2023—2024學年度第二學期期末質量監測高一數學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.22.函數的相鄰兩個零點之間的距離為（）A. B.6 C. D.123.已知與不共線，若與共線，則實數的取值為（）A. B. C. D.4.下列不等式成立的是（）A. B. C. D.5.某同學站立在雨中水平撐傘，始終保持傘面的下邊緣距離地面，當雨與地面成斜降下來時，要使腳恰好不被雨淋濕，腳與傘邊緣的水平距離（單位：m）為（）A. B. C. D.6.在中，角所對邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形7.如圖，已知，則（）A. B.C D.8.已知，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知平面向量，則下列說法正確的是（）A若，則B.若，則C.若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為D.若，則在上的投影向量的坐標為10.函數（，，）在一個周期內的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.BC.的解集為D.把函數的圖象先向左平移個單位長度，再將曲線上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，可得到的圖象11.一個表面被涂滿紅色的棱長是4的正方體，將其均勻分割成棱長為1的小正方體，下列結論正確的是（）A.共得到64個小正方體B.由所有兩面是紅色的小正方體組成的長方體，其表面積最大為98C.由所有三面是紅色的小正方體組成的長方體，其外接球的體積最小為D.取其中一個三面是紅色的小正方體，以小正方體的頂點為頂點，截去八個相同的正三棱錐，所得幾何體表面紅色部分面積的最小值為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.已知，則______．13.在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點.若,則AB的長為_____.14.已知四邊形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為______，此時該三棱錐的外接球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數滿足．（1）求；（2）若是方程的一個根，求的值．16.已知函數．（1）求函數的最小正周期、對稱軸；（2）求函數在上的單調遞增區間；（3）若存在，使得，求實數的取值范圍．17.在銳角中，角的對邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若是的外接圓上一點（與位于直線異側），且，求四邊形的面積．18.如圖，在正六棱錐中，．（1）求棱錐的高和斜高；（2）求直線到平面的距離；（3）若球是正六棱錐的內切球，以底面正六邊形的中心為圓心，以內切球半徑為半徑的圓面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱錐的內接幾何體，求該幾何體的側面積．19.“費馬點”是三角形內部與其三個頂點距離之和最小的點．對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當的三個內角均小于時，使的點即為費馬點．已知中，角的對邊分別為，點是的“費馬點”．（1）求角；（2）若，求的周長；（3）若，求實數的值．2023—2024學年度第二學期期末質量監測高一數學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】代入復數模的計算公式，即可求解.【詳解】由題意可知，.故選：C2.函數相鄰兩個零點之間的距離為（）A. B.6 C. D.12【答案】B【解析】【分析】函數的相鄰兩個零點之間的距離即為最小正周期，求解即可.【詳解】由正切函數的圖象可知，函數的相鄰兩個零點之間的距離即為最小正周期，又最小正周期為，所以函數的相鄰兩個零點之間的距離為.故選：B.3.已知與不共線，若與共線，則實數的取值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量共線即可列出方程組求解.【詳解】由題意設，而與不共線，所以，解得.故選：A.4.下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據三角函數的單調性和誘導公式逐一判斷即可.詳解】對于A，由知，故A錯誤；對于B，顯然有，故B錯誤；對于C，由有，故C錯誤；對于D，由有，故D正確.故選：D.5.某同學站立在雨中水平撐傘，始終保持傘面的下邊緣距離地面，當雨與地面成斜降下來時，要使腳恰好不被雨淋濕，腳與傘邊緣的水平距離（單位：m）為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意畫出相應的直角三角形，利用三角函數和和差公式即可求解.【詳解】如圖，腳的位置位于點處，傘的邊緣位于點處，則腳與傘邊緣的水平距離為.由題意得，在中，，則，則，，.故選：.6.在中，角所對的邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊化角以及三角公式變形整理即可.【詳解】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形狀為直角三角形.故選：B.7.如圖，已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】題中有90°，因此建立平面直角坐標系，用坐標表示向量進行運算即可．【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，，，設，，，解得，所以.故選：A.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將所給的三角函數式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知平面向量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為D.若，則在上的投影向量的坐標為【答案】BD【解析】【分析】利用向量平行的坐標表示可判斷A，利用向量垂直的坐標表示判斷B，根據向量夾角的坐標求解C，利用投影向量的坐標表示求解D.【詳解】對于A，若，則，即，故A錯誤；對于B，若，則，即，故B正確；對于C，若與的夾角為鈍角，則，即，且與不反向，當時，，，與反向，所以，所以的取值范圍為，故C錯誤；對于D，時，，在上的投影向量的坐標為，故D正確.故選：BD.10.函數（，，）在一個周期內的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.C.