最新北京市中考數學常考壓軸題

（含答案）

一.文藝復興時期，意大利藝術大師達.芬奇研究過用圓弧圍成的部

分圖形的面積問題.已知正方形的邊長是2,就能求出圖中陰影部分

的面積.

S

證明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2,S4=S2,S5=3,S6

=S4+S5,S陰影=S1+S6=S1+S2+S3=2.

【分析】利用圖形的拼割，正方形的性質，尋找等面積的圖形，即可

解決問題；

【解答】證明：由題意：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2,

S4=S2,S5=S3,S6=S4+S5,S陰影面積=$1+$6=$1+$2+53=2.

故答案為：S2,S3,S4,S5,2.

【點評】本題考查正方形的性質、矩形的性質、扇形的面積等知識,

解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

二.如圖，在AABC中，AB=AC,AE是BC邊上的高線，BM平分NABC

交AE于點M,經過B,M兩點的。。交BC于點G,交AB于點F,FB

為。0的直徑.

(1)求證：AM是。。的切線;

2

(2)當BE=3,cosC=5時，求。。的半徑.

【分析】(1)連結。比易證OM〃BC,由于AE是BC邊上的高線，從

而可知所以AM是。。的切線.

2EC

(2)由于AB=AC,從而可知EC=BE=3,由cosC=5=AC,可知：

5,15QMAQ

AC=2EC=2,易證△AOMS^ABE,所以BE-AB,再證明cosZAOM

25_15

=cosC=5,所以AO=2UnM,從而可求出0M=7

【解答】解：(1)連結0M.

?.?BM平分NABC

.*.Z1=Z2又OM=OB

.\Z2=Z3

A0M/7BC

?.?AE是BC邊上的高線

AAEIBC,

AAM1OM

...AM是。0的切線

(2)VAB=AC

ZABC=ZC,AE1BC,

，E是BC中點

，EC=BE=3

2EC

VcosC=5=AC

AC=2EC=2

VOM//BC,ZAOM=ZABE

/.△AOM^AABE

OMAO

XVZABC=ZC

...ZA0M=ZC

在RtAAOM中

2

cosZAOM=cosC=5,

型金

而無

.，.A0=i0M

57

AB=?OM+OB=

15

而AB=AC="T

.yOM=Ar

15

.*.0M=T

15

/.OO的半徑是7~

【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及銳角三角函數，相似三角形的

判定與性質，等腰三角形的性質等知識，綜合程度較高，需要學生綜

合運用知識的能力.屬于中考常考題型.

三.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的頂點為M,直線y=m與拋

物線交于點A,B,若AAMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A,

B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形,

線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂.

(1)由定義知，取AB中點N,連結MN,MN與AB的關系是MN±AB,

MN=5AB.

12

(2)拋物線y=2>對應的準蝶形必經過B(m,m),則m=2,

對應的碟寬AB是4.

5

(3)拋物線y=ax2-4a-?(a>0)對應的碟寬在x軸上，且AB

=6.

①求拋物線的解析式；

②在此拋物線的對稱軸上是否有這樣的點P(xp,yp),使得NAPB為

銳角，若有，請求出yp的取值范圍.若沒有，請說明理由.

【分析】(1)直接利用等腰直角三角形的性質分析得出答案；

(2)利用已知點為B(m,m),代入拋物線解析式進而得出m的值,

即可得出AB的值;

(3)①根據題意得出拋物線必過(3,0),進而代入求出答案；

1

②根據y=5x2-3的對稱軸上P(0,3),P(0,-3)時，NAPB為

直角，進而得出答案.

【解答】解：(1)MN與AB的關系是：MN1AB,MN=?AB,

如圖1,是等腰直角三角形，且N為AB的中點，

1

AMNIAB,MN=TAB,

1

故答案為：MN±AB,MN=lAB；

12

(2)?.?拋物線y=2式對應的準蝶形必經過B(m,m),

1

.\m=2m2,

解得：m=2或m=0(不合題意舍去)，

當m=2貝I」，2=2x2,

解得：x=±2,

貝ijAB=2+2=4；

故答案為：2,4；

(3)①由已知，拋物線對稱軸為：y軸，

5_

VjlO^y=ax2-4a-I(a>0)對應的碟寬在x軸上，且AB=6.

5

二?拋物線必過(3,0),代入y=ax2-4a-3(a>0),

_5

得，9a-4a-3=0,

解得：a=7,

???拋物線的解析式是:y=Sx2-3;

1

②由①知，如圖2,y=5x2-3的對稱軸上P(0,3),P(0,-3)

時，ZAPB為直角，

.??在此拋物線的對稱軸上有這樣的點P,使得NAPB為銳角，yp的取

值范圍是yp<-3或yp>3.

