章末質量評估(六)(時間:120分鐘分值:150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的)1.在□ABCD中,若AD=(2,8),AB=(-3,4),則AC= ()A.(-1,-12) B.(-1,12) C.(1,-12) D.(1,12)答案:B2.在△ABC中,若A=π3,BC=3,AB=6,則C= (A.π4或3π4 B.3π4 C.答案:C3.若四邊形ABCD滿意AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,則該四邊形肯定是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形答案:C4.(2024年新高考全國Ⅰ卷)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點,則AP·AB的取值范圍是 ()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)答案:A5.若點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量AB在CD方向上的投影為()A.322 B.3152答案:A6.在△ABC中,若AB=BC=3,∠ABC=60°,AD是邊BC上的高,則AD·AC的值等于 ()A.-94 B.94 C.答案:C7.在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C的對邊,假如2b=a+c,B=30°,△ABC的面積為32,那么b等于 (A.1+32 B.1+3 C.2+答案:B8.如圖,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,與O相距15nmile的C處.若甲船以35nmile/h的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向25nmile的B處的乙船,則甲船到達B處須要的時間為()A.12hB.1h C.32hD.2h答案:B二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.若O是平行四邊形ABCD對角線的交點,則 ()A.AB=DC B.DA+DC=DB C.AB-AD=BD D.OB=12(DA+BA答案:AB10.在△ABC中,若a=52,c=10,A=30°,則B可能是 ()A.135° B.105° C.45° D.15°答案:BD11.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,則使λ1λ2<0成立的a可能是 ()A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1)答案:AC12.定義平面對量之間的一種運算“☉”:對隨意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下列說法正確的是 ()A.若a與b共線,則a☉b=0B.a☉b=b☉aC.對隨意的λ∈R,有λa☉b=λ(a☉b)D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2答案:ACD三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中的橫線上)13.在△ABC中,若3a2-2ab+3b2-3c2=0,則cosC的值為1314.若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,則|AB|=25.15.(本題第一空2分,其次空3分)已知在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,D為AB延長線上一點,連接CD,若BD=2,則△BDC的面積是152,cos∠CDB=1016.太湖中有一個小島,沿太湖有一條正南方向的馬路,一輛汽車測得小島在馬路的南偏西15°的方向上,若汽車沿馬路行駛1km后,測得小島在南偏西75°的方向上,則小島到馬路的距離是36km四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程)17.(10分)在△ABC中,a=3,b=26,B=2A.(1)求cosA的值;(2)求c的值.解:(1)因為a=3,b=26,B=2A,所以在△ABC中,由正弦定理得3sinA=所以2sinAcosAsinA=263(2)由(1),知cosA=63所以sinA=1-cos因為B=2A,所以cosB=2cos2A-1=13所以sinB=1-cos在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=539,所以c=a18.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,|OA|=2|AB|=2,∠OAB=2π3,BC=(-1,3)(1)求點B,C的坐標;(2)求證:四邊形OABC為等腰梯形.(1)解:設點B的坐標為(xB,yB),則xB=|OA|+|AB|·cos(π-∠OAB)=52,yB=|AB|·sin(π-∠OAB)=3所以OC=OB+BC=（52,32）+(-1,3)=（32,所以點B的坐標為（52,32）,點C的坐標為（32,(2)證明:因為OC=（32,332）,AB=（12所以OC=3AB,所以OC∥AB.因為BC=(-1,3),所以|BC|=2.因為|OC|≠|AB|,|OA|=|BC|=2,所以四邊形OABC為等腰梯形.19.(12分)在四邊形ABCD中,已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),BC∥DA.(1)求x與y的解析式;(2)若AC⊥BD,求x,y的值以及四邊形ABCD的面積.解:如圖所示.(1)因為AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),所以DA=-AD=(-x-4,2-y).因為BC∥DA,BC=(x,y),所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.(2)由題意,得AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3).因為AC⊥BD,所以AC·BD=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.由(1)可知x=-2y,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-1.當y=3時,x=-6,此時,BC=(-6,3),AC=(0,4),BD=(-8,0),所以|AC|=4,|BD|=8,所以S四邊形ABCD=12|AC||BD|=16當y=-1時,x=2,此時,BC=(2,-1),AC=(8,0),BD=(0,-4).所以|AC|=8,|BD|=4,S四邊形ABCD=16.綜上可知x=-S四邊形ABCD=16.20.(12分)如圖,某海輪以60nmile/h的速度航行,在點A測得海面上油井P在南偏東60°,向北航行40min后到達點B,測得油井P在南偏東30°,海輪改為沿北偏東60°的航向再行駛80min到達點C,求P,C間的距離.解:由題意知AB=40nmile,∠BAP=120°,∠ABP=30°,所以∠APB=30°,所以AP=40nmile,所以BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos120°=402+402-2×40×40×（-12）=402所以BP=403nmile.因為∠PBC=90°,BC=80nmile,所以PC2=BP2+BC2=(403)2+802=11200,所以PC=407nmile,即P,C間的距離為407nmile.21.(12分)在邊長為1的菱形ABCD中,A=60°,E是線段CD上一點,滿意|CE|=2|DE|,如圖所示,設AB=a,AD=b.(1)用a,b表示BE.(2)在線段BC上是否存在一點F,滿意AF⊥BE?若存在,確定點F的位置,并求|AF|;若不存在,請說明理由.解:(1)依據題意,得BC=AD=b,CE=23CD=23BA=-2所以BE=BC+CE=b-23a(2)結論:在線段BC上存在使得4|BF|=|BC|的一點F,滿意AF⊥BE,此時|AF|=214求解如下:設BF=tBC=tb,則FC=(1-t)b(0≤t≤1),所以AF=AB+BF=a+tb.因為在邊長為1的菱形ABCD中,A=60°,所以|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos60°=12因為AF⊥BE,所以AF·BE=(a+tb)·（b-23a）=（1-23t）a·b-23a2+tb2=（1-23t）×12解得t=14,所以AF=a+14所以|AF|=AF2=a2+1222.(12分)在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C所對的邊,且滿意sinA+3cosA=2.(1)求角A的大小.(2)現給出三個條件:①a=2;②B=π4;③c=3b.試從中選出兩個可以確定△ABC的條件,寫出你的方案,并以此為依據求△ABC的面積.(