北京市海淀區知春里中學2025屆高一數學第一學期期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將函數的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數的一個對稱中心是A. B.C. D.2．直線l的方程為Ax+By+C=0，當，時，直線l必經過A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限3．設且則A. B.C. D.4．已知正方體的個頂點中，有個為一側面是等邊三角形的正三棱錐的頂點，則這個正三棱錐與正方體的全面積之比為A. B.C. D.5．函數的零點一定位于區間（）A. B.C. D.6．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，則a，b，c的大小關系是（）A.a＝b<c B.a＝b>cC.a<b<c D.a>b>c7．如果且，則等于A.2016 B.2017C.1009 D.20188．如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它對應的方程為（其中記為不超過的最大整數），且過點，若葫蘆曲線上一點到軸的距離為，則點到軸的距離為（）A. B.C. D.9．要得到函數f（x）=cos（2x-）的圖象，只需將函數g（x）=cos2x的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移單位長度 D.向右平移個單位長度10．若存在正數x使成立，則a的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數，又有定義在R上函數滿足：（1），，均恒成立；（2）當時，，則_____，函數在區間中的所有零點之和為_______.12．對于定義在上的函數，如果存在區間，同時滿足下列兩個條件：①在區間上是單調遞增的；②當時，函數的值域也是，則稱是函數的一個“遞增黃金區間”.下列函數中存在“遞增黃金區間”的是：___________.（填寫正確函數的序號）①；②；③；④.13．已知扇形的圓心角為，其弧長是其半徑的2倍，則__________14．已知函數f（x）=x2，若存在t∈R，對任意x∈[1，m]（m＞1，m∈N），都有f（x+t）≤2x，則m的最大值為______15．不等式tanx+16．設是定義在上的函數，若存在兩個不等實數，使得，則稱函數具有性質，那么下列函數：①；②；③；具有性質的函數的個數為____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．英國數學家泰勒發現了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當時，，.（1）證明：當時，；（2）設，若區間滿足當定義域為時，值域也為，則稱為的“和諧區間”.（i）時，是否存在“和諧區間”？若存在，求出的所有“和諧區間”，若不存在，請說明理由；（ii）時，是否存在“和諧區間”？若存在，求出的所有“和諧區間”，若不存在，請說明理由.18．如圖，正三棱柱的底面邊長為3，側棱，D是CB延長線上一點，且求二面角的正切值；求三棱錐的體積19．已知函數.（1）求函數的最小正周期及函數的對稱軸方程；（2）若，求函數的單調區間和值域.20．我們知道：設函數的定義域為，那么“函數的圖象關于原點成中心對稱圖形”的充要條件是“，”.有同學發現可以將其推廣為：設函數的定義域為，那么“函數的圖象關于點成中心對稱圖形”的充要條件是“，”.（1）判斷函數的奇偶性，并證明；（2）判斷函數的圖象是否為中心對稱圖形，若是，求出其對稱中心坐標；若不是，說明理由.21．已知集合，（1）當，求；（2）若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由函數的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的3倍得到，向右平移個單位得到，將代入得，所以函數的一個對稱中心是，故選A2、A【解析】把直線方程化為斜截式，根據斜率以及直線在y軸上的截距的符號，判斷直線在坐標系中的位置【詳解】當A＞0，B＜0，C＞0時，直線Ax+By+C=0，即y=﹣x﹣，故直線的斜率﹣＞0，且直線在y軸上的截距﹣＞0，故直線經過第一、二、三象限，故選A【點睛】本題主要考查根據直線的斜截式方程判斷直線在坐標系中的位置，屬于基礎題3、C【解析】由已知得，，去分母得，，所以，又因為，，所以，即，選考點：同角間的三角函數關系，兩角和與差的正弦公式4、A【解析】所求的全面積之比為：，故選A.5、C【解析】根據零點存在性定理，若在區間有零點，則，逐一檢驗選項，即可得答案.【詳解】由題意得為連續函數，且在單調遞增，，，，根據零點存在性定理，，所以零點一定位于區間.故選：C6、B【解析】利用對數的運算性質求出a、b、c的范圍，即可得到正確答案.【詳解】因為a＝log23＋log2＝log2＝log23>1，b＝log29－log2＝log2＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b>c.故選：B7、D【解析】∵f（x）滿足對任意的實數a，b都有f（a+b）=f（a）?f（b），∴令b=1得，f（a+1）=f（a）?f（1），∴,所以，共1009項，所以.故選D.8、C【解析】先根據點在曲線上求出，然后根據即可求得的值【詳解】點在曲線上，可得：化簡可得：可得：（）解得：（）若葫蘆曲線上一點到軸的距離為，則等價于則有：可得：故選：C9、D【解析】利用函數的圖象變換規律即可得解．【詳解】解：，只需將函數圖象向右平移個單位長度即可故選．【點睛】本題主要考查函數圖象變換規律，屬于基礎題10、D【解析】根據題意，分析可得，設，利用函數的單調性與最值，即可求解，得到答案【詳解】根據題意，，設，由基本初等函數的性質，得則函數在R上為增函數，且，則在上，恒成立；若存在正數x使成立，即有正實數解，必有；即a的取值范圍為；故選D【點睛】本題主要考查了函數單調性的應用，以及不等式的有解問題，其中解答中合理把不等式的有解問題轉化為函數的單調性與最值問題是解答的關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.1②.42【解析】求出的周期和對稱軸，再結合圖象即可.