5.2.1任意角三角函數的定義【教學目標】1.理解并掌握任意角三角函數的定義；熟記其在各象限的符號；掌握三角函數線的定義及畫法．2．通過教學，使學生進一步體會數形結合的思想．【教學重點】任意角三角函數的定義．【教學難點】單位圓及三角函數線．【教學方法】本節課主要采用啟發引導與講練結合的教學方法．在復習銳角三角函數定義的基礎上，定義了任意角的三角函數，講練結合，使學生牢固掌握．然后引導學生根據三角函數定義和象限內的點坐標符號導出三角函數在各象限的符號，接著把正弦值、余弦值、正切值轉化為單位圓中的有向線段表示，使數與形密切結合起來，以加強學生對三角函數定義的理解．【教學過程】環節教學內容師生互動設計意圖導入復習銳角三角函數定義．師：初中時我們學過銳角三角函數，當時是怎樣定義的？以舊引新．新課新課新課新課任意角的三角函數定義．已知是任意角，P(x，y)，P(x，y)是角的終邊與兩個半徑不同的同心圓的交點．(r＝EQ\R(,x2+y2)，r'＝EQ\R(,x'2+y'2))yPryPrr′yy′Ox′xxP’當角不變時，對于角的終邊上任意一點P（x，y），不論點P在角的終邊上的位置如何，三個比值EQ\F(x,r)，EQ\F(y,r)，EQ\F(y,x)始終等于定值．因此定義：角的余弦cos＝EQ\F(x,r)；角的正弦sin＝EQ\F(y,r)；角的正切tan＝EQ\F(y,x)．依照上述定義，對于每一個確定的角，都分別有唯一確定的余弦值、正弦值、正切值與之對應，所以這三個對應關系都是以角為自變量的函數，分別叫做角的余弦函數、正弦函數和正切函數．三角函數求值．根據三角函數定義，可得計算三角函數值的步驟：S1畫角：在直角坐標系中，作轉角等于α；S2找點：在角α的終邊上任找一點P，使OP＝1，并量出該點的縱坐標和橫坐標；S3求值：根據相應三角函數的定義，求該角的三角函數值．例1已知角終邊上一點P(2，－3)，求角的三個三角函數值．解已知點P（2，－3），則r＝OP＝EQ\R(,22＋（－3）2)＝EQ\R(,13)，由三角函數的定義，得sin＝EQ\F(y,r)＝EQ\F(－3,EQ\R(,13))＝－EQ\F(3EQ\R(,13),13)；cos＝EQ\F(x,r)＝EQ\F(2,EQ\R(,13))＝；tan＝EQ\F(y,x)＝－EQ\F(3,2)；練習1教材P138，練習A組第1、4、5題．例2試確定三角函數在各象限的符號．解由三角函數的定義可知，sin＝EQ\F(y,r)，角終邊上點的縱坐標y的正、負與角的正弦值同號；cos＝EQ\F(x,r)，角終邊上點的橫坐標x的正、負與角的余弦值同號；由tan＝EQ\F(y,x)，則當x與y同號時，正切值為正，當x與y異號時，正切值為負．OxyOxy＋＋－－sinαOxy＋－＋－cosαOxy＋－－＋tanα練習2確定下列各三角函數值的符號：(1)sin(－EQ\F(π,4))；(2)cos130；(3)tanEQ\F(4π,3)．例3使用函數型計算器，計算下列三角函數值：(1)sin，cos372，tan(－86)；(2)sin1.2，cosEQ\F(3π,4)，tanEQ\F(5π,6)．解略．3.單位圓與三角函數線．如圖，以原點為圓心，半徑為1的圓稱作單位圓．OMxOMxA(1，0)1P(cos，sin)y設角的終邊與單位圓的交點為P(x，y)，過點P作PM垂直于x軸，則sin＝y，cos＝x，即P(cos，sin)．cos＝x＝OM；sin＝y＝MP．于是我們把規定了方向的線段OM，MP分別稱作角的余弦線、正弦線．練習3（1）在直角坐標系的單位圓中，分別畫出EQ\F(π,3)和－EQ\F(2π,3)的正弦線、余弦線．設單位圓在點A的切線與角的終邊或其反向延長線相交于點T(T)，則tan＝EQ\F(y,x)＝EQ\F(AT,OA)＝AT(AT)，所以AT(AT)稱作角α的正切線．練習3（2）在直角坐標系的單位圓中，分別畫出EQ\F(π,3)和－EQ\F(2π,3)的正切線．問題1：當我們把銳角的概念推廣為轉角后，我們如何定義任意角的三角函數呢？如左圖所示，由相似三角形對應邊成比例得，EQ\F(x,r)＝EQ\F(x',r')，EQ\F(y,r)＝EQ\F(y',r')，EQ\F(y,x)＝EQ\F(y',x').