滬科版八年級上第15章軸對稱圖形與等腰三角形集訓課堂練素養1.構造含30°角的直角三角形模型的方法

含30°角的直角三角形的性質揭示了直角三角形直角邊和斜邊的數量關系，在求線段(三角形的邊)長時，常考慮構造含30°角的直角三角形模型，利用含30°角的直角三角形斜邊、直角邊的數量關系求解.1.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝120°，

D

為

BC

的中點，

DE

⊥

AC

于點

E

，

AE

＝8.求

CE

的長.1234方法1

連接兩點，構造含30°角的直角三角形【解】如圖，連接

AD

.

∵

AB

＝

AC

，

D

為

BC

的中點，

在Rt△

ADE

中，∵∠

CAD

＝60°，1234∴∠

ADE

＝90°－∠

CAD

＝90°－60°＝30°.∴

AD

＝2

AE

＝2×8＝16.在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝120°，∴∠

B

＝∠

C

＝30°.∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADC

＝90°，∴

AC

＝2

AD

＝2×16＝32.∴

CE

＝

AC

－

AE

＝32－8＝24.1234方法2

延長兩邊(即補形)，構造含30°角的直角三角形2.

[新考法·補形法]如圖，在四邊形

ABCD

中，

AD

＝4，

BC

＝1，∠

A

＝30°，∠

B

＝90°，∠

ADC

＝120°.求

CD

的長.1234【解】如圖，延長

AD

，

BC

交于點

E

.

∵∠

A

＝30°，∠

B

＝90°，∴∠

E

＝60°，

AE

＝2

BE

.

又∵∠

ADC

＝120°，∴∠

EDC

＝60°.∴∠

ECD

＝60°.1234∴△

DCE

是等邊三角形.∴

CD

＝

CE

＝

DE

.

∵

AD

＝4，

BC

＝1，∴

BE

＝

BC

＋

CE

＝1＋

CD

，

AE

＝

AD

＋

DE

＝4＋

CD

.

∴4＋

CD

＝2(1＋

CD

)，解得

CD

＝2.1234方法3

作垂線，構造含30°角的直角三角形3.

如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

B

＝90°，

DC

∥

AB

，

AC

平分∠

BAD

，∠

DAB

＝30°.求證：

AD

＝2

BC

.

1234【證明】如圖，過點

C

作

CE

⊥

AD

交

AD

的延長線于點

E

.

∵

DC

∥

AB

，∠

DAB

＝30°，∴∠

DCA

＝∠

BAC

，∠

CDE

＝∠

DAB

＝30°.∴

CD

＝2

CE

.

1234∵

AC

平分∠

DAB

，∴∠

DAC

＝∠

BAC

，∴∠

DAC

＝∠

DCA

.

∴

AD

＝

CD

.

∴

AD

＝2

CE

.

∵

CE

⊥

AE

，

CB

⊥

AB

，∴∠

E

＝∠

B

＝90°.又∵∠

EAC

＝∠

BAC

，

AC

＝

AC

，∴△

EAC

≌△

BAC

(

AAS

).∴

BC

＝

CE

.

∴

AD

＝2

BC

.

1234【點方法】在同一個三角形中證明一條線段等于另一條線段的2

倍，

一是證明是直角三角形；二是證明較短的直角邊所

對的銳角等于30°.

【點方法】在同一個三角形中證明一條線段等于另一條線段的2

倍，

一是證明是直角三角形；二是證明較短的直角邊所

對的銳角等于30°.

12344.

[2024·池州十一中月考]如圖，點

P

是△

ABC

的邊

BC

上一點，

PC

＝2

PB

，∠

ABC

＝45°，∠

APC

＝60°.求

∠

ACB

的度數.1234【解】如圖，過點

C

作

CD

⊥

AP

于點

D

，連接

BD

.

∵∠

APC

＝60°，∴∠

PCD

＝30°，∠

DPB

＝120°.∴

PC

＝2

PD

.

又∵

PC

＝2

PB

，∴

PB

＝

PD

.

∴∠

PCD

＝∠

PBD

.

∴

BD

＝

CD

.

1234∵∠

ABC

＝45°，∴∠

ABD

＝15°.又∵∠

BAP

＝∠

APC

－∠

ABC

＝60°－45°＝15°，∴∠

ABD

＝∠

BAP

.

∴

AD

＝

BD

.

∴

AD

＝

CD

.

∴∠

ACB

＝∠

DCA

＋∠

PCD

＝45°＋30°＝75°.1234【點方法】計算三角形中有關角的度數時，

如果直接計算不出

來，或者找不