【詳解】由條件可知函數的圖象關于對稱軸對稱，由可知，，則周期，即，函數在區間中的所有零點之和即為函數與函數圖象的交點的橫坐標之和，當時，為單調遞增函數，，，且區間關于對稱，又∵由已知得也是的對稱軸，∴只需用研究直線左側部分即可，由圖象可知左側有7個交點，則右側也有7個交點，將這14個交點的橫坐標從小到大排列，第個數記為，由對稱性可知，則，同理，…，，∴.故答案為：，.12、②③【解析】由條件可得方程有兩個實數解，然后逐一判斷即可.【詳解】∵在上單調遞增，由條件②可知，即方程有兩個實數解；∵x+1=x無實數解，∴①不存在“遞增黃金區間”；∵的兩根為：1和2，不難驗證區間[1，2]是函數的一個“遞增黃金區間”；在同一坐標系中畫出與的圖象如下：由圖可得方程有兩個根，∴③也存在“遞增黃金區間”；在同一坐標系中畫出與的圖象如下：所以沒有實根，∴④不存在.故答案為：②③.13、-1【解析】由已知得，所以則，故答案.14、5【解析】設g（x）=f（x+t）-2x=x2+（2t-2）x+t2≤0．從而得到g（1）≤0且g（m）≤0，求得t的范圍，討論t的最值，代入m的不等式求得m的范圍，結合條件可得m的最大值【詳解】函數f（x）=x2，那么f（x+t）=x2+2tx+t2，對任意實數x∈[l，m]，都有f（x+t）≤2x成立，即有x2+（2t-2）x+t2≤0令g（x）=x2+（2t-2）x+t2，從而得到g（1）≤0，且g（m）≤0，由g（1）≤0可得，由g（m）≤0，即m2+（2t-2）m+t2≤0當時，；當時，綜上可得，由m為正整數，可得m的最大值為5故答案為5【點睛】本題考查不等式恒成立問題解法，注意運用二次函數的性質，考查運算求解能力，是中檔題15、kπ,π4【解析】根據正切函數性質求解、【詳解】由正切函數性質，由tanx+π4≥1得所以kπ≤x<kπ+π4，故答案為：[kπ,kπ+π416、【解析】根據題意，找出存在的點，如果找不出則需證明：不存在，，使得【詳解】①因為函數是奇函數，可找關于原點對稱的點，比如，存在；②假設存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函數為偶函數，，令，，則，存在故答案為：【點睛】關鍵點點睛：證明存在性命題，只需找到滿足條件的特殊值即可，反之需要證明不存在，一般考慮反證法，先假設存在，推出矛盾即可，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（i）不存在“和諧區間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區間”【解析】（1）利用來證得結論成立.（2）（i）通過證明方程只有一個實根來判斷出此時不存在“和諧區間”.（ii）對的取值進行分類討論，結合的單調性以及（1）的結論求得唯一的“和諧區間”.【小問1詳解】由已知當時，，得，所以當時，.【小問2詳解】（i）時，假設存在，則由知，注意到，故，所以在單調遞增，于是，即是方程的兩個不等實根，易知不是方程的根，由已知，當時，，令，則有時，，即，故方程只有一個實根0，故不存在“和諧區間”.（ii）時，假設存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區間”，同理，時，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時的定義域為，值域為，符合題意.若，當時，同理可得，舍去，當時，在上單調遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當時，，因為，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區間”.【點睛】對于“新定義”的題目，關鍵是要運用新定義的知識以及原有的數學知識來進行求解.本題有兩個“新定義”，一個是泰勒發現的公式，另一個是“和諧區間”.泰勒發現的公式可以直接用于證明，“和諧區間”可轉化為函數的單調性來求解.18、（1）2（2）【解析】取BC中點O，中點E，連結OE，OA，以O為原點，OD為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的正切值三棱錐的體積，由此能求出結果【詳解】取BC中點O，中點E，連結OE，OA，由正三棱柱的底面邊長為3，側棱，D是CB延長線上一點，且以O為原點，OD為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，則3，，0，，0，，0，，所以0，，3，，其中平面ABD的法向量1，，設平面的法向量y，，則，取，得1，，設二面角的平面角為，則，則，則，所以二面角的正切值為2由（1）可得平面，所以是三棱錐的高，且,所以三棱錐的體積：【點睛】本題主要考查了二面角的求解，及空間幾何體的體積的計算，其中解答中根據幾何體的結構特征，建立適當的空間直角坐標系，利用向量的夾角公式求解二面角問題是求解空間角的常用方法，同時注意“等體積法”在求解三棱錐體積中的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題19、（1）最小正周期為，對稱軸方程為（2）函數在上單調遞減，在上單調遞增；值域為【解析】（1）先通過降冪公式化簡成，再按照周期和對稱軸方程進行求解；（2）求出整體的范圍，再結合正弦函數的單調性求解單調區間和值域.【小問1詳解】；函數的最小正周期為，函數的對稱軸方程為；【小問2詳解】，，時，函數單調遞減，即時，函數在上單調遞減；時，函數在單調遞增，即時，函數在上單調遞增.，函數的值域為.20、（1）函數為奇函數，證明見解析（2）是中心對稱圖形，對稱中心坐標為【解析】（1）根據奇函數的定義，即可證明結果；（2）根據題意，由函數的解析式可得，即可得結論【小問1詳解】解：函數為奇函數證明如下：函數的定義域為R，關于原