由于點P，P'在同一象限內，所以它們的坐標符號相同，因此，EQ\F(x,r)＝EQ\F(x',r')，EQ\F(y,r)＝EQ\F(y',r')，EQ\F(y,x)＝EQ\F(y',x')，所以三個比值EQ\F(x,r)，EQ\F(y,r)，EQ\F(y,x)只依賴于的大小，與點P在終邊上的位置無關．教師引領學生識記三角函數定義．依據函數定義說明角與三角函數值的對應關系．練習：在直角坐標系中，畫出半徑為１的圓，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.在例1中強調：（１）P為角α的終邊上任意一點；（２）求三角函數值時用到的三個量x，y，r以及三者的關系；教師可通過教材P138練習A組第1題中的練習讓學生自己總結出三角函數在各象限的符號．根據三角函數的定義，及各象限內點的坐標的符號得出三角函數在各象限的符號，教師總結口訣，幫助學生記憶：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．練習2也可以用計算器直接求出三角函數值，然后確定符號．師：在任意角三角函數的定義中，當角的終邊上一點P（x，y）的坐標滿足r＝EQ\R(,x2+y2)＝1時，三角函數的正弦、余弦會變成什么樣呢？看著圖示，結合三角函數定義講解正弦線、余弦線、正切線的由來．學生自己動手，熟悉正弦線，余弦線的畫法．學生自己動手，熟悉當角在不同象限時正切線的畫法．說明三角函數定義的理論根據．通過學生自己動手測量,加深學生對三角函數定義的理解,并為學習單位圓做鋪墊.強調這幾點為練習B組第1、2、3做鋪墊.通過練習1，熟練已知角的終邊上一點求三角函數值的步驟．由練習中的具體題目到例2的理論分析，由特殊到一般加深學生對三角函數符號的理解.學生理解正切線難度較大，教師要詳細講解各個象限內的角的正切線的做法.小結回憶本節課所學知識點：(1)任意角三角函數的定義（代數表示）．(2)任意角三角函數值的求法（兩種方法）．(3)任意角三角函數值的符號（記住口訣）．(4)任意角三角函數的幾何表示（三角函數線）．讓學生敘述本節所學知識點以及典型例題及解題步驟．梳理知識脈絡．作業教材P138，練習A組，練習B組．本節教材內容頗多，教師可根據當堂內容布置相應作業．

同角三角函數的基本關系式【教學目標】1.理解并掌握同角三角函數的基本關系式，會運用公式求值，化簡，證明．2.通過教學，培養學生用方程（組）解決問題的方法，培養學生分析問題，解決問題的能力．3.通過學習，揭示事物間普遍聯系的辨證唯物主義思想．【教學重點】同角三角函數的基本關系式的推導及應用（求值、化簡、恒等式證明）．【教學難點】同角三角函數的基本關系式在解題中的靈活運用．【教學方法】本節主要采用講練結合的方法．在教學過程中，要注意引導學生理解每個公式，懂得公式的來龍去脈，并能靈活運用．課堂中，充分發揮學生的主體作用，讓學生自主探究問題并解決問題，使學生熟練用方程（組）解決問題的方法．【教學過程】教學環節教學內容師生互動設計意圖復習導入OcosxPOcosxP(cos，sin)ysin1教師提出問題，學生回答．推出sin2＋cos2＝1EQ\F(sin,cos)＝tan這兩個基本關系式．新課在單位圓中，由三角函數的定義和勾股定理，可得同角三角函數的基本關系式：sin2＋cos2＝1；EQ\F(sin,cos)＝tan．師講解：1．sin2，cos2的讀法、寫法．2．讓學生驗證30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值滿足兩個關系式．3．“同角”的概念與角的表達形式無關，如：sin2β＋cos2EQβ＝1．4．同角的意義：一是“角相同”；二是“任意一個角”．初步認識和記憶兩個關系式，理解“同角”的含義．應用舉例應用舉例當我們知道一個角的某一三角函數值時，利用這兩個關系式和三角函數定義，就可求出這個角的另外幾個三角函數值．此外，還可用它們化簡三角函數式和證明三角恒等式．同角三角函數的基本關系式應用之一：求值．例1已知sin＝EQ\F(4,5)，且是第二象限的角，求的余弦和正切值．解由sin2＋cos2＝1，得cos＝±EQ\R(,1－sin2)．因為是第二象限角，cos＜0,所以cos＝－EQ\R(,1－(EQ\F(4,5))2)＝－EQ\F(3,5)，tan＝EQ\F(sin,cos)＝EQ\F(EQ\F(4,5),－EQ\F(3,5))＝－EQ\F(4,3)．例2已知tan＝－EQEQ\R(,5)，且是第二象限角，求的正弦和余弦值．