2021北京中考數學一模分類匯編——代數綜合12021xOyyax﹣2+﹣a0別過點t+2xAB，B之間的部分為圖象G（包括，B1）求拋物線的頂點坐標；2）記圖象G上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為m．當a2時，若圖象G為軸對稱圖形，求m的值；若存在實數，使得m2，直接寫出a的取值范圍．2222021?西城區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax﹣2ax+1（a≠0）與y軸交于點，過點A作x軸的平行線與拋物線交于點B．1）直接寫出拋物線的對稱軸；2AB4，求拋物線所對應的函數解析式；（3）已知點（+4，1Q（0，a+1恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍．第1頁（共7頁）32021?東城區一模）在平面直角坐標系xOy中，點（xyBx，y）在拋物線y112222＝﹣x（a﹣）xa+2a上，其中xx．121）求拋物線的對稱軸（用含a2當xa時，求y的值；若y＝y0x的值（用含a1213）若對于xx＜﹣4，都有y＜ya的取值范圍．121242021?朝陽區一模）在平面直角坐標系xOyy＝+aa0軸是直線x＝．1）求拋物線yax++﹣4a0）的頂點坐標；2）當﹣2≤≤3時，y的最大值是5a的值；（3）在（2）的條件下，當t≤x≤時，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．第2頁（共7頁）52021?豐臺區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣（+1）x．1）若拋物線過點（202Mx，y（xy）為拋物線上兩個不同的點．1122當x+x＝﹣4時，y＝ya的值；1212若對于x＞x≥﹣，都有y＜ya的取值范圍．12122262021xOyA是拋物線y＝﹣x+2mx﹣m+2m+1的頂點．1）求點A的坐標（用含m2）若射線OA與x軸所成的銳角為°，求m的值；3（04個單位得到點Q只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．第3頁（共7頁）72021?通州區一模）已知二次函數y＝2+1a01）求此二次函數圖象的對稱軸；2x軸交于不重合兩點x0x0xx1212且滿足x＜﹣2xa的取值范圍．1282021xOyy＝2+a0x得的線段長度為4．1）求拋物線的對稱軸；2c的值（用含a3x3x3x＜xx（x2121215）≤0a的取值范圍．第4頁（共7頁）92021?平谷區一模）已知關于x的二次函數y＝x2mx﹣．1）當拋物線過點（2，﹣）時，求拋物線的表達式，并求它與y軸的交點坐標；2）求這個二次函數圖象的對稱軸（用含m3）若拋物線上存在兩點a，b，﹣b＜0b0時，總有ab0，求m的取值范圍．102021?順義區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝2﹣ax+3a（a＞0）與y軸交于點A．1）求點A和拋物線頂點的坐標（用含a2＝﹣ax+3a與拋物線＝4ax+3aG縱坐標都為整數的點叫做整點．當a1時，結合函數圖象，求區域G中整點的個數；當區域G中恰有6個整點時，直接寫出a的取值范圍．第5頁（共7頁）222021xOyyx﹣bxb﹣b0點（m，1）用含b的代數式表示拋物線頂點的坐標；2）若拋物線經過點0，0＜＜3n的取值范圍；3≤m≤5時，n2，結合函數圖象，直接寫出b的取值范圍．2021xOyx的二次函數yx2tx+1．1）求該二次函數圖象的對稱軸；2t2m（+3yx﹣txmn的大小；23xy（xyyx﹣tx1x＜311221且x＝，都有yyt的取值范圍．