【點評】此題主要考查了二次函數綜合以及等腰直角三角形的性質，

正確應用等腰直角三角形的性質是解題關鍵.屬于中考常考題型.

四.在RtZkABC中，NACB=90°,CD是AB邊的中線，DELBC于E,

連結CD,點P在射線CB上(與B,C不重合)

(1)如果NA=30°

①如圖1,NDCB=60°

②如圖2,點P在線段CB上，連結DP,將線段DP繞點D逆時針旋轉

60°,得到線段DF,連結BF,補全圖2猜想CP、BF之間的數量關系，

并證明你的結論；

(2)如圖3,若點P在線段CB的延長線上，且NA=a(00<a<

90°）,連結DP,將線段DP繞點逆時針旋轉2a得到線段DF,連結

BF,請直接寫出DE.BF、BP三者的數量關系（不需證明）

【分析】（1）①根據直角三角形斜邊中線的性質，結合NA=30°,

只要證明4CDB是等邊三角形即可；

②根據全等三角形的判定推出4DCP四△DBF,根據全等的性質得出

CP=BF,

（2）如圖2,求出DC=DB=AD,DE〃AC,求出NFDB=NCDP=2a+

ZPDB,DP=DF,根據全等三角形的判定得出4DCP也△DBF,求出CP

=BF,推出BF-BP=BC,解直角三角形求出CE=DEtana即可.

【解答】解：（1）①?.?NA=30°,ZACB=90°,

.*.ZB=60°,

VAD=DB,

.*.CD=AD=DB,

AACDB是等邊三角形，

.,.ZDCB=60°.

故答案為60

②如圖1,結論：CP=BF.理由如下:

EP'B

圖1

VZACB=90°,D是AB的中點，DEIBC,ZA=a,

，DC=DB=AD,DE〃AC,

.?.NA=NACD=a,ZEDB=ZA=a,BC=2CE,

.?.NBDC=NA+NACD=2a,

NPDF=2a,

.?.NFDB=NCDP=2a-ZPDB,

???線段DP繞點D逆時針旋轉2a得到線段DF,

.*.DP=DF,

在ADCP和ADBE中

fDC=DB

<ZCDP=ZBDF

DP=DF,

.,.△DCP^ADBF,

，CP=BF,

CP=BF.

(2)結論：BF-BP=2DE?tana.

理由：VZACB=90°,D是AB的中點，DE±BC,NA=a,

，DC=DB=AD,DE〃AC,

ZA=ZACD=a,NEDB=NA=a,BC=2CE,

.?.NBDC=NA+NACD=2a,

VZPDF=2a,

NFDB=NCDP=2a+ZPDB,

???線段DP繞點D逆時針旋轉2a得到線段DF,

.\DP=DF,

在ADCP和△DBF中

'DC=DB

-ZCDP=ZBDF

DP=DF,

.,.△DCP^ADBF,

.\CP=BF,

而CP=BC+BP,

ABF-BP=BC,

在Rt^CDE中，ZDEC=90°,

DE

tanZDCE=CE,

/.CE=DEtana,

.\BC=2CE=2DEtana,

即BF-BP=2DEtana.

【點評】本題考查了三角形外角性質，全等三角形的性質和判定，直

角三角形的性質，旋轉的性質的應用，能推出4DCP名Z^BF是解此

題的關鍵，綜合性比較強，證明過程類似.屬于中考常考題型.

五.如圖，在直角坐標系中，矩形勿比'的頂點。在x軸的負半軸上，

點A在y軸正半軸上，矩形的面積為W2.把矩形OABC沿DE

翻折，使點8與點。重合，點。落在第三象限的G點處，作比Lx軸

于，，過七點的反比例函數y=k圖象恰好過DE的中點F.則k

X

=,線段曲的長為：.

【分析】連接〃。與口交于點0,過點0作QGLx軸，垂足為G,可

通過三角形全等證得面與龍的交點就是功的中點凡由相似三角

形的性質可得S△府&協，根據反比例函數比例系數的幾何意義可

求出k,從而求出SAM；,進而可以得到AB=\AE,即BE=3AE.由軸

對稱的性質可得0月=」如從而得到龐'=345；也就有/。=2料/反根

據△物少的面積可以求出力瓦力的值.易證四邊形勿以為矩形，從

而得到M=如，就可求出曲的值.

【解答】解：連接方。與口交于點0,過點。作QAUx軸，垂足為

N,如圖所示，

?.?矩形》比1沿小翻折，點〃與點0重合，

：.BQ=OQ,BE=EO.

