第二章自動控制系統的數學模型本章的主要內容

控制系統的微分方程-建立和求解控制系統的傳遞函數控制系統的結構圖-等效變換控制系統的信號流圖-梅遜公式概述[數學模型]：描述控制系統變量（物理量）之間動態(tài)關系的數學表達式。常用的數學模型有微分方程，傳遞函數，結構圖，信號流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。據此可對系統進行分析。所以建立控制系統的數學模型是對系統進行分析的第一步也是最重要的一步。控制系統如按照數學模型分類的話，可以分為線性和非線性系統，定常系統和時變系統。[線性系統]：如果系統滿足疊加原理，則稱其為線性系統。疊加原理說明，兩個不同的作用函數同時作用于系統的響應，等于兩個作用函數單獨作用的響應之和。線性系統對幾個輸入量同時作用的響應可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應的結果進行疊加。[線性定常系統和線性時變系統]：可以用線性定常（常系數）微分方程描述的系統稱為線性定常系統。如果描述系統的微分方程的系數是時間的函數，則這類系統為線性時變系統。宇宙飛船控制系統就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質量隨著燃料的消耗而變化）。古典控制理論中（我們所正在學習的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統，對于非線性系統和時變系統，解決問題的能力是極其有限的。[非線性系統]：如果不能應用疊加原理，則系統是非線性的。下面是非線性系統的一些例子：

微分方程的編寫應根據組成系統各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等。2.1控制系統的微分方程由②：，代入①得：這是一個線性定常二階微分方程。①②[解]：據基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例2-1]：寫出RLC串聯電路的微分方程。[例2-2]求彈簧-阻尼-質量的機械位移系統的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統原理結構圖和質量塊受力分析圖。圖中，m為質量，f為粘性阻尼系數，k為彈性系數。mfmFF圖2圖1根據牛頓定理，可列出質量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：[例2-3]電樞控制式直流電動機這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機轉軸上的負載轉矩Mc，輸出是轉速w

電樞回路方程為

其中ea

為反電勢此時激磁電流為常數，所以Ce稱為電動機電勢常數

Cm稱為電動機轉矩常數，再根據牛頓定律可得機械轉動方程電機通電后產生轉矩其中和分別稱為電磁時間常數和機電時間常數整理得分別是轉速與電壓傳遞系數和轉速與負載和傳遞系數。這里已略去摩擦力和扭轉彈性力。3.線性系統微分方程的編寫步驟：⑴確定系統和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關的物理的方程。⑶對上述方程進行適當的簡化，比如略去一些對系統影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統輸入和輸出關系的微分方程。[例2-4]：編寫下圖所示的速度控制系統的微分方程。負載-+-+功率放大器測速發(fā)電機[解]：⑴該系統的組成和原理；⑵該系統的輸出量是，輸入量是，擾動量是⑸消去中間變量：推出之間的關系：顯然，轉速既與輸入量有關，也與干擾有關。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運放Ⅰ：，運放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動機環(huán)節(jié)：見例2-4測速-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑶速度控制系統方塊圖：⑴對于恒值調速系統，=常量，則。轉速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下：⑵對于隨動系統，則=常數，，故：根據上式可以討論輸出轉速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對于線性系統應用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號兩端取增量)：4、線性方程的求解：研究控制系統在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經典法，拉氏變換法和數字求解。在自動系統理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將時域方程轉換為s域的代數方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數的時域解。線性微分方程的求解

非線性元件微分方程的線性化具有連續(xù)變化的非線性函數的線性化，可用切線法或小偏差法。在一個小范圍內，將非線性特性用一斷直線來代替。（分段定常系統）一個變量的非線性函數y=f(x)在x0處連續(xù)可微，則可將它在該點附件用臺勞級數展開增量較小時略去其高次冪項，則有

令Δy=kΔxk比例系數，函數在x0點切線的斜率兩個變量的非線性函數y=f(x1,x2)，同樣可在某工作點（x10,x20）附近用臺勞級數展開為

略去二級以上導數項，并令Δy＝y-f(x10,x20)

