專題22與二次函數相關的壓軸題

解答題

1.（2022?湖北鄂州）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究），=如2（“>（））型拋物線

圖象.發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0,，-）的距離MF,始

終等于它到定直線/：y=-1上的距離MN（該結論不需要證明），他們稱：定點尸為圖象

4a

的焦點，定直線/為圖象的準線，y=-《叫做拋物線的準線方程.其中原點。為尸”的中

4（7

點，FH=2OF=例如，拋物線其焦點坐標為尸（0,1）,準線方程為/：y=

2/7NN

（1）【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y=2r2的焦點坐標和準線/的方程:

⑵【技能訓練】如圖2所示，己知拋物線上一點p到準線/的距離為6,求點P的

O

坐標；

（3）【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線>=辦2（a>0）的焦點廠的直線依次交拋物線

及準線/于點A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求。的值；

（4）【拓展升華】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”

問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長一段AC是全線段與另一

段CB的比例中項，即滿足：空=%=或二1.后人把叵口這個數稱為“黃金分割”把

ABAC22

點C稱為線段AB的黃金分割點.

如圖4所示，拋物線/的焦點尸（0,1）,準線/與y軸交于點H（0,-1）,E為線段

“尸的黃金分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點.當粵=夜時，請直接寫出

MF

的面積值.

【答案】⑴（o,：）,y=~Q?

OO

（2）4應，4）或（-4萬，4）

⑶〃=J

4

（4）5/5-1或3-yf5

【分析】（1）根據交點和準線方程的定義求解即可；

（2）先求出點P的縱坐標為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可；

（3）如圖所示，過點B作BOLy軸于。，過點A作AE_L），軸于E,證明

推出ED=J-,則8=OF-D歹=3，點3的縱坐標為』一，從而求出8。=正，證明

“EFSRBDF,即可求出點A的坐標為（-26,2+」），再把點A的坐標代入拋物線解

4a

析式中求解即可；

（4）如圖，當E為靠近點尸的黃金分割點的時候，過點M作MN，/于M則

先證明△MN”是等腰直角三角形，得到NH=MN,設點例的坐標為（"［，/）,則

MN=^-m2+l=-m=HN,求出m=一2,然后根據黃金分割點的定義求出〃￡=班-1,則

4

SgME=gHE-NH=書-1；同理可求當點E是靠近”的黃金分割點時的面積?

（1）

解：由題意得拋物線y=2^的焦點坐標和準線/的方程分別為（0,1）,丁=-：,

o8

故答案為：（0,：）,y-?

00

（2）

解：由題意得拋物線y=的準線方程為）,=-，-=_2,

84a

?.?點P到準線/的距離為6,

...點尸的縱坐標為4,

.?.當y=4時，-X2=4,

8

解得x=±4&，

???點P的坐標為（4及，4）或（-4a,4）；

（3）

解：如圖所示，過點3作8。_Ly軸于。，過點A作AEJ_.y軸于七，

由題意得點F的坐標為尸（0,3）直線/的解析式為：、'=-；，

4。4。

ABD//AE//CH,FH=—,

2a

，△尸。8s△尸

.BDFDFB

**WC-FW'FCr

?：BC=2BF,

：.CF=3BF,

.BDFDFB_\

：.FD=—,

6a

：.OD=OF-DF=—,

12a

.?.點8的縱坐標為二一，

12a

■.?-1--=QX2,

12〃

解得》=且（負值舍去），

6a

BD=—,

6a

■:AE//BD.

：.XAEFSABOF,

.AEBD6

EFDF

JAE=43EF,

■:AE2+EF2=AF2，

???4EF2=AF2=\6^

：.EF=2,

：.AE=2c，

.1點4的坐標為（-26，2+，-）,

4a

：.2+—=l2a

4af

*?*48〃~—8。—1=0,

???（12a+l）（4〃-l）=0,

解得（負值舍去）；

4

圖3

(4)

解：如圖，當E為靠近點尸的黃金分割點的時候，過點M作于N,則MN=MF,

??,在/C中，sinZMH^=—,

MHMH2

???ZMHN=45°,

.,?△MN”是等腰直角三角形，

:?NH=MN,

1.

