學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.如圖1-6—8所示，有一廣告氣球，直徑為6m,放在公司大樓上空，當行人仰望氣球中心的仰角∠BAC=30°時，測得氣球的視角為2β=2°,若θ很小時，可取sinθ≈θ，試估算該氣球的高BC的值約為（）圖1-6—8A。70mB。86mC.102mD。118m思路解析：1°=,在Rt△ACD中，AC=。在Rt△ABC中,AC=,∴=。∴BC==3××≈86m.答案：B2.如圖1-6—9是一彈簧振子做簡諧運動的圖象,橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移,則這個振子振動的函數解析式是_______________。圖1—6—9思路解析：設函數解析式為y=Asin(ωx+φ），則A=2,由圖象可知T=2×(0.5—0.1)=,∴ω==。∴×0.1+φ=.∴φ=。∴函數的解析式為y=2sin（x+)。答案：y=2sin(x+)3。甲、乙兩樓相距60米，從乙樓望甲樓頂的仰角為45°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則甲、乙兩樓的高度分別為_____________。思路解析：如圖，甲樓的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=.∴乙樓的高度為BD=BE—DE=60—米。答案：60米,60-米4.一樹干被臺風攔腰折斷，兩樹干折成60°角,樹干底部與樹尖著地處相距20米,樹干原來的高度為_____________。思路解析：如圖，BC=20tan30°=，AB=，所以樹干原來的高度為AB+BC=(米）。答案：米5.某動物種群數量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦曲線變化，且最小正周期為12.（1）畫出種群數量關于時間變化的圖象;（2）求出種群數量作為時間t的函數表達式（其中t以年初以來的月為計量單位）.思路分析:根據給出的數據要計算出要求函數的周期、振幅等數據.解:（1）種群數量關于時間變化的圖象如圖所示：（2）設表示該曲線的三角函數為y=Asin(ωx+φ）+k。由已知平均數量為800，最高數量與最低數量之差為200，數量變化周期為12個月，所以振幅A==100，即ω==，k=800。又7月1日種群數量達到最高，所以×7+φ=。而φ=—.所以種群數量關于時間t的函數表達式為y=100sin(t-4)+800.6.已知水渠在過水斷面面積為定值的情況下,過水濕周越小，其流量越大.現有以下兩種設計如圖1-6-10：圖(1)的過水斷面為等腰△ABC，AB=AC，過水濕周l1=AB+AC；圖(2)的過水斷面為等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC,∠BAD=60°，過水濕周l2=AB+BC+CD.若△ABC與等腰梯形ABCD的面積都為S.圖1—6—10（1）分別求l1與l2的最小值(a2+b2≥2ab)；（2）為使流量最大,給出最佳設計方案。思路分析：解答此題首先要分別求出兩個變量的函數表達式，然后可利用三角函數及不等式的性質求最值。解：在圖（1）中，設∠ABC=θ，AB=AC=a，則S=a2sinθ，由于S，a,sinθ皆為正值，可解得a=，當且僅當sinθ=1時，即θ=90°時，取等號。所以l1=2a≥。在圖(2）中，設AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°,可求得AD=m+n,S=(n+m+n)·m,解得n=。l2=2m+n=2m+-=+.當且僅當=，即m=時，取等號。通過比較，可得l1min＞l2min，所以最佳方案應該是圖(2)所示的方案。我綜合我發展7。游樂場中的摩天輪勻速旋轉,其中心O距地面40。5m，半徑40m，若從最低點處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間變化，5min后到達最高點，在你登上摩天輪時開始記時.你能完成下面的問題嗎？（1）當你登上摩天輪2min后,你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，請求出你的朋友與地面的距離y關于時間t的函數關系式；（2)你和你的朋友與地面的距離差何時最大？最大距離差是多少？（sinα—sinβ=2cossin）(3）如果規定每位游客乘坐摩天輪觀景的時間是每次20min，從你的朋友登上摩天輪的時間算起，什么時候你的朋友與地面的距離大于你與地面的距離？