PAGE第五節干脆證明與間接證明授課提示：對應學生用書第116頁[基礎梳理]1．干脆證明內容綜合法分析法定義從已知條件動身，經過逐步的推理，最終達到待證結論的方法，是一種從緣由推導到結果的思維方法從待證結論動身，一步一步尋求結論成立的充分條件，最終達到題設的已知條件或已被證明的事實的方法，是一種從結果追溯到產生這一結果的緣由的思維方法特點從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，事實上是要找尋它的必要條件從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，事實上是要找尋它的充分條件2.間接證明——反證法要證明某一結論Q是正確的，但不干脆證明，而是先去假設Q不成立(即Q的反面非Q是正確的)，經過正確的推理，最終得出沖突，因此說明非Q是錯誤的，從而斷定結論Q是正確的，這種證明方法叫作反證法．[四基自測]1．(基礎點：綜合法)命題“對隨意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應用了()A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合運用D．間接證明法答案：B2．(基礎點：分析法)要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0答案：D3．(易錯點：反證法)用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60°”，假設正確的是()A．假設三個內角都不大于60°B．假設三個內角都大于60°C．假設三個內角至多有一個大于60°D．假設三個內角至多有兩個大于60°答案：B4．(基礎點：反證法)用反證法證明“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”，假設內容為________．答案：eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)授課提示：對應學生用書第116頁考點一綜合法挖掘綜合法的思維過程/互動探究[例](1)已知a，b，c為正數，且a＋b＋c＝1，證明ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).[證明]由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)，當且僅當“a＝b＝c”時等號成立．(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.①求證：a，b，c成等差數列；②若C＝eq\f(2π,3)，求證：5a＝3b.[證明]①由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因為sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數列．②由C＝eq\f(2π,3)，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.[破題技法]1.解決數學問題時，往往要先作語言的轉換，文字語言與符號語言、符號語言與圖形語言等，從條件入手結合演繹推理證出結論．2．推理方式(1)綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實推斷(命題)動身，經過一系列中間推理，最終導出所要求證結論的真實性．(2)綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理．考點二分析法挖掘分析法的操作過程/互動探究[例]a＞0，證明eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＜2eq\r(a＋1).[證明]因為a＞0，eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＞0，2eq\r(a＋1)＞0，所以要證eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＜2eq\r(a＋1)，只需證(eq\r(a)＋eq\r(a＋2))2＜(2eq\r(a＋1))2，即證2a＋2＋2eq\r(a（a＋2）)＜4(a＋1)，只需證eq\r(a（a＋2）)＜a＋1，即證a(a＋2)＜(a＋1)2，即證0＜1，而0＜1明顯成立，所以原不等式成立．[破題技法]分析法的思路“執果索因”，逐步找尋結論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經成立的定理、性質或已經證明成立的結論等．考點三反證法挖掘反證法的思維/互動探究[例](2024·杭州模擬)已知函數f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數；(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數根．[證明](1)設u(x)＝ax，v(x)＝eq\f(x－2,x＋1).∵a＞1，∴u(x)＝ax在(－1，＋∞)上為增函數，要證明f(x)在(－1，＋∞)上為增函數，只需證v(x)＝eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞)上為增函數．設x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，即證v(x2)－v(x1)＞0.由v(x2)－v(x1)＝eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(（x2－2）（x1＋1）－（x1－2）（x2＋1）,（x1＋1）（x2＋1）)＝eq\f(3（x2－x1）,（x1＋1）（x2＋1）)>0成立．∴f(x)在(－1，＋∞)上為增函數．(2)假設存在x0<0(x0≠－1)滿意f(x0)＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1).∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即eq\f(1,2)<x0<2，與假設x0<0相沖突，故方程f(x)＝0沒有負數根．[破題技