設點M的坐標為(例，~m~),

4

/.MN=-m2+\=-m=HN

4f

/.m=—2?

:?HN=2,

?..點E是靠近點尸的黃金分割點，

HE=^^HF=亞-1,

2

???SAHME=gHENH=下7；

同理當E時靠近，的黃金分割點點，后尸=避二1〃/7=石-1,

2

”E=2-石+1=3-石，

；?SAHME=；HE.NH=3一小,

綜上所述，S*=26-2或.=3-6

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與判定，解宜角三角形，等腰直

角三角形的性質與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關鍵.

2.(2022?江蘇無錫)已知二次函數y=-L/+〃x+c圖像的對稱軸與x軸交于點A(1,0),

4

圖像與y軸交于點8(0,3),C、。為該二次函數圖像上的兩個動點(點C在點。的左側)，

HZCAD=90.

(1)求該二次函數的表達式：(2)若點C與點8重合，求lan/CD4的值；(3)點C是否存在其

他的位置，使得tan/CZM的值與(2)中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若

不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-；/+；x+3⑵1⑶(―2,1),(3-717,717-2),(-1-717,-2-717)

【分析】(1)二次函數與y軸交于點8(0,3),判斷c=3,根據A(1,O),即二次函數對稱軸

為x=l,求出方的值，即可得到二次函數的表達式；

(2)證明,ADESOBAO,得至1］也=空，即BODE=04越，設。「，一!”+!/+3),

AEDEk427

點。在第一象限，根據點的坐標寫出長度，利用3O-DE=Q4?/場求出f的值，即可AE,DE

的值，進一步得出tan/CDA的值；

(3)根據題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質，求出對應點C

的坐標即可。

(I)解：；二次函數丫=-；/+區+(;與丫軸交于點8((),3),

1

:?c=3,即y=—x9+bx+3,

V4(1,0),即二次函數對稱軸為x=l,

???二次函數的表達式為y=-%2+?+3.

(2)解：如圖，過點。作工軸的垂線，垂足為E,連接3D,

VZC4D=90，

ZBAO+ZDAE=9Q，

ZADE+ZDAE=90，

：.ZADE=ZBAO,

???ZBOA=ZDE4=90°,

^ADE^BAO,

,BPBODE=OAAE

AEDEt

???W（），3）,A（l,0）,

???BO=3,OA=if

設：。1,一；產+夕+3）,點。在第一象限,

11

：.OE=t,DE=——/9+T+3,AE=OE-OA=t-l,

42

3x（一：/+；/+3）=lx（/_l）,

解得：4=-與（舍），，2=4（舍），

當4=4時，y=-^-x42+^x4+3=l,

AE=4—1=3,DE=1,

AD=y]DE2+AE2=JF+32=Tfo，

AB=y]OA2+OB2=712+32=V10

,/在RtVBAD中,

tanNCZM=^=%=1

ADVio

(3)解：存在,

如圖，(2)圖中RtVBAD關于對稱軸對稱時，tanNCD4=l,

?.,點。的坐標為(41),

，此時，點C的坐標為(-2,1),

如圖，當點C、。關于對稱軸對稱時，此時AC與AO長度相等，即tanNCft4=l,

過點C作CE垂直于x軸，垂足為E,

VZCAD=90，點C、。關于對稱軸對稱,

/.ZC4￡=45，

...VC4E為等腰直角三角形，

CE=AE,

設點C的坐標為（m,-："/+；機+3）,

1。1

CE=-rn~H—m+3,A.E=1一機,

42

.11…

??——m2+—m+3=1一根

42

解得：町=3-/，=3+717（舍）,

此時，點C的坐標為（3-折,A/萬-2）,

過點C作C/垂直于x軸，垂足為F,

VZCAD=9Q，點C、。關于對稱軸對稱,

ZCAF=45,

NCAF為等腰宜角三角形，

/.CF^AF,

設點C的坐標為+

CF=-m2—m—3,AE=\—m,

42

1

m2

4-——"7-3=1—〃z

2

解得：叫=_"J萬（舍），^=-1-717,

此時，點C的坐標為（-1一如,-2—折），

綜上：點C的坐標為（3一折,如-2）,（-1-717-2-717）.

