專題01直線與方程【清單01】直線的傾斜角與斜率一、直線傾斜角的定義1.定義：平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為α，則α叫做直線的傾斜角.2.規定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，3.范圍：[0,π)4.圖形：二、直線的斜率1.定義：一般的，如果直線l的傾斜角為α，則當α≠90°時，稱k=tanα為直線l的斜率；當α=90°時，稱直線l的斜率不存在.2.公式：已知點A(x1,y1)、B(x2,y【清單02】直線方程的五種形式名稱已知條件標準方程使用范圍點斜式斜率k,直線上一點（x0，yy-yo=k（x-x0）k存在斜截式斜率k,y軸上截距by=kx+bk存在兩點式直線上的兩點P1（x1，y1）,y?直線既不能垂直于x軸,也不能垂直于y軸截距式直線在x,y軸上的截距分別為a,b，且a≠0，b≠0，x直線既不能垂直于x軸,也不能垂直于)軸,且不過原點一般式A,B不同時為0Ax+By+C=0通用【清單03】兩條直線的平行與垂直一、兩條直線平行與斜率之間的關系類型斜率存在斜率不存在條件αα對應關系k1=k兩直線斜率都不存在?l1∕∕圖示二、兩條直線垂直與斜率之間的關系類型斜率存在且不為0斜率不存在或斜率為0條件αα對應關系k兩直線的斜率一個不存在，一個斜率為0?圖示三、一般式判斷兩條直線的位置關系l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0l1A1l1A1l1A1l1A1【清單04】距離公式一、兩點間距離公式點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝（二、點到直線距離公式1.點到直線的距離公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.點到特殊直線的距離公式點P0(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d＝|y0-a|,到y軸的距離d＝|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d＝|x0-b|.三、兩條直線距離公式1.兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.2.兩條平行線之間的距離公式兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【考點題型一】直線的傾斜角方法總結：直線的傾斜角需要注意符合傾斜角的取值范圍，（0，π]【例1】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）若一條直線經過兩點1,0和2,3A．π6 B．π3 C．2π3【答案】B【分析】應用直線斜率公式，結合直線斜率與傾斜角的關系進行求解即可.【詳解】因為一條直線經過兩點1,0，2,3所以該直線的斜率為3?0則有該直線的傾斜角滿足tanα=3所以α=故選：B【變式1-1】（22-23高二上·福建福州·期中）已知傾斜角為θ的直線l與直線x+3y?3=0的夾角為A．30°或150° B．60°或0° C．90°或30° D．60°或180°【答案】C【分析】設直線的傾斜角為φ，根據tanφ=?3【詳解】x+3y設直線的傾斜角為φ，φ∈0,π，則tanφ夾角為60°，故θ=90°或θ故選：C.【變式1-2】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）設直線l1:2xA．α<β<γ B．β<α【答案】D【分析】首先根據直線方程分別求解每條直線斜率，然后根據斜率判斷傾斜角的范圍，根據范圍比較大小即可.【詳解】∵l1:2x+y?1=0∵l2:x?3y=0∵l3:x?3=0綜上所述可得：β<故選：D【變式1-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）若過兩點M3,y，N0,A．0 B．?23 C．43【答案】B【分析】根據兩點的斜率公式及傾斜角的關系計算即可.