這種小偏差線性化方法對于控制系統大多數工作狀態(tài)是可行的，平衡點附近，偏差一般不會很大，都是“小偏差點”。

一、傳遞函數的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）傳遞函數的定義：線性定常系統在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數設系統或元件的微分方程為：當傳遞函數和輸入已知時Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時域表達式y(t)。稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數[關于傳遞函數的幾點說明]傳遞函數的概念適用于線性定常系統，它與線性常系數微分方程一一對應。且與系統的動態(tài)特性一一對應。傳遞函數不能反映系統或元件的學科屬性和物理性質。物理性質和學科類別截然不同的系統可能具有完全相同的傳遞函數。而研究某傳遞函數所得結論可適用于具有這種傳遞函數的各種系統。傳遞函數僅與系統的結構和參數有關，與系統的輸入無關。只反映了輸入和輸出之間的關系，不反映中間變量的關系。傳遞函數的概念主要適用于單輸入單輸出系統。若系統有多個輸入信號，在求傳遞函數時，除了一個有關的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數忽略了初始條件的影響。傳遞函數傳遞函數是s的有理分式，對實際系統而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統。[例1]求電樞控制式直流電動機的傳遞函數。[解]已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉速對電樞電壓的傳遞函數：令，得轉速對負載力矩的傳遞函數：最后利用疊加原理得轉速表示為：[例2]求下圖的傳遞函數：[傳遞函數的幾種表達形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實常數，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數，相應的系統為n階系統。表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數的零點，稱為傳遞函數的極點。—傳遞系數寫成時間常數形式：分別稱為時間常數，K稱為放大系數顯然：，若零點或極點為共軛復數，則一般用2階項來表示。若為共軛復極點，則：或其系數由或求得；若有零值極點，則傳遞函數的通式可以寫成：從上式可以看出：傳遞函數是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應的傳遞函數，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：說明：1）傳遞函數是線性定常系統在復頻域里的數學模型，其與微分方程一樣，包含了系統有關動態(tài)方面的信息。2）傳遞函數是在零初始條件下定義的，當初始條件不為零時，傳遞函數不能反映系統的全部特點。3）傳遞函數反映的是系統本身的一種屬性，其各項系數完全取決于系統本身的結構與參數，與輸入量的大小和性質無關。4）傳遞函數包含聯系輸入量與輸出量所必須的單位，但是它不提供有關系統物理結構的任何信息（許多物理上完全不同的系統，可以具有相同的傳遞函數）。5）如果系統的傳遞函數已知，則可以針對各種不同形式的輸入量研究系統的輸出或響應，以便掌握系統的性質。自動控制系統是由若干個典型環(huán)節(jié)組合而成的，典型環(huán)節(jié)包括比例環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)，一階比例微分環(huán)節(jié)，二階比例微分環(huán)節(jié)，不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，延遲環(huán)節(jié)等。幾個基本公式：--c(t)對控制信號r(t)的閉環(huán)傳函記為,即

c(t)對擾動信號f(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對控制信號r(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對干擾信號f(t)閉環(huán)傳函記為

若H(s)=1,

共同規(guī)律如下：

其分子等于對應所求的閉環(huán)傳遞函數的輸入信號到輸出信號所經過的傳遞函數的乘積，并賦以符號，其分母等于1加上開環(huán)傳函。

若H(s)=1,

信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數或象函數。（2）比較點（合成點、綜合點）SummingPoint

兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件。“+”表示相加，“-”表示相減。“+”號可省略不寫。2.3控制系統的方塊圖、信號流圖控制系統的方塊圖是系統各元件特性、系統結構和信號流向的圖解表示法。1.方塊圖元素

（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數關系。注意：進行相加減的量，必須具有相同的量剛。(3)分支點（引出點、測量點）BranchPoint表示信號測量或引出的位置注意：同一位置引出的信號大小和性質完全一樣。2.幾個基本概念及術語(1)前向通路傳遞函數--假設N(s)=0

打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價于C(s)與誤差E(s)之比(2)反饋回路傳遞函數假設N(s)=0

主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。(3)開環(huán)傳遞函數Open-loopTransferFunction假設N(s)=0主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。(4)閉環(huán)傳遞函數Closed-loopTransferFunction假設N(s)=0

輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。推導：因為右邊移過來整理得請記住**(5)誤差傳遞函數假設N(s)=0

誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：將即輸出對擾動的結構圖利用公式**，直接可得：

(6)輸出對擾動的傳遞函數假設R(s)=0**（7）誤差對擾動的傳遞函數假設R(s)=0

誤差對擾動的結構圖

利用公式**，直接可得：**3.結構圖三種基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串聯并聯反饋2相鄰綜合點可互換位置、可合并…結構圖等效變換方法1三種典型結構可直接用公式3相鄰引出點可互換位置、可合并…注意事項

1不是典型結構不可直接用公式

2引出點綜合點相鄰，不可互換位置引出點移動G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41請你寫出結果,行嗎？G2H1G1G3綜合點移動G1G2G3H1錯！G2無用功向同類移動G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H14.方塊圖的繪制（1）考慮負載效應分別列寫系統各元部件的微分方程或傳遞函數，并將它們用方框（塊）表示。（2）根據各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統的方塊圖。系統方塊圖-也是系統數學模型的一種。

5.信號流圖及Mason公式例1:x2

=a12

x1

a12x1x2

a12x1x2方框圖信號流圖例2:x2=a12x1+a32x3

x3=a13x1+a23x2+a33x3

x4=a24x2+a34x3x1輸入節(jié)點x4輸出節(jié)點x2，x3中間節(jié)點（混合節(jié)點）EiEEoI1II2++－－由方框圖到信號流圖，有些中間變量可以不表示出來，如I1。有些中間變量（位于綜合點前，有輸出）必須表示出來，如Ei和E，用單位增益支路將它們分開。

G1

G2RE1UYE1+－+－1-111-