【點睛】本題考查二次函數的綜合問題,運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵.

3.（2022?山西）綜合與探究

13

如圖，二次函數丫=-1/+5*+4的圖象與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），與y

軸交于點C,點尸是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為現.過點P

作直線軸于點。，作直線BC交于點E

（1）求A,B,C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；

（2）當ACEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）連接AC,過點P作直線/〃AC,交y軸于點F,連接OF.試探究：在點P運動的過程

中，是否存在點P,使得C￡=ED,若存在，請直接寫出”的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴人一2,0）,B（8,0）,點C的坐標為（0,4）；y=-；x+4

⑵（4,6）

（3）存在；〃?的值為4或2后-2

【解析】

【分析】

13

（1）令y=-[x2+]x+4中）'和X分別為0,即可求出A,B,C三點的坐標，利用待定系

數法求直線8c的函數表達式；

（2）過點C作CG，PO于點G,易證四邊形CODG是矩形，推出CG〃08,DG=OC=4,

CG=OD=m,再證明△CGES4BOC,推出EG=gm,由等腰三角形三線合一的性質可

以得出PG=EG=1m，則PD=PG+DG=2m+4,由尸點在拋物線上可得

22

13

尸。=-；療+力w+4,聯立解出代入二次函數解析式即可求出點P的坐標；

（3）分點/在y軸的負半軸上和點F在y軸的正半軸上兩種情況,畫出大致圖形，當CE=ED

時，EG=OF,由（2）知EG=g機，用含的代數式分別表示出OF,列等式計算即可.

（1）

1,3

解：由，=-^r+/*+4得，

當》=0時-，y=4,

...點C的坐標為（0,4）.

13

當y=0時，——X2+-X+4=0,

42

解得％=-2,X2=8.

:點4在點8的左側，

...點A,8的坐標分別為A（—2,0）,8（8,0）.

設直線BC的函數表達式為丫=辰+），

將8（8,0）,。（0,4）代入得

k=--

解得2,

Z?=4

直線BC的函數表達式為曠=-；工+4.

（2）

解：；點?在第一象限拋物線上，橫坐標為小，且PDLx軸于點￡）,

.,.點P的坐標為（嘰布+4）,OD=m,

1°3

PD=——nr+—優+4.

42

???點3的坐標為（8,0）,點C的坐標為（0,4）,

??.O5=8,OC=4.

過點。作CG,尸。于點G,則NCGD=90。.

■:ZPDO=匕COD=90°,

，四邊形CODG是矩形，

J.CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

：.Z1=Z2.

'：/CGE=/BOC=90。,

：.ACGE^ABOC.

.EGCGp1nEGm

COBO48

EG=-in.

2

在△CPE中，

CP=CE,CGLPE,

：.PG=EG=-m.

2

PD=PG+DG=-m+4,

2

.1,3.1.

422

解得g=4,嗎=0（舍去），

..,機=4.

I3

當帆=4時，y=———加+4=6.

“42

；.點尸的坐標為(4,6).

(3)

解：存在；〃?的值為4或2石-2.

分兩種情況，①當點F在y軸的負半軸上時，如下圖所示，過點P作直線尸”，》軸于點H,

:過點P作直線/〃AC,交y軸于點凡

??.PF//AC,

：.4CO=/PFH,

tanZACO-tan/PFH,

.AOHPniI2m

OCHF4HF

/.HF=2m,

i3

OH=PD=一一機2+—"?+4,

42

/.OF=HF-OH=2m-\--m2^-m-4,

I42)42

由(2)知，EG=-m.

2

根據勾股定理，在一CGE中，CE2=CG2+GE2,

在4尸。￡)中，FD2=OF2+OD\

當CE=在。時，CG2+GE2=OF2+OD2，

?：CG=OD=m,

EG=OF,

.1121(

242

解得"2=4或6=-4,

???點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，

工"7=4;

113

同理可得，EG=OF,EG=—m,HF=2m,OH=PD=一一w2+-/n+4,

242

i3ii

OF=OH-HF=——trr+一加+4-2機=——nr——〃z+4

4242

.1114

..—m=——tn2——機+4,

242

解得m-2石-2或，"=-2后-2，

?..點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點,

Am=2y[5-2;

綜上，〃?的值為4或26-2

【點睛】

本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數、一次函數、等腰三角形、矩形、勾股定理、相

似三角形等知識點，第三問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含根的代數式

表示出OF是解題的關鍵.