212第6頁（共7頁）2021?延慶區一模）在平面直角坐標系xOy中，直線：y＝﹣2x與y軸交于點，與x軸交于點B，二次函數的圖象過AB兩點，且與x軸的另一交點為點BC＝；1）求點C的坐標；2PxyPxyxx211122212有y＞y．12求二次函數的表達式；A在拋物線上的對稱點為點DD之間的部分為圖象C，Dy＝﹣k0Gk的取值范圍．第7頁（共7頁）2021北京中考數學一模分類匯編——代數綜合12021xOyyax﹣2+﹣a0別過點t+2xAB，B之間的部分為圖象G（包括，B1）求拋物線的頂點坐標；2）記圖象G上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為m．當a2時，若圖象G為軸對稱圖形，求m的值；若存在實數，使得m2，直接寫出a的取值范圍．22【分析】1）＝ax2axa2變形為ya（﹣1）2，即可得到頂點坐標；2a＝2時，拋物線對稱軸＝1，由圖象G為軸對稱圖形，可得t的值，從而求出、B坐標，得到m的值；分四種情況討論：≤﹣1，﹣1≤00＜1t1，根據m2分別列出方程，由t的范圍即可求出a的范圍．22【解答】1）＝ax2axa2a（﹣1）2，∴拋物線y＝2+a2的頂點為（1，﹣22當a2時，y2x4x，拋物線對稱軸x＝，G為軸對稱圖形，M（0N（+201t+21，＝0，M，0）和點N+20x軸的垂線，交拋物線于點A，A00B20∵頂點為（1，﹣2m＝﹣（﹣2）＝；M（0）和點t+20x軸的垂線，交拋物線于點AB，22A，at﹣at+a2（+2，a+2）﹣2（+2）a2又a0，拋物線對稱軸x＝，（一）當t+21≤﹣1時，圖象G上A的縱坐標的值最大，B的縱坐標的值最小，22at﹣ata2）﹣[at+2）﹣2（t）+﹣＝2，t，第1頁（共22頁）≤﹣1，a≤；＜＜+2t+21≤﹣1t0G上A的縱坐標的值最大，頂點縱坐標的值最小，∴（at2ata﹣）﹣（﹣2）＝2，a＝，又﹣＜≤，∴＜a2；（三）當t1t+2+21＞﹣t0t＜1時，圖象G上B的縱坐標的值最大，頂點縱坐標的值最小，at+22a+2a2﹣（﹣）＝2，a＝，又0＜1，∴＜a2；（四）當t1時，圖象G上B的縱坐標的值最大，A的縱坐標的值最小，22at+2）2a+2a2﹣（at2ata﹣）＝2，＝又≥，a≤，，綜上所述，若存在實數t，使得m＝20＜≤2．【點評】本題考查二次函數知識的綜合應用，難度較大，解題的關鍵是分類討論圖象G上縱坐標的最大值與最小值列方程．2222021?西城區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax﹣2ax+1（a≠0）與y軸交于點，過點A作x軸的平行線與拋物線交于點B．1）直接寫出拋物線的對稱軸；2AB4，求拋物線所對應的函數解析式；（3）已知點（+4，1Q（0，a+1恰有一個公共點，結合第2頁（共22頁）函數圖象，求a的取值范圍．【分析】1）根據拋物線對稱軸公式即可得；2）根據題意求得a＝±2，即可求得拋物線所對應的函數解析式；（3）根據點（+4，1Q（0，a+1恰有一個公共點，結合函數圖象，即可求a的取值范圍．22【解答】1）∵拋物線y＝ax2ax+1a≠∴拋物線的對稱軸為直線xa；2）由題意可知拋物線的對稱軸為直線＝±2，a＝±2，22∴拋物線所對應的函數解析式為y＝x8x或y＝﹣2x8x+1；3＞0時，拋物線過點（+41）時，則＝a，解得＝4，Q（，5此時，拋物線與線段有一個公共點．當a0時，拋物線過點（a+4，）時，a＝0，解得a＝﹣4，此時，Q（，﹣3有一個公共點；綜上所述，當0＜≤4或﹣≤a0時，拋物線與線段恰有一個公共點．