?.?四邊形十回是矩形，

：.AB//CO,/BCO=/0AB=q$.

：,AEBQ=ADOQ.

在△龍0和aa?。中，

rZEBQ=ZDOQ

,BQ=OQ.

ZBQE=ZOQD

.,.△^WAWCASA).

：.EQ=DQ.

.?.點0是旗的中點.

,：ZQNO=ZBCO=^°,

.QN//BC.

.△夕如△。徽

2

^AOCB端）1第4

?S矩形0械=8近,

?S^OCB=S^OAB=4V2-

?S^ONQ=V2-

?點歹是皮的中點,

.點少與點0重合.

?S^ONF-V2"

?點分在反比例函數y=—±,

.煤=也

Z<0,

???S^OAE=2~V2-

：.AB=4AE.

:.BE=3AE.

由軸對稱的性質可得：OE=BE.

：.0E=3AE.0A=VOE2-AE2=242AE.

=

?S^OAE~^E—X2/義AEV2"

：.AE=\.

.?.勿=2?義1=2強.

?：/EHO=/H0A=/0AE=9G°,

四邊形》的是矩形.

:.EH=0A=2近.

故答案分別為：-2M、2g.

【點評】本題考查了反比例函數比例系數的幾何意義、軸對稱的性

質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、相似三角形的

判定與性質等知識，有一定的綜合性.屬于中考常考題型.

六.如圖1,在菱形被力中，對角線〃'與初相交于點。，45=13,

初=24,在菱形45切的外部以力方為邊作等邊三角形45E點分是對

角線劭上一動點(點夕不與點8重合)，將線段"'繞點力順時針方

向旋轉60°得到線段4%連接區/.

(1)求的長;

(2)如圖2,當點分在線段方。上，且點以F,。三點在同一條直

線上時，求證：AC=y/sAM；

(3)連接用/,若△/￡，!/的面積為40,請直接寫出的周長.

如圖1,在菱形加徵中，對角線亦與以相交于點。，相=13,BD

=24,在菱形力a7?的外部以46為邊作等邊三角形/座'.點分是對角

線以上一動點(點分不與點夕重合)，將線段〃'繞點4順時針方向

(1)求力。的長；

(2)如圖2,當點尸在線段〃。上，且點KF,。三點在同一條直

線上時，求證：AC=-/3AM；

(3)連接㈤%若△/可/的面積為40,請直接寫出△如泌的周長.

【分析】(1)在AT△如〃中，利用勾股定理物=廬行謂求解，

(2)由四邊形/頗是菱形，求出為等邊三角形，N〃=N

仍占60°，再求出N例。=90°,在RtZ^Q/中tanN〃=繪，求

AM

出AC.

(3)求出△/“儂△/跖，利用△/陽的面積為40求出M在利用

勾股定理AF—A/AC^+FO2={5?+42=V41，得出△AFM的周長為3V41?

【解答】解：(1)二?四邊形"切是菱形，

:.ACLBD,0B=0D=^BD,

,:BD=2A,

：.0B=12,

在Rt△如8中，

?.38=13,

3=VAB2-OB2=V132-122=5?

圖2

?.?四邊形四徵是菱形,

.,.初垂直平分AC,

：,FA=FC,/FAC=/FCA,

由已知/尸=4區乙例尸=60°,

同/為等邊三角形，

：.ZM=ZAFM=6Q°，

?.?點弘F,。三點在同一條直線上，

AZFAC+AFCA^AAFM=^°,

：.ZFAC=ZFCA^3Q°,

AZMAC=AMAF+AFAC=^°+30°=90°,

在RtZi/C〃中

tanNM—,

AM

tan60°—

AM

：.AC=4zAM.

(3)如圖，連接期

?二△4?是等邊三角形，

：.AE=AB,/EAB=60°,

由(2)知△//次為等邊三角形，

：.AM=AF,/例分=60°,

工/EAM=/BAF,

在△45￥和4力跖中，

'AE=AB

<ZEAM=ZBAF,

AM=AF

:."E儂△ABF(SAS),

?二△N"的面積為40,△/臍的高為力。

：.^BF*AO=^,BF=\6,

：.FO=BF-60=16-12=4

AF=^02+?02=V52+42=V41>

.?.△加物的周長為3代i.

【點評】本題主要考查四邊形的綜合題，解題的關鍵是靈活運用等

邊三角形的性質及菱形的性質.屬于中考常考題型.