4.（2022?四川宜賓）如圖，拋物線），="+法+。與x軸交于4（3,0）、3（-1,0）兩點，與y

軸交于點C（0,3）,其頂點為點D連結AC

（1）求這條拋物線所對應的二次函數的表達式及頂點D的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上取一點E,點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、尸為頂點、

AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點尸的坐標；

（3）在（2）的條件下，將點。向下平移5個單位得到點點P為拋物線的對稱軸上一動點，

3

求的最小值.

【答案】（l）y=-x2+2x+3,頂點。的坐標為（1,4）

⑵產（-2,-5）或尸（4,-5）

嗚

【解析】

【分析】

（1）用待定系數法求解二次函數解析式，再化成頂點式即可得出頂點坐標；

（2）先用待定系數法求宜線4c解析式為y=-x+3,再過點F作尸GLOE于點G,證

△CMC^AGFE,得0A=GF=3,設F點的坐標為(，%-加2+2〃?+3),則G點的坐標為

(1,一＞+2帆+3),所以FG=M-1|=3,即可求出加=—2或加=4,從而求得點尸坐標；

(3),是平移得得點M的坐標為。,一1),貝聯2)知點耳(4,-5)與點月(-2,-5)關于對稱軸x=l

對稱，連結￡8,對稱軸于點H,連結耳M、&M,過點外作用N,6M于點N,交對稱

軸于點P,則MW=4,"￡=3,MF,=5.在RfMHFt中，sinZHMFt==],則在向MPN

lYlr}J

PN333

中，sinZHMF1=——=-,所以PN=2PM,所以PF+—PM=/￥；+PN=6N為最小值,

PM555

|1?43

根據?鳥N，所以外N=y，即可求出P尸+：PM.

(1)

解：:拋物線廣哀+法+c經過點A(3,0),B(-1,O),C(0,3),

9〃+3b+3=0a=-\

；.<〃-力+3=0,解得:<h=2,

c=3c=3

拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

???頂點。的坐標為(1,4)；

(2)

解：設直線AC的解析式為：y=kx+b,

把點A(3,0),C(0,3)代入得：k=-l,6=3,

直線4c解析式為：y=-x+3,

過點F作FG_LOE于點G,

?..以A、C、瓜尸四點為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形,

AC//EF,AC=EF,

又?.?OAFG,

???ZOAC=ZGFE

:.△QACdGFE,

???OA=GF=3,

設F點、的坐標為(m,-nr+2m+3),

則G點的坐標為(L—利2+2加+3),

??.FG=|/n-l|=3,

.,.，〃=-2或帆=4,當zn=-2時，-病+2"?+3=-5,

/.耳(_2,-5),

當，〃=4時，+2m+3=-5

二^(4,-5),

...尸(-2,-5)或尸(4,一5)：

(3)

解：由題意，得點例的坐標為

由題意知：點耳(4,-5)與點鳥(-2,-5)關于對稱軸x=1對稱，

連結”入，對稱軸于點“，連結耳M、F2M,過點心作居于點N,交對稱軸于點

在RfMHK中，sinZ.HMF}=,則在RrA/PN中，sinZHMFt==-

MF[5PM5

3

PN=qPM,

又?:PF[=PF、

3

/.PF+^PM=PF、+PN=F?N為最小值，

又；s△好=Jx6x4=gx5書N,

F[Nq,

324

求得+的最小值為

【點睛】

本題考查用待定系數法求函數解析式，二次函數圖象性質，平行四邊形的性質，解直角三角

形，利用軸對稱求最小值，本題屬二次函數綜合題目，掌握二交次函數圖象性質和靈活運用

是解題的關鍵.

5.（2022?湖北恩施）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=-f+c與軸交于點

P（0,4）.

⑴直接寫出拋物線的解析式.

（2）如圖，將拋物線），=-d+c向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q,平移后

的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點8的右側），與y軸交于點C.判斷以8、C、Q

三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由.