【點評】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數的圖象及性質，能對a進行分類討論，并能數形結合解決函數與線段的交點問題是解題的關鍵．32021?東城區一模）在平面直角坐標系xOy中，點（xyBx，y）在拋物線y1122第3頁（共22頁）22＝﹣x（a﹣）xa+2a上，其中xx．121）求拋物線的對稱軸（用含a2當xa時，求y的值；若y＝y0x的值（用含a1213）若對于xx＜﹣4，都有y＜ya的取值范圍．1212【分析】1）拋物線的對稱軸x，計算即可；2222將xa＝﹣x2a2xa+2a若yy0x+1222a2x﹣a+2a0，解方程并根據x＜x，即可得出x的值．1213x＜﹣2xa﹣1當a≥﹣111xx＜a1xa﹣＜xxx＜﹣4計121212算即可；當a＜﹣1時，令x＝a﹣1，x＝﹣2，此時xx＜﹣4，但y＞y，不符合121212題意．【解答】1）拋物線的對稱軸為直線xa﹣；222當xa時，y＝﹣a（a﹣）aa+2a222＝﹣aa2aa+2a0；當y＝y0時，﹣x2a2）﹣a+2a0，221222x﹣（2a2x+a﹣2＝0，∴（﹣a+2xa）＝0，x＜x，12x＝﹣2；3）方法一、當a≥﹣1x＜xxx＜﹣4，1212x＜﹣2，只需討論x＜﹣1的情況．11若x＜x＜a1，12xa﹣1時，yx的增大而增大，y＜y，符合題意；12若x＜﹣1x，12a1≥﹣2，第4頁（共22頁）2a﹣）≥﹣4，x+x＜﹣4，12x+x＜2a112x＜（a1）﹣x．12x2（﹣1）﹣x時，y＝yx＜﹣1時，yx的增大而增大，212y＜y，符合題意．12當a＜﹣1時，令x＝﹣1x＝﹣2，此時xx＜﹣4yy，不符合題意；121212綜上所述，a的取值范圍是≥﹣1．方法二、22yy＝﹣x（a﹣）xx﹣（a﹣）x＝（x﹣xx+x）2a2xx）121122212112＝（xxa﹣﹣x﹣x）＜0，12122a2x+x，12x+x＜﹣4，122a2≥﹣4，a≥﹣1．【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系、二次函數圖象上的點的坐標特點、二次函數與一元二次方程的關系及一元一次不等式等知識點，熟練掌握二次函數圖象上的點的坐標特點及二次函數的性質是解題的關鍵．42021?朝陽區一模）在平面直角坐標系xOyy＝+aa0軸是直線x＝．1）求拋物線yax++﹣4a0）的頂點坐標；2）當﹣2≤≤3時，y的最大值是5a的值；（3）在（2）的條件下，當t≤x≤時，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．【分析】1）利用xa和b的關系，再將其代入原解析式即可；2）分兩種情況討論，利用拋物線的對稱性即可求解；3）分類討論，利用二次函數的性質求解即可．【解答】1x1代入拋物線yax++﹣4第5頁（共22頁）＝aba4＝ab﹣，∵對稱軸是直線x1．1，b＝﹣2，y2ab4＝a﹣a﹣＝﹣4，∴拋物線y＝bxa4a≠）的頂點坐標為（1，﹣42a＜0時，拋物線開口向下，y的最大值是﹣4，∵當﹣2x≤3時，y的最大值是5，a0不合題意；＞0時，拋物線開口向上，∵對稱軸是直線x1.1到﹣2的距離大于1到3的距離，x＝﹣2時，y的值最大，y4a2ba4＝a﹣b﹣＝5，將b＝﹣a代入得，a1；3t0a1，b＝﹣2＝﹣2，222y的最大值是m＝t﹣2+1﹣＝t﹣23，最小值是＝（t+1）2+1）﹣3，m﹣＝3，22t﹣2﹣3[（+1）2（+1）﹣3]3，解得：＝﹣1；②t1y的最大值是m＝（t+12t）﹣3，最小值是n＝﹣，m﹣＝3，∴（+12（+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：＜≤22y的最大值是mt2t+14t2﹣3，最小值是n＝﹣4，mnt﹣﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：＝±+1≥122y的最大值是m＝（t+1）2t）﹣3，最小值是nt2﹣，第6頁（共22頁）22mn＝（+1）2（+1）﹣3﹣（t2﹣）＝3，解得：t2；綜上，t的值為﹣1或2．