PAGE課時素養評價十七定積分的背景——面積和路程問題(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.把區間[2，6]n等分，所得n個小區間的長度均為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.區間[2，6]的長度為4，n等分后每個小區間的長度均為QUOTE.2.當n的值很大時，函數f(x)=x2在區間QUOTE上的值可以用下列函數值近似代替的是()A.fQUOTE B.fQUOTE C.fQUOTE D.f(0)【解析】選C.區間QUOTE上的隨意一個函數值都可近似代替這個區間對應的函數值.3.對于汽車以v=v(t)在[0，t]內做直線運動經過的路程s，下列敘述正確的是()A.將[0，t]n等分，若以每個小區間左端點的速度近似替代時，求得的值是s的不足估計值B.將[0，t]n等分，若以每個小區間右端點的速度近似替代時，求得的值是s的不足估計值C.將[0，t]n等分，n越大，求出的值近似替代s的精確度越高D.將[0，t]n等分，當n越大時，求出的值就是s的精確值【解析】選C.每個小區間左端點的速度不肯定是該區間上速度的最小值，右端點的速度也不肯定是該區間上速度的最大值，n越大，所得估計值近似替代精確值的精確度越高.4.已知自由落體運動的速度v=gt，則估計在時間區間[0，6]內，將時間區間10等分時，物體下落的距離的估計值可以為()A.14g B.15g C.16g D.17g【解析】選D.由其過剩估計值與不足估計值分別為19.8g、16.2g，則估計值應在[16.2g，19.8g]內.二、填空題(每小題5分，共10分)5.由曲線y=QUOTE與直線x=1，x=2及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的過剩估計值為_________(把區間[1，2]5等分).

【解析】把區間[1，2]5等分，以每個小區間的左端點的函數值為小矩形的高，則過剩估計值為0.2×QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.已知彈簧拉長0.02m，須要98N的力，則估計把彈簧拉長到0.1m時所做的功的不足估計值為_________，估計誤差不超過_________.(【解析】設拉彈簧所需的力F與彈簧拉長長度x之間的關系式為F=kx，因為98=k×0.02，所以k=4900(N/m)，所以F=4900x(N)，把彈簧拉長長度的范圍[0，0.1]10等分，以每一小范圍的左、右端點的力為小矩形的高，得到功的不足估計值s1和過剩估計值S1如下：s1=4900×(0+0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09)×0.01=22.05(J)，S1=4900×(0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09+0.1)×0.01=26.95(J)，估計誤差不會超過S1-s1=4.9(J).答案：22.05J4.9J三、解答題(每小題10分，共20分)7.物體在力F的作用下從靜止起先運動，力F的大小與位移s(m)的關系是：F(s)=3s+1，試估計物體運動5m的過程中力F所做的功，并寫出估計值的誤差.(將區間5【解析】將[0，5]5等分，即插入4個分點，則將整個功分成5個小位移段內的功，若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分別近似替代F引起的物體在0～1m，1～2m，2～3m，3～4m，4～5m段內運動時所受的力的平均大小.則得出功的過剩估計值為W1=[(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)+(3×5+1)]×1=50(J).若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分別近似替代F引起的物體在0～1m，1～2m，2～3m，3～4m，4～5m段內運動時所受的力的平均大小，則得出功的不足估計值為W2=[(3×0+1)+(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)]×1=35(J).無論是過剩估計值還是不足估計值，誤差都不超過15J.8.有一輛汽車在筆直的馬路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)=3t2+2(單位：km/h)，那么該汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內行駛的路程s(單位：km)是多少？【解析】在時間區間[0，2]上等間隔地插入n-1個分點，將它分成n個小區間，記第i個小區間為QUOTE(i=1，2，…，n)，其長度為Δt=QUOTE-QUOTE=QUOTE.每個時間段上行駛的路程記為Δsi(i=1，2，…，n)，則明顯有s=QUOTEΔsi，取ξi=QUOTE(i=1，2，…，n).于是Δsi≈vQUOTE·Δt=QUOTE·QUOTE，sn=QUOTEΔsi=QUOTE·QUOTE+4=8QUOTE+4.從而得到s的近似值：s≈sn.s=QUOTEsn=QUOTE=8+4=12.所以這段時間內行駛的路程為12km.(15分鐘·30分)1.(5分)在求由直線x=a，x=b(a<b)及曲線y=f(x)(f(x)≥0)圍成的曲邊梯形的面積S時，在區間[a，b]上等間隔地插入(n-1)個分點，分別過這些分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形的過程中，下列說法正確的是()A.n個小曲邊梯形的面積和等于SB.n個小曲邊梯形的面積和小于SC.n個小曲邊梯形的面積和大于SD.n個小曲邊梯形的面積與S之間的大小關系無法確定【解析】選A.由題意可知A正確.2.(5分)已知甲、乙兩車由同一起點同時動身，并沿同一路途(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1，下列推斷中肯定正確的是()A.在t1時刻，甲車在乙車前面B.t1時刻后，甲車在乙車后面C.在t0時刻，兩車的位置相同D.t0時刻后，乙車在甲車前面【解析】選A.由圖可知，曲線v甲，直線t=t0和t軸所圍成圖形的面積大于曲線v乙，直線t=t0和t軸所圍成圖形的面積，則在t0時刻，甲車在乙車前面，故C，D錯誤；同理，在t1時刻，甲車在乙車前面，故A正確；t1時刻后，甲車會領先乙車一小段時間，但從兩曲線的趨勢可知某時刻乙車會超過甲車，故B錯誤.3.(5分)汽車以10米/秒的速度行駛，在某處須要減速停車，-2米/秒2剎車，若把剎車時間5等分，則從起先剎車到停車，汽車剎車距離的過剩估計值為_________【解析】由題意知v(t)=v0+at=10-2t，令v(t)=0得t=5，即t=5時，汽車將停車.將區間[0，5]5等分，用每個小區間的左端點的函數值近似代替每個小區間上的平均速度，可得汽車剎車距離的過剩估計值為S=[10+(10-2×1)+(10-2×2)+(10-2×3)+(10-2×4)]×1=30(米).答案：30米4.(5分)已知某物體運動的速度為v=t，t∈[0，10]，若把區間10等分，則物體運動路程的過剩估計值為_________.