（3）直線8c與拋物線y=-x2+c交于M、N兩點（點N在點M的右側），請探究在x軸上是

否存在點T,使得以8、N、T三點為頂點的三角形與3ABe相似，若存在，請求出點T的坐

標：若不存在，請說明理由.

（4）若將拋物線丫=-產+。進行適當的平移，當平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共

點時，請直接寫出拋物線y=-/+c平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標.

【答案】（l）y=-x?+4

（2）以8、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由見解析

哼九]或T

⑶存在，T

4''

7

(4)最短距離為述，平移后的頂點坐標為自?)

8188；

【分析】(1)待定系數法求二次函數解析式；

(2)分別求得8、C、。的坐標，勾股定理的逆定理驗證即可求解；

(3)由NCB4=NNB7,故分兩種情況討論，根據相似三角形的性質與判定即可求解；

(4)如圖，作/〃BC且與拋物線只有1個交點，交軸于點￡),過點C作CE，/于點E,

則.DEC是等腰直角三角形，作EFLOC于尸，進而求得直線/與BC的距離，即為所求最

短距離，進而求得平移方式，將頂點坐標平移即可求解.

(1)

解：：拋物線y=-X?+c與y軸交于點P(0,4)

Ac=4

???拋物線解析式為y=-d+4

(2)

以8、C,。三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：

y=-x2+4的頂點坐標為尸(0,4)

依題意得，＜2(-1,4)

平移后的拋物線解析式為y=-(x+爐+4

令y=0,解-(x+l『+4=0

得%=-3,X2=1

.-.A(l,0),8(-3,0)

令x=0,則y=3,即C(0,3)

BC2=32+32=18,CQ2=F+F=2,0B2=(-3+l)2+42=2O

BC2+CQ2=QB2

.,?以8、C、。三點為頂點的三角形是直角三角形

(3)

存在，7伊|*或7｛主戈o],理由如下，

3(-3,0),C(0,3),

:.OB=OC=3

08C是等腰直角三角形

設直線3c的解析式為)，=代+人，

-3k+b=0

則

b=3

k=l

解得

h=3

?,?直線8c的解析式為y=x+3,

y=x+3

聯立

y=-x2+4

-1+A/5

x

i=2

解得，

5+x/5

K=2

'-1+非5+非'

:.N

-2-'2

A（l,0）,5（—3,0）,C（0,3）,O8C是等腰直角三角形

AB=4,BC=y/2OB=3y/2

設直線AC的解析式為y=w+〃，

[〃2+〃=0

[n=3

[m=-3

,,1九=3

???直線AC的解析式為y=-3x+3

設NT的解析式為y=-3x+t,由NT過點N

行5+石+痂

則——=-3———+t

22

解得f=2石+1

?1.W的解析式為y=-3x+2石+1,

令y=0

解得工=西土1

3

，*3+組=1^

33

jBNTsdBCA,

.BTBN

10+2石

—JN

43>/2

□z5V2tVio

22

②當一切VTs_54c時，則空=型

BCBA

5V2Vio

即BT.一十〒

30-4

^Wsr=—+—

44

OB=3

綜上所述，7｛竺±Lo］或7｛三正,0

I3JI4J

(4)

如圖，作/〃8C,交V軸于點。，過點C作CE，/于點E,則;DEC是等腰直角三角形,

作EF±DCT-F

直線8c的解析式為y=X+3

設與BC平行的且與y=-丁+4只有一個公共點的直線/解析式為y=x+b

…y=-x2+4

y=x+b

整理得：x2+x+b-4=0

則△=f_4（b-4）=0

17

解得b

4

，直線/的解析式為y=x+=17

4

.-.C￡）=--3=-,EF=FC=-CD=-

4428

…，V255&

1.CE=——CD=——x—=-----

2248

即拋物線y=-V+c平移的最短距離為竿，方向為EC方向

P（0,4）

，把點P先向右平移EF的長度，再向下平移FC的長度即得到平移后的坐標

???平移后的頂點坐標為（|，4-1）,即（W

【點睛】本題是二次函數綜合，考查了相似三角形的性質，求：次函數與一次函數解析式，

二次函數圖象的平移，勾股定理的逆定理，正確的添加輔助線以及正確的計算是解題的關鍵.