解由題意得EQsin2＋cos2＝1，①EQ\F(sin,cos)＝－EQEQ\R(,5)．②由②，得sin＝－EQ\R(,5)cos，代入①式得6cos2＝1，cos2＝EQ\F(1,6)．因為是第二象限角，所以cos＝－EQ\F(EQ\R(,6),6)，代入③式得sinα＝－EQEQ\R(,5)cosα＝－EQEQ\R(,5)×(－EQ\F(EQ\R(,6),6))＝EQ\F(EQ\R(,30),6)．同角三角函數的基本關系式應用之二：化簡．例3化簡：EQ\F(sinθ－cosθ,tanθ－1)．解原式＝EQ\F(sinθ－cosθ,EQ\F(sinθ,cosθ)－1)＝EQ\F(sinθ－cosθ,EQ\F(sinθ－cosθ,cosθ))＝cosθ．同角三角函數的基本關系式應用之三：證明．例4求證：（1）sin4－cos4＝2sin2－1；（2）tan2－sin2＝tan2sin2；（3）EQ\F(cosx,1－sinx)＝EQ\F(1＋sinx,cosx)．證明：（1）原式左邊＝(sin2＋cos2)(sin2－cos2)＝sin2－cos2＝sin2－(1－sin2)＝2sin2－1＝右邊．因此sin4－cos4＝2sin2－1．（2）原式右邊＝tan2(1－cos2)＝tan2－tan2αcos2＝tan2－EQ\F(sin2,cos2)cos2＝tan2－sin2＝左邊．因此tan2－sin2＝tan2sin2．（3）證法1：因為EQ\F(cosx,1－sinx)－EQ\F(1＋sinx,cosx)＝EQ\F(cos2x－(1－sinx)2,(1－sinx)cosx)＝EQ\F(cos2x－cos2x,(1－sinx)cosx)＝0．所以EQ\F(cosx,1－sinx)＝EQ\F(1＋sinx,cosx)．證法2：因為左邊＝EQ\F(cosx,1－sinx)·EQ\F(cosx,cosx)＝EQ\F(cos2x,(1－sinx)cosx)；右邊＝EQ\F(1＋sinx,cosx)·EQ\F(1－sinx,1－sinx)＝EQ\F(cos2x,(1－sinx)cosx)．所以左邊＝右邊．即原等式成立．例1鼓勵學生自己解決，教師只在開方時點撥符號問題．練習：教材P141，練習A組第1（2）（3）題．小結步驟：已知正弦（或余弦）求余弦（或正弦）求正切．例2可在教師的引導下解決，帶領學生詳細解方程組．練習：教材P141，練習A組第1（4）題．小結步驟：知正切求余弦（或正弦）．師：求值題目總結1．注意同角三角函數的基本關系式的變形應用．2．已知sin，cos，tan中的任意一個，可以用方程（組）求出其余的兩個．教師小結化簡方法：把切函數化為弦函數．練習：教材P142，練習A組第2題，練習B組第1題．教師提示：證明恒等式一般從繁到簡，從高次到低次．從左向右，或從右向左，或從兩頭向中間來證明．可讓學生自己先獨立探索證明思路，再小組討論．教師在證明思路和解題格式上給予指導．由學生完成證明，展示不同證法，分析優劣．對（3）作分析：思路1：用作差法，不管分母，只需將分子轉化為零．思路2：利用公分母將原式的左邊和右邊轉化為同一種形式的結果．練習：教材P142，練習A組第3題，練習B組第2題．多練幾個類似例題的題目，使學生熟練兩個基本關系式的應用和用方程求值的方法．靈活應用公式，加快運算速度．為下面運用公式化簡和證明做好知識鋪墊．通過討論探究，使學生進一步熟練公式的各種變形.培養學生的發散思維，提高綜合運用知識分析問題、解決問題的能力．小結1.同角三角函數的基本關系式sin2＋cos2＝1，EQ\F(sin,cos)＝tan．2.求值、化簡和證明題目的思路與注意事項．師生共同總結．作業必做題：寫出同角三角函數的基本關系式，并寫出其變形公式．選做題：教材P142，練習B組第3題．教材課后練習A組已融在新課中．