七.在平面直角坐標系中xOy中，正方形ABCOAzBzCC,…，

按如圖的方式放置.點4,4,A…、4和點G,C,G…、口分別落

在直線y=x+l和x軸上.拋物線乙過點4、笈，且頂點在直線y=x+\

上，拋物線乙過點4、氏，且頂點在直線y=x+l上，…，按此規律，

拋物線（過點4、Bn,且頂點也在直線y=x+l上，其中拋物線〃交

正方形44G。的邊4〃于點仄,拋物線〃交正方形4與GG的邊4區

于點〃2…，拋物線￡"交正方形41411nC-i的邊AB于點、Dn（其中

且〃為正整數）.

（1）直接寫出下列點的坐標：,&,氏；

（2）寫出拋物線乙，、A的解析式，并寫出其中一個解析式的求

解過程，再猜想拋物線〃的頂點坐標；

（3）①設A山尸k?DB,4〃=&?@氏，試判斷左與人的數量關系

并說明理由；

②點〃、〃八…，功是否在一條直線上？若是，直接寫出這條直線

與直線y=x+l的交點坐標；若不是，請說明理由.

八.在平面直角坐標系中X八中,正方形4八GO,平5CG區GG,…,

按如圖的方式放置.點4,A2,4…、4和點G,G,G…、口分別落

在直線y=x+1和x軸上.拋物線￡i過點4、Bi,且頂點在直線y=x+l

上，拋物線5過點A、Bz,且頂點在直線y=x+l上，…，按此規律，

拋物線(過點4、氏，且頂點也在直線y=x+l上，其中拋物線〃交

正方形4AGO的邊44于點外拋物線〃交正方形4反CG的邊4區

于點〃2…，拋物線￡"交正方形4氏［nC,-l的邊4員于點Dn(其中心2

且〃為正整數).

(1)直接寫出下列點的坐標：B\(1,1),氏(3,2),

員(7,4)；

(2)寫出拋物線乙，、A的解析式，并寫出其中一個解析式的求

解過程，再猜想拋物線停的頂點坐標(3義2"-2-1,3X2".)；

(3)①設4〃=A?〃身，4〃=&?@氏，試判斷左與人的數量關系

并說明理由；

②點〃、〃八…，功是否在一條直線上？若是，直接寫出這條直線

與直線y=x+l的交點坐標；若不是，請說明理由.

【分析】（1）先求出直線y=x+l與y軸的交點坐標即可得出4

的坐標，故可得出小?的長，根據四邊形4AG0是正方形即可得出

的坐標，再把的橫坐標代入直線尸x+1即可得出4的坐標，

同理可得出反，笈的坐標；

（2）根據四邊形46Go是正方形得出G的坐標，再由點4在直線

y=x+l上可知4（1,2）,民的坐標為（3,2）,由拋物線〃的

對稱軸為直線x=2可知拋物線心的頂點為（2,3）,再用待定系

數法求出直線心的解析式；根據笈的坐標為（7,3）,同上可求

得點4的坐標為（3,4）,拋物線心的對稱軸為直線x=5,同理

可得出直線5的解析式；

（3）①同（2）可求得心的解析式為7=（才-2）2+3,當y=l時，

求出x的值，由〃幾可得出發的值，同理可得出人的

值，由此可得出結論；

②由①中的結論可知點〃、口、…，〃是否在一條直線上，再用待

定系數法求出直線4〃的解析式，求出與直線y=x+1的交點坐標

即可.

【解答】解：（1）:?令x=0,則y=l,

(0,1),

?.?四邊形44Go是正方形，

.?.46=1,

:.B\(1,1).

\?當x=l時'，y=l+l=2,

...民(3,2)；

同理可得，&(7,4).

故答案為：(1,1),(3,2),(7,4)；

(2)拋物線〃、心的解析式分別為：尸-(公2)2+3；,尸-5

(x-5)2+6；

拋物線〃的解析式的求解過程：

對于直線尸x+1,設x=0,可得尸1,Ai(0,1),

?.?四邊形44G0是正方形，

：.G(1,0),

又,點4在直線y=x+\上，

.,.點4(1,2),

又二?區的坐標為(3,2),

拋物線〃的對稱軸為直線x=2,

拋物線〃的頂點為(2,3),

設拋物線5的解析式為：y=a(x-2)2+3,

?.乜過點民(3,2)，

.?.當x=3時-，y=2,

:.2=a(3-2)2+3,解得：a=-1,

.?.拋物線〃的解析式為：y=-(X-2)2+3；

拋物線%的解析式的求解過程：

又???區的坐標為(7,3),同上可求得點4的坐標為(3,4),

二.拋物線乙的對稱軸為直線x=5,

拋物線乙的頂點為(5,6),

設拋物線心的解析式為：y=a(x-5)2+6,

?.乜過點區(7,4),

二.當x=7時，y=-4,

.?.4=aX(7-5)2+6,解得：

拋物線乙的解