6.（2022?廣西玉林）如圖，已知拋物線：y=-2f+灰+c與x軸交于點A,B（2,0）（A在8

的左側），與y軸交于點C,對稱軸是直線x=g,P是第一象限內拋物線上的任一點.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點。為線段0C的中點，貝IJ_P8能否是等邊三角形？請說明理由；

(3)過點P作無軸的垂線與線段BC交于點垂足為點H,若以P,M,C為頂點的三角形

與相似，求點P的坐標.

【答案】⑴y=-2f+2x+4

(2)不能，理由過程見詳解

(3)(1,4)或者弓3三35)

48

【分析】(1)根據拋物線對稱軸即可求出b,再根據拋物線過8點即可求出C,則問題得解；

(2)假設APO。是等邊三角形，過P點作PNLO力于N點，根據等邊三角形的性質即可求

出尸點坐標，再驗證P點是否在拋物線上即可求證；

(3)先根據尸/7,8。，求得NMHB=90。，根據(2)中的結果求得0C=4,根據8點(2,0),

可得OB=2,則有tan/C8O=2,分類討論：第一種情況：ABMHSRMP,即可得PC〃OB,

即尸點縱坐標等于C點縱坐標則可求出此時P點坐標為(14)；第二種情況:ABMHsAPMC,

過P點作PGJ_y軸于點G,先證明NGC尸=N08C,即有tan/GCP=2,即有2GC=GP,設

GP=a,則GC=；a,即可得P//=OG=；a+4,則有尸點坐標為3,；a+4),代入到拋物線即

可求出。值，則此時尸點坐標可求.

(1)

Vy=-2x2+bx+c的對稱軸為x='，

2

b1

?--271=2)=2'即"

Vy=-2/+bx+c過8點(2,0),

—2x22+/?x2+c=0,

，結合b=2可得c-4,

2

即拋物線解析式為：y=-2x+2x+4:

(2)

△POD不可能是等邊三角形，

理由如下：

假設AP。。是等邊三角形，過P點作于N點，如圖,

?.,當E)時，y=-2x2+2x+4=4,

，C點坐標為(0,4),

OC=4,

?.?。點是OC的中點，

...00=2,

?.,在等邊△PO￡>中，PNLOD,

:.DN=NO=gDO=\,

?.?在等邊APO。中，NNOP=60°,

：.在RmNOP中，NP=NOxtanZNOP=1xtan60°=G,

點坐標為

經驗證尸點不在拋物線上，

故假設不成立，

BPAPOD不可能是等邊三角形；

(3)

'：PHA.BO,

：./M”B=90°,

根據(2)中的結果可知C點坐標為(0,4),

即OC=4,

???8點(2,0),

:.08=2,

tanZCBO=2,

分類討論

第一種情況：2BMHs4cMP,

：.ZMHB=ZMPC=90°,

：.PC//OB.

???即0點縱坐標等于C點縱坐標，也為4,

肖產4時，-2x2+2x+4=4,

解得：尸1或者0,

???P點在第一象限，

???此時尸點坐標為(1,4),

第二種情況：ABMHSMMC,

?:/XBMHs叢PMC,

JNMHB=NMCP=900,

???ZGCP+ZOCB=90°,

:ZOCB+ZOBC=90°,

:.ZGCP=ZOBCf

.'.tanZGCP=tanZOBC=2,

VPG1OG,

???在心"GC中，2GC=GP,

設GP=a,

：.GC=-a,

2

GO——ci+0C=—ci+4,

22

VPG10G,PHLOH,

???可知四邊形PG。”是矩形,

PH-OG——a+4,

2

***P點坐標為(4,]〃+4),

17

**.—Q+4=—2。'4~2a+4,

2

3

解得：4二:或者0,

4

???p點在第一象限，

此時P點坐標為（33,邛35）；

48

ABMH與&PCM中，有NBMH=/PMC恒相等，

.'.△PCM中，當NCPM為直角時，若NPCM=NBMH,則可證是等腰直角三角形，

通過相似可知48仞H也是等腰直角三角形，這與tan/C8（A2相矛盾，故不存在當/CPM

為直角時，相等的情況；

同理不存在當NPCM為直角時，NCPM=N8M”相等的情況，

綜上所述：P點坐標為：（1,4）或者（三3,3=5）.

