2024-2025學年湖南省常德市芷蘭實驗學校等多校九年級（上）第一次月考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知反比例函數的圖象經過點，那么該反比例函數圖象也一定經過點（）A． B． C． D．2．方程的解是（）A． B．C． D．3．在函數（k是常數，且）的圖象上有三點，則的大小關系是（）A． B． C． D．4．關于x的一元二次方程中，它的一個根為，則（）A． B． C． D．5．已知函數隨x的增大而減小，另有函數，兩個函數在同一平面直角坐標系內的大致圖象可能是（）A．B．C．D．6．某機械廠一月份生產零件50萬個，第一季度生產零件200萬個．設該廠二、三月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A． B．C． D．7．若一個直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積為（）A．12 B．10 C．7.5 D．68．某個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．如圖所示的是該臺燈的電流與電阻的關系圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（）A．當時，B．I與R的函數關系式是C．當時，D．當時，I的取值范圍是9．如圖，點A在反比例函數的圖象上，軸于點B，點C在x軸上，且．的面積為10，則k的值為（）A．6 B．7 C．8 D．910．《代數學》中記載，形如的方程，求正數解的幾何方法是：“如圖1，先構造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數解為．”小唐按此方法解關于x的方程時，構造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為64，則該方程的正數解為（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11．若函數是反比例函數，則m的值等于______．12．某班同學畢業時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1056張照片，如果全班有x名同學，根據題意，列出方程為______．13．在平面直角坐標系中，若反比例函數的圖象經過點，則k的值為______．14．如圖，已知A為反比例函數的圖象上一點，過點A作軸，垂足為B，若的面積為3，則k的值為______．15．已知a是關于x的一元二次方程的一個根，則代數式的值為______．16．已知a，b，c分別是的三邊，其中且關于x的方程有兩個相等的實數根，則的形狀為______．17．若關于x的方程有實數解，則k的取值范圍是______．18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數與AB相交于點D，與BC相交于點E，若，且的面積是12，則k的值為______．三、解答題：本題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19．（本小題6分）用適當的方法解方程：（1）；（2）．20．（本小題6分）先化簡，再求值：，其中x滿足．21．（本小題8分）關于x的一元二次方程．（1）如果方程有實數根，求k的取值范圍；（2）如果是這個方程的兩個根，且，求k的值．22．（本小題8分）如圖，已知是一次函數的圖象和反比例函數的圖象的兩個交點．（1）求反比例函數與一次函數的表達式；（2）求三角形AOB的面積．23．（本小題9分）學校的學生專用智能飲水機在工作過程：先進水加滿，再加熱至時自動停止加熱，進入冷卻期，水溫降至時自動加熱，水溫升至又自動停止加熱，進入冷卻期，此為一個循環加熱周期，在不重新加入水的情況下，一直如此循環工作，如圖，表示從加熱階段的某一時刻開始計時，時間x（分）與對應的水溫為函數圖象關系，已知AB段為線段，BC段為雙曲線一部分，點A為，點B為，點C為．（1）求出AB段加熱過程的y與x的函數關系式和a的值．（2）若水溫在時為不適飲水溫度，在內，在不重新加入水的情況下，不適飲水溫度的持續時間為多少分？24．（本小題9分）已知關于x的一元二次方程（1）若方程有一個解為0，求k的值；（2）求證：方程有兩個不相等的實數根；（3）若的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5，當是直角三角形時，求k的值．25．（本小題10分）將代數式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質解決問題，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數式求值、解方程、最值問題等都有廣泛的應用．我們定義：一個整數能表示成（是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，所以5是“完美數”．（1）數52______“完美數”（填“是”或“不是”）；（2）已知（是整數，k是常數）要使s為“完美數”，試求出符合條件的k值，并說明理由；（3）如圖，在中，，點P在邊AC上，從點A向點C以的速度移動，點Q在CB邊上以的速度從點C向點B移動．若點P，Q同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設的面積為，運動時間為t秒，求S的最大值．26．（本小題10分）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點B在反比例函數的第一象限內的圖象上，，動點P在x軸的上方，且滿足．（1）若點P在這個反比例函數的圖象上，求點P的坐標；（2）連接PO、PA，求的最小值；（3）若點Q是平面內一點，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標．