【點評】本題考查的是二次函數的最值，要求學生非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點所代表的意義、圖象上點的坐標特征等．52021?豐臺區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣（+1）x．1）若拋物線過點（202Mx，y（xy）為拋物線上兩個不同的點．1122當x+x＝﹣4時，y＝ya的值；1212若對于x＞x≥﹣，都有y＜ya的取值范圍．1212【分析】（1）把點（2，0）代入拋物線y＝ax﹣（a+1）x，求出解析式，再利用對稱軸公式計算即可；2x+x＝﹣4yyxyxy12121122a即可；3）利用二次函數的性質，即可求得．【解答】1）∵函數圖象過點（，004a2（+1a1，yx﹣2x，對稱軸x＝，∴二次函數的對稱軸為直線x＝．2∵x+x＝﹣4時，y＝y，1212二次函數的對稱軸為直線x＝﹣，∴∴，．由題意可知，對于任意的x≥﹣2y隨x的增大而減小，從而：，解得：．第7頁（共22頁）【點評】本題考查了二次函數的性質，掌握性質是解題的關鍵．2262021xOyA是拋物線y＝﹣x+2mx﹣m+2m+1的頂點．1）求點A的坐標（用含m2）若射線OA與x軸所成的銳角為°，求m的值；3（04個單位得到點Q只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．【分析】1）直接將解析式配成頂點式，可以求得點A坐標；2OA與x軸夾角為45A坐標與縱坐標相等，或者橫坐標與縱坐標互為相反數，同時，也可以發現點A在直線y2x上運動；（3）先由平移知識，可以得到Q點坐標，且PQ∥x軸，畫出草圖，可以發現，頂點A所在直線y＝x也經過PA與PmA沿直線y＝x向上運動時，m值越來越大，最大值位置是當拋物線剛好經過Q點時，同時，要注意排除拋物線與直線的兩個交點均落在線段上的特殊情況．222【解答】1）∵y＝﹣x+2mx﹣m+2m+1＝﹣（xm）+2m+1，（m2m+12＝m，＝2m+1，消掉＝2+1，A在直線y2x上運動，A所在象限可能為第一、第二、第三象限，OA與x軸所成的夾角為°，∴可以分兩類討論，當A在第一、第三象限時，＝2m+1，m＝﹣，當A在第二象限時，m+2m+10，m＝，m＝﹣1或；30，）向右平移4個單位長度得到Q，則Q（，1PQx軸第8頁（共22頁）∵拋物線與線段只有一個交點，且拋物線頂點A在直線y＝x上運動，1可得，當頂點A與P點重合時，符合條件，此時m＝0，2A沿直線y＝x均有兩個交當拋物線經過Q點時，即當x4y＝1時，﹣（﹣m+2m+11，m＝2或，當m＝2時，拋物線為y＝﹣（x﹣）+5，它與線段的交點為P和Q，有兩個交點，不合題意，舍去，當m＝8時，拋物線對稱軸右側的部分剛好經過點Q，符合題意，∴當0≤m≤8，且m≠2時，拋物線與線段只有一個交點【點評】此題考查的是二次函數綜合題，主要考查的是數形結合思想，根據題意，充分挖掘題目中的數據參數，是畫圖的關鍵，根據圖象，判斷臨界位置，即可解決問題．72021?通州區一模）已知二次函數y＝2+1a01）求此二次函數圖象的對稱軸；2x軸交于不重合兩點x0x0xx1212第9頁（共22頁）且滿足x＜﹣2xa的取值范圍．12【分析】1）由二次函數的對稱軸x，求出對稱軸x1；2xxxx6﹣x1212a的取值范圍．