的解集為D.把函數的圖象先向左平移個單位長度，再將曲線上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，可得到的圖象【答案】BCD【解析】【分析】根據函數圖象直接可得，再根據函數圖象中的對稱軸與對稱中心可得函數解析式，進而可判斷A選項，再直接代入可判斷B選項，解不等式直接可判斷C選項，再根據函數的伸縮平移變換可判斷D選項.【詳解】A選項：由圖可知，且，即，解得，又，所以，所以，又函數圖象過點，則，解得，，又，所以，即，A選項錯誤；B選項：，B選項正確；C選項：，即，則，，解得，，C選項正確；D選項：函數的圖象先向左平移個單位長度可得的圖象，再將曲線上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變可得的圖象，D選項正確；故選：BCD.11.一個表面被涂滿紅色的棱長是4的正方體，將其均勻分割成棱長為1的小正方體，下列結論正確的是（）A.共得到64個小正方體B.由所有兩面是紅色的小正方體組成的長方體，其表面積最大為98C.由所有三面是紅色的小正方體組成的長方體，其外接球的體積最小為D.取其中一個三面是紅色的小正方體，以小正方體的頂點為頂點，截去八個相同的正三棱錐，所得幾何體表面紅色部分面積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】棱長是的立方體體積，棱長為的小正方體體積為，由此能求出共得到多少個棱長為的小正方體，可判斷A；所有兩面是紅色的小正方體共有24個，組成長、寬、高分別為的長方體，可得其表面積，判斷B；三面涂色的小正方體有8個，組成一個邊長為2的正方體，求其外接球的體積，可判斷C；找到以小正方體的頂點為頂點，截去八個相同的側棱長為的正三棱錐時，所剩涂色面積最小，判斷D.【詳解】棱長是的立方體體積為：4×4×4＝64，棱長為的小正方體體積為，所以共得到個小正方體，A正確；二面涂色的小正方體是位于棱長是的立方體的各邊上的正方體，由立方體共有12條邊，每邊有2個正方體二面涂色，共有24個，它們組成一個長、寬、高分別為的長方體，則表面積最大為，B正確；三面涂色的小正方體是位于棱長是的立方體的頂點處的小正方體，由于立方體共有8個頂點，所以三面涂色的小正方體有8個，組成一個邊長為2的正方體，其外接球的半徑為，其體積為，C錯誤；以小正方體的頂點為頂點，截去八個相同的側棱長為的正三棱錐，如圖，所剩紅色部分面積的最小為，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】根據二倍角公式及兩角差正弦公式直接化簡可得.【詳解】由已，即，故答案為：.13.在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD中點.若,則AB的長為_____.【答案】【解析】【詳解】設AB的長為，因為，，所以==+1+=1，解得，所以AB的長為.【考點定位】本小題主要考查平面向量的數量積等基礎知識，熟練平面向量的基礎知識是解答好本類題目的關鍵.14.已知四邊形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為______，此時該三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】在平面內計算各個線段的長度，注意到三棱錐體積最大時，平面平面時，可知以為頂點時，點到平面的距離即為點到的高，計算可得體積；利用球心到平面的距離、外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.【詳解】已知四邊形中，，易知，將沿折起，連接，得到三棱錐，當點到平面的距離最大時，則三棱錐體積最大，即當平面平面時，三棱錐體積最大，此時點到平面的距離即為點到的高，是等腰直角三角形，所以點到的高，則三棱錐體積的最大值為；設該三棱錐的外接球的球心為,到平面的距離為平面的外接圓的半徑為，正弦定理可得設求球的半徑為,則此時該三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：求外接球表面積或體積問題，關鍵是要根據題意確定球心位置，進而求得球的半徑.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數滿足．（1）求；（2）若是方程的一個根，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據復數的除法得，再利用共軛復數概念即可；（2）根據復數根的共軛關系結合韋達定理即可解出，則得到的值.【小問1詳解】由得：，則；【小問2詳解】由（1）知：，，解得：，．16.已知函數．（1）求函數的最小正周期、對稱軸；（2）求函數在上的單調遞增區間；（3）若存在，使得，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數表達式，利用周期公式計算周期，令，解出即可得解；（2）直接列出不等式組求解即可；（2）只需求出在時的最小值，然后解不等式即可.【小問1詳解】，所以，令，解得，所以函數的最小正周期、對稱軸分別；【小問2詳解】由得的單調遞增區間為：，所以函數在上的單調遞增區間為：．【小問3詳解】因為，所以，所以，故，因為存在，使得，所以，解得，所以的取值范圍為．17.在銳角中，角的對邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若是的外接圓上一點（與位于直線異側），且，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，結合已知得，再由余弦定理結合已知即可求解；（2）在中，運用余弦定理有，在中，結合并運用余弦定理可求得，進一步結合三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】在銳角中，因為，所以，而，故，因為是銳角，所以，由余弦定理得，又因為，所以，整理的，故．【小問2詳解】在中，因為，所以，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，即：，解得，所以四邊形的面積為.18.如圖，在正六棱錐中，．（1）求棱錐的高和斜高；（2）求直線到平面的距離；（3）若球是正六棱錐的內切球，以底面正六邊形的中心為圓心，以內切球半徑為半徑的圓面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱錐的內接幾何體，求該幾何體的側面積．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）首先作出錐體的高和斜高，再根據勾股定理，即可求解；（2）由平面，轉化為點到平面的距離，再根據等體積轉化，即可求解；（3）首先求內切球的半徑，由題意可得，內接幾何體為圓柱，再由內接圓柱與六棱柱的關系，畫出軸