48

【點睛】本題考查了求解拋物線解析式、二次函數的圖像與性質、等邊三角形的判定、相似

三角形的性質、解直角三角形等知識，掌握二次函數的圖像與性質是解答本題的關鍵.

7.（2022?廣西）已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側）.

y

(1)求點A,點B的坐標；

(2)如圖，過點A的直線/：y=-x-l與拋物線的另一個交點為C,點尸為拋物線對稱軸上的

一點，連接上4、PC,設點尸的縱坐標為機，當E4=PC時，求，〃的值；

(3)將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段若拋物

線>=。(--+2》+3)3#0)與線段皿只有一個交點，請喜談寫出a的取值范圍.

【答案】(1)A(-1,0),B(3,0)

⑵-3

(3)a=-s￡x<-ls!cx>-

43

【分析】(1)令》=0,由拋物線解析式可得Mx-3)(x+l)=O,解方程即可確定點A,點8

的坐標；

(2)由拋物線解析式確定其對稱軸為x=l,可知點P(l,〃?)，再將直線/與拋物線解析式

聯立，解方程組可確定點C坐標，由%=尸8列方程求解即可；

(3)根據題意先確定點M(0,5)、N(4,5),令>=4(-/+2》+3)=5,整理可得

590

X2-2X+(--3)=0,根據一元二次方程的根的判別式為可知△=16-3,然后分情況討論

aa

△=0時以及A>0結合圖像分析a的取值范圍.

(1)

解：拋物線解析式/=-/+2》+3=-。-3)(》+1),令y=0,

可得一(x-3)(x+l)=0,

解得為=-1,々=3,

故點A、3的坐標分別為A(-1,0),B(3,0)；

(2)

2

對于拋物線y=-y+2x+3,其對稱軸為x=-丁丁不'=1,

2x(-1)

???點P為拋物線對稱軸上的一點，且點P的縱坐標為m,

：.P(Lm),

將直線/與拋物線解析式聯立，可得

[y--x2+2x+3=Tfx=4

V,,可解得〈A或〈

[y=-x-l[y=0[y=_

故點C坐標為(4,-5),

PA=7ll-(-l)]2+w2=，加2+4,

PB="(4—I))+(—5—㈤2=,病+10帆+34,

當小=P8時，BlW/M2+4=w2+10m+34.

解得m=-3；

(3)

將線段A8先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN,

結合(]),可知M(0,5)、N(4,5),

令y=a(-x2+2x+3)=5,整理可得f-2x+(*-3)=0,

a

570

其判別式為△=(-2)2—4X1X(——3)=16--,

aa

205

①當A=16--=0時，解得。=:，此時拋物線丁=〃(—工2+2%+3)("0)與線段MN只有一

a4

個交點；

20S

②當A=16——>0即時，解方程/一2工+(一—3)=0,

若。>0時，如圖1,

205

由A=16--->0,可解得〃〉;，

a4

此時有1+」4-』44,JE1-J4--<0,

vaVa

解得北|；

②當"0時，如圖2,

由△=16-201>0,可解得。<0,

此時有1+小4-：44,且1一

解得X4—1；

綜上所述，當拋物線y=a(-/+2x+3)(aw0)與線段MN只有一個交點時，a的取值范圍為

a=?或x4-1或x2.

【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，包括求二次函數與x軸的交點、利用二次函

數解決圖形問題等知識，解題關鍵是熟練運用數形結合和分類討論的思想分析問題.

8.(2022?福建)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a?+法經過A(4,0),B(1,

4)兩點.P是拋物線上一點，且在直線A8的上方.

(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△物8面積的2倍，求點尸的坐標；

(3)如圖，0P交AB于點、C,PD〃B0交AB于點D.記△CDP,&CPB,△C80的面積分別

為，，S”S?判斷苓+苓是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理

口2%

由.