【解答】1）∵yax﹣ax+1（≠0aa，＝﹣2ac＝，∴函數的對稱軸為：x2）由求根公式得：＝1；＝＝＝，＝，x+x＝2，12x＜﹣2x，12x+2x＜，12即xxx6，122x＜＜4，∵二次函數的圖象與x軸交于不重合兩點M（x，x012∴△＝4a4a0，解得?：a1或a0，當a1時，2+a1，8a，解之得a＞1或第頁（共22頁）當a0時，2+a0．8a＞6a恒成立，a0的時候，x2需要小于4，所以x＝4時應該保證＜016a8a+10，a．a的取值范圍：＞1或a．222）＝ax2ax+1ax﹣）﹣a+1，對稱軸為x＝，頂點坐標為（1，﹣+1x+x＝2，12又x＜﹣2x，12解得：x＜，當a0時，二次函數開口向上，如圖：二次函數的圖象與x軸交于不重合兩點Mx0（x，12∴頂點在x軸的下方，＝4時，y0，則，解得：a1；當a0時，二次函數開口向下，如圖：第頁（共22頁）頂點在x軸的上方，x4時，y＜，則，解得：a．a的取值范圍：＞1或a．【點評】0，解不等式等知識．關鍵是二次函數的應用．82021xOyy＝2+a0x得的線段長度為4．1）求拋物線的對稱軸；2c的值（用含a3x3x3x＜xx（x2121215）≤0a的取值范圍．【分析】1）由二次函數的對稱軸公式，求出對稱軸x1；2）根據對稱軸求出拋物線于x軸的交點坐標，即可得出結論；3）先判斷出點，MN關于拋物線的對稱軸對稱，再用xx5）≤0，判斷出x≤121﹣3或0≤≤1，再用判別式判斷出a＞0或a＜﹣，用a表示出x，再分兩種情況解【解答】1）∵yax﹣axc（≠0∴函數的對稱軸為直線x＝1；2）由（1）知，拋物線的對稱軸為直線x＝，第頁（共22頁）∵拋物線y＝2+ca0x軸截得的線段長度為4，x軸的交點為（﹣1030ya（+1x3）＝ax2﹣3，c＝﹣3；3）∵點M（x3Nx3）為拋物線上不重合兩點（其中xx1212M，N關于對稱軸x＝1對稱，1，x＝﹣x，∴21x（x5）≤0，12x（﹣x﹣）≤0，11∴﹣xx+3）≤0，11x（x+3）≥，11x≤﹣3或x≥0，11x＜x，12x＜，x≤﹣3或0x1，1122x、x是方程ax﹣ax+＝3的根，即ax2ax﹣a﹣＝0的兩個根，12∴△＝16a4a4a+3）＞0，a0或a，x＝＝，當a0時，解不等式≤﹣3得，0≤≤；即0a≤；當a時，解不等式組0≤∴﹣≤a1得，≥﹣1，第頁（共22頁）即0a≤或﹣≤a．【點評】此題主要考查了拋物線的對稱軸公式，拋物線的性質，確定出點M，N關于對稱軸對稱是解本題的關鍵．92021?平谷區一模）已知關于x的二次函數y＝x2mx﹣．1）當拋物線過點（2，﹣）時，求拋物線的表達式，并求它與y軸的交點坐標；2）求這個二次函數圖象的對稱軸（用含m3）若拋物線上存在兩點a，b，﹣b＜0b0時，總有ab0，求m的取值范圍．【分析】（1）根據待定系數法即可求得拋物線的解析式，令x0，求得函數值，即可求得拋物線與y軸的交點；2）利用對稱軸公式求得即可；3）由題意可知a|||，即可判斷拋物線的對稱軸在y軸的右側，即m0．【解答】1）∵拋物線過點（2，﹣3∴﹣＝44m3，m＝，∴拋物線為：＝x2x﹣，令x0y＝﹣，y軸交點（，﹣32）∵二次函數＝x﹣mx﹣3，∴對稱軸x＝m；3）∵ab0，b＞﹣a，a0，＞0，|||b，AaaBb，﹣b）是拋物線yx﹣2mx3上的兩點，∴拋物線的對稱軸在y軸的右側，m＞．第頁（共22頁）【點評】本題考查了拋物線與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數的解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．102021?