解:根據已知，可求得你與地面距離y與時間t的函數關系式為y=40sin(t)+40.5。（1)你的朋友比你晚2min登上摩天輪,即沿時間軸向右平移2個單位，得出你的朋友與地面距離y關于t的函數關系式為:y=40sin[（t-2)］+40。5，即y=40sin（t—）+40。5.(2)距離差為｜y1-y2｜=40|sin（t)—sin(t-）｜=80cos（t-)sin.當cos（t—)=1,即t-=0,t=3.5min時,h達到最大，最大值距離差約為47m。(3）令h＜0，即sin（t—）＜0，故(2k+1）π＜t—＜(2k+2）π(k∈Z)，因為兩位游客乘坐摩天輪的時間是每次20min，因此從你登上摩天輪開始計時到兩人都下摩天輪為止，需經過22min，即t的取值范圍是0＜t＜22，故取k=0或1,6＜t＜11或16＜t＜22.從你朋友登上摩天輪的時間算起，第4min到第9min，以及第14min到第20min為止，你的朋友與地面的距離大于你與地面的距離。8.已知電流I與時間t的關系式為I=Asin(ωt+φ）.圖1—6—11（1）圖1-6—11是I=Asin(ωt+φ）（ω＞0,｜φ｜＜）在一個周期內的圖象，根據圖中數據求I=Asin(ωt+φ）的解析式；(2）如果t在任意一段秒的時間內，電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整數值是多少？思路分析：三角函數是重要的初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中有著重要的作用,在物理課程中的力學、光學、電學，特別是對震動過程的研究，也都用到三角函數的知識.利用三角函數的圖象和性質，如正、余弦的有界性、單調性、周期性，可以解決相應的綜合應用問題.解：（1）因為周期T=2（+）=，ω==150π,又A=300，所以I=300sin（150πt+φ）.將（-，0）代入上式得sin(φ-）=0,所以φ—=0，φ=.故所求的解析式為I=300sin(150πt+)。（2）如果t在任意一段秒的時間內，電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大，必滿足區間長度至少包含一個周期，即≥，ω≥300π＞942，所以ω的最小正整數值是943.9。煙筒上的正弦函數煙筒彎頭是由兩個圓柱形的煙筒焊在一起做成的，現在要用長方形鐵皮做成一個直角煙筒彎頭(兩個圓柱呈垂直狀)，如圖1—6-12所示，若煙筒的直徑為12cm,最短母線為6cm，應將鐵皮如何剪裁，才能既省工又省料呢？圖1-6—12思路分析：如何構造三角函數是本題的關鍵.解：如圖(1）所示，兩個圓柱形煙筒的截面與水平面成45°角，設O是圓柱的軸與截面的交點,過O作水平面，它與截面的交線為CD，它與圓柱的交線是以O為圓心的圓,CD是此圓的直徑,又設B是這個圓上任意一點，過B作BE垂直CD于E,作圓柱的母線AB，交截平面與圓柱的交線于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE。設BD弧長為x，它所取的圓心角∠DOB=α，根據弧長公式,知α=.又設AB=y，由Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，從而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin。所以，鐵皮在接口處的輪廓線是正弦曲線y=6sin(0≤x≤12π)，其圖象如圖(2）,因為將兩個圓柱形鐵皮上的曲線對拼起來，正好可以完全吻合,所以最節約且最省工的裁剪方式如圖（3)。10。下表是某地一年中10天測量的白晝時間統計表（時間近似到0。1小時)。日期日期位置序號白晝時間y（小時）1月1日15.62月28日5910。23月21日8012.44月27日11716。45月6日12617.36月21日17219.48月13日22516.49月20日26312。410月25日2988.512月21日3555.4(1)以日期在365天中的位置序號x為橫坐標，白晝時間y為縱坐標，在給定坐標系中畫出這些數據的散點圖；（2）試選用一個形如y=Asin（ωx＋φ)＋t的函數來近似描述一年中白晝時間y與日期位置序號x之間的函數關系.（注：①求出所選用的函數關系式；②一年按365天計算）思路分析：此題是一個實際應用性的問題,其數學模型是已知圖象，求解析式.首先觀察圖形確定出函數的最大值和最小值,以及函數的周期，進而解出待定系數A、B、ω.再將一個關鍵點的坐標代入解析式求出φ.注意因為所求的解析式是來源于實際問題的，所以函