【詳解】由于直線MN的傾斜角為2π3，則該直線MN的斜率為k又因為M3,y，N0,3，所以故選：B【變式1-4】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）若直線l經過兩點A2,m、B?m,2m?1A．12 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根據斜率的定義以及斜率公式可得出關于實數m的等式，解之即可.【詳解】由斜率的定義可得kAB=tan45°，即故選：D.【考點題型二】直線的斜率方法總結：1.定義：傾斜角α的正切值，（α≠90°）2.記法：k=tanα3.經過兩點A(x1【例2】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）經過A?1,2，BA．2 B．?2 C．12 D．【答案】B【分析】直接代入直線斜率公式即可.【詳解】經過A?1,2，B?4,8兩點的直線的斜率是故選：B.【變式2-1】（22-23高二上·江蘇蘇州·期中）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如下圖是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側對稱排列.已知拉索上端相鄰兩個錨的間距PiPi+1i=1,2,3,…,9約為4.4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距AiAiA．±0.40 B．±0.42 C．±0.43 D．±0.45【答案】B【分析】根據題意利用已知長度可分別計算OA10，【詳解】解：如圖，以O為原點建系，根據題意，最短拉索的錨P1，A1滿足OP且PiPi+1i=1,2,3,?,9均為則OA10=同理B10又OP10=所以kA10P即最長拉索所在直線的斜率為±0.42.故選：B.【變式2-2】（23-24高二上·山東·階段練習）若某等腰直角三角形斜邊所在直線的傾斜角為15°，則該三角形兩條直角邊所在直線的斜率之和為（

）A．0 B．233 C．?23【答案】B【分析】不妨把三角形的一個頂點放在原點，然后作圖分析直角邊所在直線的傾斜角，結合直線垂直的斜率關系可解.【詳解】不妨把三角形的一個頂點放在原點，如圖所示，因為直線OA的傾斜角為15°，∠AOB所以直線OB的傾斜角為150°或60°，即kOB=?3因為OB⊥AB，所以當kOB當kOB=3所以kOB故選：B【變式2-3】（22-23高二上·江蘇徐州·期中）若三點A1,2，B3,m，C7,【答案】3【分析】利用AB,【詳解】由A1,2，B3,m可得kAB=k解得m=3故答案為：3【變式2-4】(多選)（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）臺球運動已有五六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球.如圖，有一張長方形球臺ABCD，AB=3AD，現從角落A沿角α的方向把球打出去，球經2次碰撞球臺內沿后進入角落C的球袋中，若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律，則

A．19 B．12 C．1 【答案】AC【分析】根據題意畫出示意圖，進而求解結論．【詳解】因為AB=3AD，現從角落A沿角α的方向把球打出去，球經2次碰撞球臺內沿后進入角落當是圖一時，如圖：A關于DC的對稱點為E，C關于AB的對稱點為F；

如圖；根據直線的對稱性可得：tanα當是圖2時，如圖：A關于BC的對稱點為G，C關于AD的對稱點為E，

如圖：根據直線的對稱性可得：tanα故選：AC．【考點題型三】斜率與傾斜角的變化方法總結：:已知線段AB的兩端點及線段外一點P，求過點P且與線段AB有交點的直線l斜率的取值范圍.若直線PA,PB的斜率都存在，解題步驟如下:①連接PA,PB;②由k=y2?y1x③結合圖形寫出滿足條件的直線l斜率的取值范圍【例3】（23-24高二上·江蘇鎮江·期中）已知直線l經過點A(?1,2)，且不經過第三象限，則直線l的斜率kA．(?2,0] B．(?∞,?2]∪[0,+∞) C．[1,2] D．[?2,0]【答案】D【分析】直接根據圖像觀察可得直線斜率的取值范圍.【詳解】因為直線l經過點A(?1,2)所以kOA又kOA所以?2≤k故選：D.