【答案】(1)〉=-號*2+號x

⑵存在，(吟)或(3,4)

9

(3)存在,-

O

【分析】(1)待定系數法求解析式即可求解；

⑵待定系數法求得直線A8的解析式為y=-；4x+916,過點P作軸，垂足為例，

PM交AB于點M過點B作BEUM,垂足為E.可得，》=%>岫+&哂=7N,設

尸刎之+號〃力(]<a<4),則+號).由吶:卜刎②+號利卜卜加+號卜號

解方程求得加的值，進而即可求解；

(3)由已知條件可得AQ8CS_PDC,進而可得自+[=珠+黑=粵，過點8,P分別

與萬。C7COB

作X軸的垂線，垂足分別￡￡,PE交AB于點、2,過。作X的平行線，交PE于點G,可得

設尸(見一件〃?2+號可(1<m<

DPGSQBF,4),

,H,,,PDOGi俎”,”,,,,,,S,5,CDqPC、DGif5丫9,,,

根據7^7=777■可得4〃=?？—/?+4，Y-+'c-=_RF+TTF=—m—"("一，根

OBOFS2邑BCOCOF2(2)8

據二次函數的性質即可求的最大值.

(1)

解：(1)將A(4,0),B(1,4)代入y=aP+灰，

16。+4。=0

得

a+b=4

4

解得

所以拋物線的解析式為y=-#+等.

(2)

設直線AB的解析式為)，="+/(《#0),

將A(4,0),B(1,4)代入y=Ax+r,

解得“

1c

t=—

3

所以直線AB的解析式為y=-^4x+1y6.

過點P作軸，垂足為M,PM交AB于點、N.

過點8作BE_LPM,垂足為區

所以工.=S4PNB+S2PNA

=』PNXBE+!PNXAM

22

=3PNX(BE+AM)

=￥N.

因為A(4,0),B(1,4),所以S&o"=gx4x4=8.

因為△048的面積是△附B面積的2倍，

所以2x?PN=8,PN=1.

設尸(見-刎2+號〃0。〈機＜4),則M〃?,-刎+號).

所以取1-和。+學+卜刎+號)/，

即一料+冬時號哈

解得町=2,m2=3.

所以點尸的坐標為0，果或(3,4).

(3)

PD//BO

OBCsPDC

.CDPDPC

,~BC~~OB~~dc

記△CDP,ACPB,ZkCBO的面積分別為S],S2,S3.則決+3二

d2d3oC(7COB

如圖，過點用P分別作X軸的垂線，垂足分別尸,E,PE交AB于點。，過。作X的平行線,

交.PET點、G

B（l,4）,

飛，0）

OF=i

PD〃OB,DG〃OF

:「DPGs一OBF

.PDPGDG

''OB~~BF~~OF'

設0（機,一告〃?2+與〃"（1<根<4）

.直線AB的解析式為y=-^4x+1y6.

設0（%-盤2+號），則+g

16

3333

m2—4〃2—〃+4）

DG=m-n

—（irr—4m—71+4）

3______________m-n

4~1

整理得4〃=m2一機+4

.5?S?CDPCJPD

,S2S、-BCOC~OB

=2變

OF

5YYQ

時，u+售取得最大值，最大值為9

2%Ao

【點睛】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，面積問題，相似三角形的性質與

判定，第三問中轉化為線段的比是解題的關鍵.

9.(2022?貴州黔東南)如圖，拋物線丫=以2+2尤+,?的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點A,

8(3,0),與y軸交于點C,連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點。是第一象限內拋物線上的一個動點，過點。作。軸，垂足為點M,DM交

直線8c于點N,是否存在這樣的點N,使得以A,C,N為頂點的三角形是等腰三角形.若

存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點F,使以點8、C、E、F為

頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點尸的坐標：若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-y+2x+3

(2)存在這樣的點N(2,1)或(石，-6+3)或使得以A,C,N為頂點的三角形

是等腰三角形

(3)存在點尸的坐標為(4,1)或(-2,1)或黠

【分析】(1)根據拋物線的對稱軸是直線X=l，可得”-1,再把點8(3,0)代入，即可求解；

(2)先求出4c②=10,設點N(即+3)，可得4V2=2m2-4w+10.CN2=2n^,

再分三種情況討論：當4c=AN時，當AC