=當

⑧長軸長：=

⑨短軸長：忸］聞=2。

⑤焦距：出局=2c

例20：(2018北京卷文)已知橢圓M:《+《=l(a>匕>0)的離心率為逅，焦距為2后，斜率為左的直線/

與橢圓M有不同的交點A,B.

(1)求橢圓M的方程；

⑵若求|AB|的最大值；

(3)設P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D,若C,D和

0(-］,；)共線，求北

解：(1)已知橢圓的標準方程為鳥+耳=1……醬如腱蹦圜的方做

ab

”『J，忻廠2〔=2c=2及?噓寫疊式祈幽他

=>c=A/2,a=V3

?/a2=b2+c2=b=yja2-c2=1……先蜀咨或明曜

故橢圓的方程為［+/=L

(2)由題意，設AB所在的直線方程為>=丘+)，A?,%),B(x2fy2),則“…一建鶴蹬

y=x+b

%2=>4%2+6b%+3戶一3=0

——+y2=1

3

b3bc3b2-3

Xi+x--,xx--……嘴溝g疆

2a2x2a4

A=b2-4ac=(6b)2-4-4(3b2-3)=-12Z?2+48>0=>0<Z?2<4“…嘴磔颼與纏眥柳帆如

卻=Jl+r.J(西+%2)2—4畫巧=V2J(-y)2-4-3Z?^-3=^~1^2

14+6…皿鬻魄癖式

因此當且僅當/=0即Z,=0時，|陰的值最大,且|蝴m,x=n.

⑶設CgM，則％否_(_2).+2

.PA所在的直線方程為：y-0=k(x+2)ny=」一(％+2)

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西+2

y=/^(x+2)

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3

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C(—,

4x1+7'4西+7

同理可得.0(—學士

4X2+74%2+7

又???Q、C、。在同一直線上，因此

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7』+12