【解析】取每個小區間右端點處的函數值為近似小矩形的高，因為把區間[0，10]10等分后，每個小區間右端點處的函數值為n(n=1，2，…，10)，每個小區間的長度為1.所以物體運動路程的過剩估計值為S=1×(1+2+…+10)=55.答案：555.(10分)求由曲線f(x)=2x，直線x=1，直線x=0及x軸所圍成的平面圖形的面積S時，將區間5等分，求過剩估計值.【解析】(1)分割：將區間[0，1]5等分，即插入4個分點，在每個分點處作與y軸平行的直線段，將整個曲邊梯形分成5個小曲邊梯形.(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分別表示這5個小曲邊梯形的高，分別得到每個小曲邊梯形的面積f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2.(3)求和：由上述方法得曲邊梯形面積的過剩估計值為S1=(20.2+20.4+20.6+20.8+21)×0.2≈1.55.1.一輛汽車的司機猛踩剎車，汽車滑行5s后停下，在這一過程中，汽車的速度v(單位：m/s)是時間t的函數：v(t)=t2-10t+25(0≤t≤5).將滑行時間5s平均分成5份，汽車在剎車過程中滑行距離的過剩估計值為_________，不足估計值為_________.

【解析】分別用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽車在0～1s，1～2s，2～3s，3～4s，4～5s內的平均速度，求出滑行距離s1：s1=[v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)]×1=55(m)，由于v是下降的，所以明顯s1大于s，我們稱它為汽車在5s內滑行距離的過剩估計值.假如用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分別近似替代汽車在0～1s，1～2s，2～3s，3～4s，4～5s內的平均速度，求出汽車在5s內滑行距離的不足估計值s′1：s′1=[v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)]×1=30(m).答案：55m30m2.一輛汽車的速度-時間圖像如圖所示，求此汽車在這1min內行駛的路程.【解題指南】依據變速運動物體路程的估計方法，本題所求的路程應為圖像與x軸圍