5.2.3誘導公式【教學目標】1.理解并掌握誘導公式，會求任意角的三角函數值與證明簡單的三角恒等式；2.了解對稱變換思想在數學問題中的應用；3.通過教學，使學生進一步體會數形結合的思想．【教學重點】利用誘導公式進行三角函數式的求值、化簡．【教學難點】誘導公式(一)、（二）、（三）的推導．【教學方法】本節課主要采用啟發誘導與講練結合的教學方法，引導學生借助單位圓和三角函數線，充分利用對稱的性質，揭示誘導公式與同角公式之間的聯系，然后講練結合，使學生牢固掌握其應用．【教學過程】環節教學內容師生互動設計意圖復習導入1.復習三角函數的定義、單位圓與三角函數線．2.復習對稱點的知識．1.教師運用多媒體展示三角函數的定義、單位圓與三角函數線，提問相關問題，學生回答．2.師：已知任意角的終邊與單位圓相交于點P(x，y)，請分別寫出點P關于x軸，y軸，原點對稱的點的坐標．共同回顧，為新課做準備．新課新課新課新課1．角與＋k·2π（kZ）的三角函數間的關系．直角坐標系中，與＋k·2π(kZ)的終邊相同，由三角函數的定義，它們的三角函數值相等．公式（一）：sin(＋k·2π)＝sin；cos(＋k·2π)＝cos（kZ）；tan(＋k·2π)＝tan．例1求下列各三角函數的值：(1)sinEQ\F(13π,2)；(2)cosEQ\F(19π,3)；(3)tan405．解(1)sinEQ\F(13π,2)＝sin(EQ\F(π,2)＋6π)＝sinEQ\F(π,2)＝1；(2)cosEQ\F(19π,3)＝cos(EQ\F(π,3)＋6π)＝cosEQ\F(π,3)＝EQ\F(1,2)；(3)tan405＝tan(45＋360)＝tan45＝1．2.角和角－的三角函數間的關系．如圖5-17，設單位圓與角和角－的終邊的交點分別是點P和點P′．xP(x，y)MOP(xxP(x，y)MOP(x，y)圖5-17已知P(cos，sin)和P(cos(－)，sin(－))．于是，得到公式（二）：sin（－）＝－sin；cos（－）＝cos；tan（－）＝－tan．例2求下列各三角函數的值：(1)sin(－EQ\F(π,6))；(2)cos(－EQ\F(π,4))；(3)tan(－EQ\F(π,3))；(4)sin(－EQ\F(7π,3))．解(1)sin(－EQ\F(π,6))＝－sinEQ\F(π,6)＝－EQ\F(1,2)；(2)cos(－EQ\F(π,4))＝cosEQ\F(π,4)＝EQ\F(EQ\R(,2),2)；(3)tan(－EQ\F(π,3))＝－tanEQ\F(π,3)＝－EQ\R(,3)；(4)sin(－EQ\F(7π,3))＝－sinEQ\F(7π,3)＝－sin(EQ\F(π,3)＋2π)＝－sinEQ\F(π,3)＝－EQ\F(EQ\R(,3),2)．3.角與±π的三角函數間的關系．如圖5-18，角與±π的終邊與單位圓分別相交于點P與點P′，容易看出，點P與點P′關于原點對稱，它們的坐標互為相反數P(x，y)，P′(－x，－y)，Ｐ(Ｐ(x，y)xyO+P(-x,-y)-圖5-18所以得到公式（三）sin(±)＝－sin；cos(±)＝－cos；tan(±)＝tan．4.角與π－的三角函數間的關系．ＰP′xＰP′xyO圖5-19如圖5-19，角與π－和單位圓分別交于點P與點P′，由P′與點P關于y軸對稱，可以得到與π－之間的三角函數關系：sin(－)＝sin；cos(－)＝－cos．即互為補角的兩個角正弦值相等，余弦值互為相反數．例如：sinEQ\F(5π,6)＝sinEQ\F(π,6)＝EQ\F(1,2)；cosEQ\F(3π,4)＝－cosEQ\F(π,4)＝－EQ\F(EQ\R(,2),2)．例3求下列各三角函數的值：(1)sinEQ\F(4π,3)；(2)cos(－EQ\F(8π,3))；(3)tan(－EQ\F(10π,3))；(4)sin930．解略．例4求下列各三角函數的值：(1)sin(－EQ\F(55π,6))；(2)cosEQ\F(11π,4)；(3)tan(－EQ\F(14π,3))；(4)sin870．解(1)sin(－EQ\F(55π,6))＝－sin(EQ\F(π,6)＋9π)＝－(－sinEQ\F(π,6))＝EQ\F(1,2)；(2)cosEQ\F(11π,4)＝cos(－EQ\F(π,4)＋3π)＝cos(π－EQ\F(π,4))＝－cosEQ\F(π,4)＝－EQ\F(EQ\R(,2),2)；(3)tan(－EQ\F(14π,3))＝tan(EQ\F(π,3)－5π)＝tanEQ\F(π,3)＝EQ\R(,3)；(4)sin870＝sin(－30＋5×180)＝sin(180－30)＝sin30＝EQ\F(1,2)．例5化簡：EQ\F(sin(2π－α)tan(α+π)tan(－α－π),cos(π－α)tan(3π－α))解EQ\F(sin(2π－α)tan(α+π)t