順義區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝2﹣ax+3a（a＞0）與y軸交于點A．1）求點A和拋物線頂點的坐標（用含a2＝﹣ax+3a與拋物線＝4ax+3aG縱坐標都為整數的點叫做整點．當a1時，結合函數圖象，求區域G中整點的個數；當區域G中恰有6個整點時，直接寫出a的取值范圍．22【分析】1yax﹣4+3a化成頂點式y＝x﹣）﹣＝0，＝3，可求出點A的坐標；2當a1時，則y＝﹣x+3y＝4x+3，再根據整點的定義可得結論；對a進行討論，再結合整點的定義進行分析．22【解答】1）∵yax﹣ax+3aa（﹣2）a，∴頂點坐標（，﹣a∵拋物線y＝4+3（a0y軸交于點A，A03a2當a1時，y＝﹣+3，yx﹣4+3，y＝﹣x與y＝4x的交點為（3，0，則（，1，0）是區域G中的兩個整點，即區域G中整點的個數為2聯立直線＝﹣ax+3a與拋物線＝4ax+3，可得交點為（03a，0G是0≤≤3，﹣≤y3a組成；第頁（共22頁）當x1時，與直線的交點為（12a1，同理可得，當x＝2時，與直線的交點為（2，2，﹣aG中的整點不包括邊界，整點有6個，如圖，當0a1時，G中最多有1個整點；當a1時，G2個整點；當1a1.5時，G中最多有5個整點；當1.5＜a2時，G中最多有6個整點；當2a3.5時，G中最多有13個整點；時，區域G中恰有6個整點．【點評】本題屬于新定義類問題，主要考查二次函數圖象的性質，利用數形結合思想分析會更直觀．222021xOyyx﹣bxb﹣b0點（m，1）用含b的代數式表示拋物線頂點的坐標；2）若拋物線經過點0，0＜＜3n的取值范圍；3≤m≤5時，n2，結合函數圖象，直接寫出b的取值范圍．【分析】1）把拋物線的解析式化成頂點式即可；2）把點B坐標代入拋物線的解析式，求出拋物線的解析式，結合圖形，再求當0m3時，n的取值范圍；第頁（共22頁）3）分別討論m和b的大小關系，根據n2，求出b的取值范圍．222【解答】1）∵yx﹣2+b2＝（xb）2，∴頂點坐標為（b，﹣2222）把（0，）代入＝x﹣bxb﹣2b0得b2b＝﹣b2，∴解析式為：＝x4x+2，對稱軸為＝2；頂點坐標為（，﹣2結合函數圖象可得，在頂點處n取得最小值﹣；當x0時，y2，0＜m3時，﹣2≤＜2．3）如圖，若3≤m5≤b＝（3b22，1b≤，矛盾，不成立；若3b≤5x＝3時，y＝（3b）2≤1≤≤5，x＝5時，y＝（5b）2≤3≤≤7，3b≤；當b3≤m5＝（5b223b≤，矛盾；綜上，b的取值范圍為≤b5．第頁（共22頁）【點評】本題主要考查二次函數的取值范圍問題，涉及待定系數法求解析式，數形結合思想等，利用數形結合思想結合圖象求取值范圍是常見方法．2021xOyx的二次函數yx2tx+1．1）求該二次函數圖象的對稱軸；2t2m（+3yx﹣txmn的大小；23xy（xyyx﹣tx1x＜311221且x＝，都有yyt的取值范圍．212【分析】1）把解析式化成頂點式即可求得；2）根據二次函數的性質即可判斷；（3）當t1時，此時﹣1≤x＜3，x＝3都有y≤y，當t＞1時，令x＝﹣1時，y＞121211，不符合題意，由此即可解決問題．222【解答】1）∵yx﹣2tx+1＝（xt）﹣t+1，第頁（共22頁）∴拋物線的對稱軸為直線xt；2）拋物線開口向上，對稱軸為直線xt，M（2，m）關于對稱軸的對稱點為（+2mt+2t，m＜，故答案為：＜；3≤﹣1時，此時﹣1x3x23yy，符合題意；112只要滿足x1到對稱軸距離小于3到對稱軸距離，從而取﹣1與3的中點1，即可得之．綜上所述：≤1．【點評】本題考查了二次函數的性質，掌握性質是解題的關鍵．2021?延慶區一模）在平面直角坐標系xOy中，直線：y＝﹣2x與y軸交于點，與x軸交于點B，二次函數的圖象