【變式3-1】（多選）（21-22高二上·江蘇南通·期中）若經過A1?a,1+a和A．?2 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】利用kAB=1+【詳解】據題意可知kAB即2+a>0，所以故選：BCD．【變式3-2】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知點A2,3，B?5,2，若過點C?1,5的直線l與線段AB相交，則直線l【答案】?∞,?【分析】數形結合，觀察傾斜角的變換情況確定斜率的變換情況.【詳解】如圖直線l與線段AB相交，因為kAC結合圖形可知l的斜率取值范圍是?∞,?2故答案為：?∞,?【變式3-3】（21-22高二上·江蘇鹽城·期中）直線x?ay?1=0的傾斜角大于π【答案】0,1【分析】求得直線的斜率，結合斜率與傾斜角的關系，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，直線x?ay?1=0，可得直線的斜率為k因為直線的傾斜角大于π4，可得1a>1所以正實數a的取值范圍0,1.故答案為：0,1.【變式3-4】（22-23高二上·河南洛陽·階段練習）直線xcosA．?∞,3 B．2,+∞ C．?∞,0∪0,【答案】A【分析】求出直線的斜率的表達式，通過角的范圍求解斜率的范圍即可.【詳解】由xcosθ+當θ=π2當θ∈(0,π2因為θ∈(0,5π所以k=?所以k∈(?∞,故選：A【考點題型四】直線方程的五種形式方法總結：求直線方程常用的方法是直接法和待定系數法，但在待定條件下，應考慮下面的設法。(1)已知直線的縱截距，常設方程的斜截式;(2)已知直線的橫截距和縱截距，常設方程的截距式(截距均不為0)(3)已知直線的斜率和所過的定點，常設方程的點斜式，但如果只給出一個定點，一定不要遺漏斜率不存在的情況;(4)僅知道直線的橫截距，常設方程形式:x=my+a(其中a是橫截距，m是參數)，注意此種設法不包含斜率為0的情況，且在后面要學的圓錐曲線章節中經常使用如果沒有特別要求，求出的直線方程應化為一般式Ax+By+c=0(A，B不同時為0.)【例4】（23-24高二上·江蘇·期中）已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x【答案】3【分析】先將點代入得到兩條直線方程，再由兩點都在直線上得到過該兩點的直線.【詳解】將點A3,2代入兩條直線可得3所以點P1a1而經過兩點的直線只有一條，所以直線方程是3x故答案為：3x【變式4-1】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知直線l1：x?2y?2=0的傾斜角為θ，直線l2的傾斜角為2θ，且直線l2【答案】4【分析】確定tanθ=1【詳解】直線l1：x?2y?2=0的傾斜角為故tan2θ=2tanθ1?tan2故直線方程為y=43故答案為：4【變式4-2】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知直線l經過1,2(1)當直線的傾斜角為45°時，求直線l的方程；(2)當直線l在兩坐標軸上的截距相等時，求直線l的方程.【答案】(1)x(2)x+y【分析】（1）由直線的傾斜角為45°時，求得斜率為k=tan45°=1（2）當直線過原點時，得到2x?y=0；當直線不過原點時，設方程為xa【詳解】（1）由題意，直線l的傾斜角為45°時，可得直線l的斜率為k=tan45°=1又由直線l經過1,2，所以直線l的方程為y?2=x?1，即直線l（2）當直線l過原點時，因為直線l經過1,2，可得直線l方程為y=2x，即當直線不過原點時，可設直線l的方程為xa因為直線l過點1,2，可得1a+2a=1，解得a綜上所述，直線l的方程為x+y?3=0【變式4-3】（23-24高二上·江蘇常州·期中）過點P2,1的直線l與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點．當△A．x+2y?4=0C．