答案和解析1．【答案】C【解析】解：由題知，因為反比例函數的圖象經過點，所以．若兩個點在同一個反比例函數圖象上，則它們的橫、縱坐標的積（即k的值）相等．因為，故A選項不符合題意．因為，故B選項不符合題意．因為，所以C選項符合題意．因為，所以D選項不符合題意．故選：C．根據反比例函數圖象上點的坐標特征可知，同一個反比例函數圖象上點的橫、縱坐標的積（即k的值）相等，據此可解決問題．本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知同一個反比例函數圖象上點的橫、縱坐標的積（即k的值）相等是解題的關鍵．2．【答案】C【解析】解：直接因式分解得，解得．故選：C．在方程左邊兩項中都含有公因式x，所以可用提公因式法．本題考查了因式分解法解一元二次方程，當方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．3．【答案】C【解析】解：∵函數（為常數，且）中，∴函數圖象的兩個分支分別在一、三象限，在每一象限內y隨x的增大而減少，，，，，．故選：C．根據反比例函數的圖象與性質結合三點的橫坐標進行判斷即可．本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解題的關鍵．4．【答案】C【解析】解：把代入方程得．故選：C．直接把代入方程得到a、b、c的關系，從而可對各選項進行判斷．本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．5．【答案】B【解析】解：∵函數中y隨x的增大而減小，，且函數的圖象經過第二、四象限，∴函數的反比例系數大于零，∴反比例函數圖象經過第一、三象限，故選：B．先由函數中y隨x的增大而減小得到，且函數的圖象經過第二、四象限，然后可知函數的反比例系數大于零，從而得知反比例函數圖象經過第一、三象限，即可得到結果．本題考查了一次函數和反比例函數的圖象與系數間的關系，解題的關鍵是熟練掌握函數的性質．6．【答案】C【解析】解：依題意得二、三月份的產量為，．故選：C．主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量增長率），如果該廠二、三月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示二、三月份的產量，然后根據題意可得出方程．考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識．7．【答案】D【解析】解：，，或，所以，即三角形的兩條邊長分別3、5，所以第三邊長為，所以該三角形的面積．故選：D．先利用因式分解法解方程得到三角形的兩條邊長分別3、5，再利用勾股定理計算出第三邊長為4，然后根據三角形面積公式計算該三角形的面積．本題考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解題的關鍵．8．【答案】D【解析】解：設I與R的函數關系式是，∵該圖象經過點，，，與R的函數關系式是，故B不符合題意；當時，，，隨R增大而減小，∴當時，，當時，，當時，I的取值范圍是，故A、C不符合題意，D符合題意．故選：D．設I與R的函數關系式是，利用待定系數法求出，然后求出當時，，再由，得到I隨R增大而減小，由此對各選項逐一判斷即可．本題主要考查了反比例函數的實際應用，正確求出反比例函數解析式是解題的關鍵．9．【答案】C【解析】解：如圖，連接OA，∵反比例函數圖象在第一象限，，∵點A在反比例函數的圖象上，，，，，的面積為10，，即，解得：．故選：C．在反比例圖象上任意一點，從這一點分別向x、y軸作垂線，所圍成的四邊形的面積等于．根據比例函數k的幾何意義可得，根據可得，根據的面積為10列方程即可得答案．本題考查反比例函數k的幾何意義，正確得出是解題關鍵．10．【答案】A【解析】解：∵陰影部分的面積為64，，設，則，先構造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為3x的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數解為，故選：A．由題意得出，設，則，再根據題意先構造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為3x的矩形，得到大正方形的面積為，即可得解．本題考查了一元二次方程的應用，準確進行計算是解此題的關鍵．11．【答案】【解析】解：是反比例函數，，．故答案為．根據反比例函數的定義先求出m的值，再根據系數不為0進行取舍．本題考查了反比例函數的定義，重點是將一般式轉化為的形式．12．【答案】【解析】解：∵全班有x名同學，∴每名同學要送出張；又∵是互送照片，∴總共送的張數應該是．故答案為：．