1.3探索三角形全等的條件（一~三）【推本溯源】1.由上一節課我們已經知道了全等三角形的性質，它們的對應邊相等、對應角相等；那當兩個三角形的角和邊具備什么樣的條件時，兩個三角形就相等呢？想一想：（1）當兩個三角形的1對邊或角相等時，它們全等嗎？（2）當兩個三角形的2對邊或角分別相等時，它們全等嗎？（3）當兩個三角形的3對邊或角分別相等時，它們全等嗎？動手做一做：按下列作法，用直尺和圓規作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：1．作∠MAN＝∠α．2．在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b．3．連接BC，△ABC就是所求作的三角形．通過自己實踐后發現：（簡寫成“”或“”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．2.用紙板擋住了三角形的一部分，小明根據所學知識很快就畫出了一個與原來完全一樣的三角形，他的原理是什么？

動手做一做：按下列作法，用圓規和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一側分別作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN相交于點C．△ABC就是所求作的三角形．通過自己實踐后發現：（簡寫成“”或“”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【解惑】例1：如圖，為測量池塘兩側A，B兩點間距離，在地面上找一點C，連接，，使，然后在的延長線上確定點D，使，得到，通過測量的長，就能得出的長．那么的理由是（

）

A． B． C． D．例2：如圖，，，三點在同一直線上，，，．求證：．

例3：如圖，要測量河兩岸相對的兩點、的距離，先在的垂線上取兩點、，使，再定出的垂線，可以證明，得，因此，測得的長就是的長．判定的理由是（

）A． B． C． D．例4：如圖，，點D在邊上，，，和相交于點O．求證：．例5：在中，，，D是射線上一動點，連接，以為邊作，在右側，與過點A且垂直于的直線交于點E，連接．(1)當都在的左側時，如圖①，線段之間的數量關系是_________；(2)當在的兩側時，如圖②，線段之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明；(3)當都在AC的右側時，如圖③，線段之間有怎樣的數量關系？直接寫出你的猜想，不必證明．【摩拳擦掌】1．（2023春·上海徐匯·七年級上海市第二初級中學?？茧A段練習）如圖，已知，，則的依據是（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川成都·統考二模）如圖，與相交于點O，且O是的中點，則與全等的理由是（）A． B． C． D．3．（2022秋·七年級單元測試）如圖，為了測量點到河對面的目標之間的距離，在點同側選擇一點，測得，，然后在處立了標桿，使，，得到，測得的長就是，兩點間的距離，這里判定的理由是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·云南楚雄·八年級?？茧A段練習）如圖，小亮書上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據所學知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．（2023春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習）如圖，中，，平分，則_____≌_____．

6.（2023秋·吉林長春·八年級統考期末）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽的工具（卡鉗）．在圖中，若測量得，則工件內槽寬_________．

7．（2023春·陜西咸陽·七年級咸陽市實驗中學校考階段練習）如圖，在中，是上的中線，點F、E分別在和的延長線上，且，連接、．試說明：．8．（2023·廣東廣州·統考二模）為了制作燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖所示，，，，證明：．

9．（2023春·陜西西安·七年級西安市遠東第二中學校考階段練習）如圖，小剛站在河邊的A點處，在河對岸的B處有一電線塔（小剛的正北方向），他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了20步到達一棵樹C處，接著再向前走了20步到達D處，然后再左轉直行，當小剛看到電線塔B、樹C與自己現處的位置E在一條直線時，他共走了120步.

(1)根據題意，畫出示意圖；(2)若小剛一步約米，請求出A、B兩點間的距離（寫出推理過程）.10．（2023·云南楚雄·統考三模）如圖，和相交于點C，，．求證：．

【知不足】1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，，于點A，于點B，且，點P從B向A運動．每分鐘走，點Q從B向D運動，每分鐘走，P、Q兩點同時出發，運動（

）分鐘后，與全等．A．2或4 B．3 C．4 D．4或62．（2023秋·八年級單元測試）如圖，一塊三角形的玻璃破成三片，一位同學很快拿著其中一片玻璃說：根據所學知識就能配出一個與原三角形完全一樣的圖形．他這樣做的依據是（

）A． B． C． D．3．（2023春·全國·七年級專題練習）小剛把一塊三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊，現要到玻璃店取配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去4．（2023春·全國·七年級專題練習）中，，邊上的中線，則邊的取值范圍是__．5．（2021春·廣東河源·七年級統考期末）如圖，在和中，，，點A，F，C，D在同一條直線上且．請說明．

6．（2023·云南昆明·統考一模）如圖，點、、、在同一直線上，，，．求證：．

7．（2023·云南昭通·統考二模）如圖，點A，F，C，D在同一直線上，，，．求證：．

8．（2023·云南昆明·統考二模）“倍長中線法”是解決幾何問題的重要方法．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，具體做法是：如圖，是的中線，延長到，使，連接，構造出和．求證：．

【一覽眾山小】1．（2023秋·吉林長春·八年級統考期末）如圖，在用尺規作圖得到過程中，運用的三角形全等的判定方法是（

）A． B． C． D．2．（2023·山東菏澤·統考一模）如圖，，于A，于，且，點從向A運動，每秒鐘走，點從向運動，每秒鐘走，點，同時出發，運動______秒后，與全等．3．（2022秋·湖北恩施·八年級?？茧A段練習）如圖，要測量池塘兩端，的距離，可先在平地上取一個可以直接到達，兩點的點，連接并延長到點，使，連接并延長到點，使，連接，那么量出的長就等于的長，這是因為，而這個判定全等的依據是______（填字母）．4．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┤鐖D，點，，，在同一條直線上，，，．求證：．

5．（2023秋·八年級課時練習）如圖，在中，點是上一點，，過點作，且，連接，．

(1)求證：；(2)若是的中點，的面積是20，求的面積．6．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，，射線平分，交于點E，點F在邊的延長線上，，連接．(1)求證：．(2)若，求的度數．7．（2022秋·福建泉州·八年級?？茧A段練習）如圖，在的正方形網格中，的頂點都在正方形網格的格點上請你在圖①和圖②中分別畫出一個三角形，同時滿足以下兩個條件：(1)以點A為一個頂點，另外兩個頂點也在正方形網格點上；(2)與全等，且不與重合．8．（2023·云南昆明·?？既＃┤鐖D，在和中，，，．求證：．

9．（2022春·七年級單元測試）如圖，＝，＝，點在邊上，＝，和相交于點．求證：．

10．（2022秋·七年級單元測試）如圖，在中，，于點，于點，，與相交于點．求證：．

11．（2023·遼寧鞍山·統考一模）如圖，在中，，，連接，E為邊上一點，，求證：．12．（2023秋·湖南常德·八年級統考期末）如圖，在中，，，是邊上的中線，過點作于點，過點作交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)若，求的面積．13．（2022·遼寧葫蘆島·八年級?？计谥校?