x+3y?5=0【答案】A【分析】令直線為xa+yb=1【詳解】由題設，令直線為xa則2a+1當且僅當a=4,b=2時等號成立，此時△所以直線方程為x4故選：A【變式4-4】（20-21高二上·浙江·期中）已知直線l1:(1)若直線l1在兩坐標軸上的截距相等，求實數a(2)若l1∥l2，求直線【答案】(1)a(2)x【分析】（1）由一般方程求截距，根據條件，列式求解；（2）代入兩直線平行的公式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，a≠0直線l1在x軸上的截距為2a?4a，在則2a?4a（2）若l1則4a=?2a2且此時直線l2的方程為x【考點題型五】兩條直線的平行與垂直方法總結：判斷兩條直線平行時，注意檢驗重合；判斷兩條直線的垂直時，注意考慮斜率不存在與斜率為0的情況【例5】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知直線ax+2ay+1=0A．0或3 B．3C．0或?3 D．?3【答案】D【分析】利用兩條直線垂直的性質，即可求出a的值【詳解】∵直線l1:ax∴a即a(解得a=?3或a=0(不滿足直線l故選：D.【變式5-1】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）直線l1:ax+3yA．?1 B．1C．3 D．?1或3【答案】C【分析】根據兩直線平行的條件，列式求解即可.【詳解】因為l1：ax由l1//l2可得解得a=3故選：C.【變式5-2】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）直線a+1x+3y+3=0A．2 B．1C．?2 D．2或?2【答案】C【分析】求出兩直線不相交時的a值，再驗證即可得解.【詳解】當直線a+1x+3y+3=0與直線x當a=2時，直線3x+3當a=?2時，直線?x+3y+3=0所以實數a的值為?2.故選：C【變式5-3】（23-24高二上·江蘇南京·期中）在平面直角坐標系xOy中，已知點M(2,3)和N(4,0)，點Q在x軸上．若直線MQ與直線MN的夾角為π2【答案】(1【分析】翻譯垂直條件，利用直線斜率建立方程求解即可.【詳解】設Q橫坐標為a，且由題意得kMQ=∵MQ與MN相互垂直，∴kMQ?k故答案為：(【變式5-4】（23-24高二上·福建福州·階段練習）若a，b為正實數，直線2a?1x+y+1=0與直線【答案】18【分析】由直線垂直的條件求得a,【詳解】由題意2a?1+b由基本不等式得1=2a+b≥22ab，所以故答案為：18【考點題型六】由直線的平行與垂直求直線方程方法總結：1.根據平行關系求直線方程的方法(1)若直線l與已知直線y=kx+b平行，則可設l的方程為y=kx+m(m≠b)，然后利用待定系數法求參數m，從而求出直線l的方程(2)若直線1與已知直線Ax+By+C=0(A，B不全為0)平行，則可設l的方程為Ax+By+m=0(m≠C)，然后用待定系數法求參數m，從而求出直線的方程.2.根據垂直關系求直線方程的方法(1)若直線l的斜率存在且不為0，與已知直線y=kx+b垂直，則可設直線l的方程為y=-1k(2)若直線1與已知直線Ax+By+C=0(A，B不全為0)垂直，則可設l的方程為Bx-Ay+m=0，然后利用待定系數法求參數m的值，從而求出直線l的方程.【例6】（23-24高二上·江蘇南通·期中）過點3,4且與直線2xA．3x?2yC．3x+2y【答案】B【分析】由題可得直線2x【詳解】2x則所求直線斜率為32，又過點3,4，則直線方程為：y故選：B【變式6-1】（22-23高二·貴州貴陽·階段練習）過點(1,2)且垂直于直線3xA．2x+3yC．3x?2y【答案】A【分析】設垂直于直線3x?2y+5=0的直線為2x【詳解】設垂直于直線3x?2y代入點(1,2)得C=?8則所求直線為2x故選：A.【變式6-2】（23-24高二上·江蘇常州·期中）過點1,2且與直線x?2y?3=0【答案】2【分析】根據垂直關系設直線方程為2x+2y【詳解】設與直線x?2y?3=0代入點1,2可得2+2+c=0，解得所以過點1,2且與直線x?2y?3=0故答案為：2x【變式6-3】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知△ABC的頂點A5,1，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0，(1)求頂點C的坐標.(2)求直線BC的方程.