滬科版八年級(jí)上第15章軸對(duì)稱(chēng)圖形與等腰三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)角平分線中常用的作輔助線的方法

因?yàn)榻堑钠椒志€已經(jīng)具備了全等三角形的兩個(gè)條件(角

相等和公共邊)，所以在處理角的平分線的問(wèn)題時(shí)，常作出

全等三角形的第三個(gè)條件，截兩邊相等(

SAS

)或向兩邊作垂

線段(

AAS

或

HL

)等來(lái)構(gòu)造全等三角形.方法1

作一邊的垂線段法構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形1.[新考法·截長(zhǎng)補(bǔ)短法]如圖，在四邊形

ABDC

中，∠

D

＝∠

B

＝90°，

O

為

BD

的中點(diǎn)，且

AO

平分∠

BAC

.

求證：(1)

CO

平分∠

ACD

；1234【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)

O

作

OE

⊥

AC

于點(diǎn)

E

.

∵∠

B

＝90°，

AO

平分∠

BAC

，∴

OB

＝

OE

.

∵點(diǎn)

O

為

BD

的中點(diǎn)，∴

OB

＝

OD

.

∴

OE

＝

OD

.

又∵∠

D

＝90°，∠

OEC

＝90°，∴

CO

平分∠

ACD

.

1234(2)

OA

⊥

OC

.

1234【點(diǎn)方法】證明角平分線的思路：1.

證明被角平分線分成的兩個(gè)角相等.2.

證明角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即只需

從要證的線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，再證明垂線

段相等即可.這樣

把證“某線是角的平分線”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為證“垂線段相等”的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

2.

證明角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即只需

從要證的線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，再證明垂線

段相等即可.這樣

把證“某線是角的平分線”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為證“垂線段相等”的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

1234方法2

作兩邊的垂線段法構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形2.[新考法·等面積法]如圖，點(diǎn)

F

，

G

是

OA

上兩點(diǎn)，點(diǎn)

M

，

N

是

OB

上兩點(diǎn)，且

FG

＝

MN

，△

PFG

和△

PMN

的面積相等.試判斷點(diǎn)

P

是否在∠

AOB

的平分線

上，并說(shuō)明理由.1234【解】點(diǎn)

P

在∠

AOB

的平分線上.理由如下：如圖，作

PD

⊥

OA

于點(diǎn)

D

，

PE

⊥

OB

于點(diǎn)

E

.

又∵

FG

＝

MN

，∴

PD

＝

PE

，∴點(diǎn)

P

在∠

AOB

的平分線上.1234【點(diǎn)方法】等線段證角平分線法就是利用角的內(nèi)部到角兩邊的距

離相等的點(diǎn)在角的平分線上這一定理，

通過(guò)證明角內(nèi)部

的點(diǎn)到角兩邊的距離相等從而得到點(diǎn)在角的平分線上，

即距離相等→角平分線.【點(diǎn)方法】等線段證角平分線法就是利用角的內(nèi)部到角兩邊的距

離相等的點(diǎn)在角的平分線上這一定理，

通過(guò)證明角內(nèi)部

的點(diǎn)到角兩邊的距離相等從而得到點(diǎn)在角的平分線上，

即距離相等→角平分線.1234方法3

補(bǔ)形法構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形3.

如圖，在△

AOB

中，

AO

＝

OB

，∠

AOB

＝90°，

BD

平

分∠

ABO

交

AO

于點(diǎn)

D

，

AE

⊥

BD

交

BD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E

.

求證：

BD

＝2

AE

.

1234【證明】如圖，延長(zhǎng)

AE

交

BO

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F

.

∵

AE

⊥

BE

，∴∠

AEB

＝∠

FEB

＝90°.∵

BD

平分∠

ABO

，∴∠

ABE

＝∠

FBE

.

又∵

BE

＝

BE

，∴△

ABE

≌△

FBE

(

ASA

).∴

AE

＝

FE

.

∴

AF

＝2

AE

.

∵∠

AOB

＝90°，∴∠

AOF

＝90°，∴∠

AOF

＝∠

BEF

＝90°，1234∴∠

OAF

＋∠

AFO

＝90°，∠

OBD

＋∠

AFO

＝90°.∴∠

OAF

＝∠

OBD

.

又∵

OA

＝

OB

，∠

AOF

＝∠

BOD

＝90°，∴△

AOF

≌△

BOD

(

ASA

).∴

AF

＝

BD

.

∴

BD

＝2

AE

.

1234方法4

翻折法構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形4.

(榮德原創(chuàng)題)如圖，△

ABC

為銳角三角形，

AD

為△

ABC

的中線，

DE

，

DF

分別是△

ADB

和△

ADC

的角平分

線，連接

EF

，求證：

BE

＋

CF

＞

EF

.

1234【證明】如圖，在

AD

上截取

DH

＝

BD

，連接

EH

，

FH

.

∵

AD

是

BC

邊上的中線，∴

BD

＝

CD

＝

DH

.

∵

DE

平分∠

ADB

，∴∠

BDE

＝∠

HDE

.

又∵

DE

＝

DE

，∴△

BDE

≌△

HDE

(

SAS

).∴

BE

＝

HE

.

123