如果全班有x名同學，那么每名同學要送出張，共有x名學生，那么總共送的張數應該是張，即可列出方程．本題考查一元二次方程在實際生活中的應用．計算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關鍵．13．【答案】2【解析】解：∵反比例函數的圖象經過點，，解得：，，，故答案為：2．利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到，然后解關于m的方程即可．本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，掌握反比例函數是（為常數，）的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即是解題的關鍵．14．【答案】【解析】解：軸，，而，．故答案為：．利用反比例函數比例系數k的幾何意義得到，然后根據反比例函數的性質確定k的值．本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是，且保持不變．15．【答案】【解析】解：把代入，得，所以，所以故答案為：．把代入方程即可求得的值，然后將其整體代入所求的代數式并求值即可．本題考查了一元二次方程的解．解題時，逆用一元二次方程解的定義易得出所求式子的值，在解題時要重視解題思路的逆向分析．16．【答案】等腰三角形【解析】解：根據題意得，解得，，，為等腰三角形．故答案為等腰三角形．利用判別式的意義得到，解得，然后根據三角形的分類進行判斷．本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當時，方程有兩個相等的兩個實數根；當時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．17．【答案】【解析】解：當時，方程為，顯然有實數根；當，即時，，解得且；綜上，．故答案為：．分和兩種情況，其中時根據題意列出關于k的不等式求解可得．本題主要考查根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當時，方程無實數根．18．【答案】5【解析】解：∵四邊形OCBA是矩形，，設B點的坐標為，，，∵點D，E在反比例函數的圖象上，，，，．故答案為5．設B點的坐標為，根據矩形的性質以及，表示出E、D兩點的坐標，根據，求出B的橫縱坐標的積，進而求出反比例函數的比例系數．此題考查了矩形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數比例系數k的幾何意義，設B點的坐標為，根據，求出ab的值是解題的關鍵．19．【答案】解：（1），，，，，，，；（2），，，．【解析】（1）用配方法求解；（2）用公式法求解；本題考查了一元二次方程的解法，根據方程的特點、靈活選用解方程的方法是關鍵．20．【答案】解：；滿足，，或，，且，∴當時，原式．【解析】先根據分式混合運算法則進行化簡，然后解一元二次方程，求出x的值，再代入求值即可．本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式的加減乘除混合運算法則及運算順序是解答此題的關鍵．21．【答案】解：（1）∵方程有實數根，，解得：；（2）是這個方程的兩個根，，，，，解得：．【解析】（1）利用根的判別式進行求解即可；（2）由根與系數的關系可得，再整理所求的式子，代入相應的值運算即可．本題主要考查根的判別式，根與系數的關系，明確是一元二次方程的兩根時，是解答的關鍵．22．【答案】解：（1）把點代入得，，即；將代入，得，∴點A的坐標為，∴將點A，B的坐標代入一次函數中，得，解得，；（2）當時，，，∴點C的坐標為，即，．【解析】（1）根據圖象上的點滿足函數解析式，可得點的坐標，根據待定系數法，可得一次函數的解析式；（2）根據三角形的面積公式，三角形面積的和差，可得答案．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求解析式，三角形面積公式及三角形面積的和差，熟練的求解函數解析式是解本題的關鍵．23．【答案】解：（1）設直線AB的表達式為，則，即，將點B的坐標代入上式得：，解得，故直線AB的表達式為，設反比例函數的表達式為，將點B的坐標代入上式得：，解得，則反比例函數的表達式為，當時，即，解得，即；（2）當時，，解得，當時，，解得，則，即不適飲水溫度的持續時間為分．【解析】（1）用待定系數法即可求解；（2）當時，，解得，當時，，解得，則，即可求解．本題考查的是一次函數和反比例函數綜合運用，正確得出函數解析是解題關鍵．24．【答案】解：（1）把代入原方程得，解得；（2）在中，，，∴方程有兩個不相等的實數根；（3），即，解得，當BC為直角邊時，，解得，當BC為斜邊時，，解得：（不合題意，舍），綜上：k的值為12或3；【解析】（1）把代入原方程求解即可；（2）根據方程的系數結合根的判別式，可得出進而可證出方程有兩個不相等的實數根；（3）利用因式分解法可求出AB，AC的長，分BC為直角邊及BC為斜邊兩種情況，利用勾股定理可得出關于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三邊關系判定其是否構成三角形）即可得出結論．本題考查一元二次方程綜合，涉及一元二次方程根的情況與判別式關系，一元二次方程根與直角三角形結合等，熟練掌握一元二次方程相關定義與性質是解決問題的關鍵．25．【答案】是