【答案】(1)4,3(2)22【分析】（1）根據互相垂直兩直線斜率的關系，結合直線的點斜式方程，通過解方程組進行求解即可；（2）根據中點坐標公式，結合直線點斜式方程進行求解即可.【詳解】（1）∵邊AC上的高BH所在直線方程為x?2∴kAC?kBH∵△ABC的頂點A5,1，∴直線AC方程;即2x+y?11=0與解得：x=4y=3，∴頂點C（2）∵CM所在直線方程為2x?∵M是AB中點，A5,1，∵B2m?5,4m∴2m?5?24m?11∴BC的方程為：y?3=22【變式6-4】（20-21高二上·北京海淀·期中）已知直線l的傾斜角為60°，且l過點P(（1）求l的方程；（2）若直線m與直線l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程.【答案】（1）3x?y?4=0；（2）【分析】（1）由題設可得k=tan60°=（2）由直線平行可設直線m為3x?y【詳解】（1）由題設，直線l的斜率k=tan60°=3，又l過點∴y+1=3(（2）由題設，令直線m為3x?y∴C=10或C=?2，故直線m為3x【考點題型七】直線過定點問題方法總結：直線方程過定點問題常用的三種方法:1.將方程化為點斜式y-y0=k(x-x0),其中k為參數,求得直線恒過定點(x02.分離參數法:將方程變形,把x,y作為參數的系數,即有參數的放在一起，沒參數的放在一起,因為此式子對任意的參數的值都成立,故需系數為零,解方程組可得x,y的值,即為直線過的定點的坐標.3.賦值法:因為參數取任意實數,所以給參數任取兩次值,得到關于x,y的二元一次方程組,解方程組可得x,y的值,即為直線過的定點的坐標.【例7】（20-21高二上·安徽六安·期末）直線kx?y+1?3A．3,1 B．0,1C．0,0 D．2,1【答案】A【分析】直線方程轉化為：x?3k?【詳解】解：直線方程轉化為：x?3令x?3=0?y所以直線過定點3,1，故選：A．【變式7-1】（22-23高二上·福建三明·階段練習）已知m∈R,若過定點A的動直線l1:x-my+m-2=0和過定點B的動直線l2:y-4=-mA．56 B．C．52 【答案】C【分析】首先確定定點A和定點B的坐標,再判定兩條直線是垂直關系,從而得到PA2【詳解】根據題意:動直線l1:x-my動直線l2:y-4=-mAB=∵直線l1:x-my+m-2=0和直線∴l1∵直線l1與直線l2交于點∴PA⊥∴PA2∴△PAB為直角三角形,且AB設∠PAB=θ,θ∴PA+∵θ∴θ∴當θ+π4=π2即故選:C.【變式7-2】（多選）（21-22高二上·江蘇常州·期中）已知直線l1:xA．不存在k，使得l2的傾斜角為90° B．對任意的k，直線lC．對任意的k，l1與l2都不重合 D．對任意的k，l1【答案】BD【分析】對A，令k=0對B，化簡直線方程，根據定點滿足k的系數為0，且滿足方程即可；對C，令k=?對D，根據B可得l2過定點(0,?1)【詳解】對A，當k=0時，l對B，l2:(k+1)x+ky+k對C，當k=?12時，l對D，l2過定點(0,?1)，而(0,?1)也在l1:x?y?1=0故選：BD【變式7-3】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）設m∈R，過定點A的動直線x+my+2=0和過定點B的動直線mx?y?2【答案】25【分析】根據直線方程得到A?2,0，B2,3，PA⊥【詳解】直線x+my+2=0直線mx?y?2m+3=0可整理為m所以B2,3因為1?m+m??1=0，所以直線所以點P的軌跡為以AB為直徑的圓，AB=?2?22所以PA?PB≤故答案為：252【變式7-4】（21-22高二上·江蘇連云港·期中）已知直線l：(4λ(1)求證：直線l過定點；(2)若直線l被兩平行直線l1：x?2y+2=0與l2：x【答案】(1)證明見解析；(2)λ=【分析】（1）將直線方程化為λ(4x?（2）聯立直線方程分別求出C，D的坐標，求其中點M的坐標，易知其同時為AB的中點，最后代入題設直線方程求參數λ即可.【詳解】（1）由已知：(4λ+1)x令{4∴直線l恒過定點(1,4).（2）設直線l1，l2分別與直線由{2x+由{2x+∴CD的中點M的坐標為(－2,－2)，不妨設A在直線l1上，B在直線l2上，則△AMC將M代入直線l的方程得：(4λ+1)(?2)?(λ【考點題型八】距離公式及應用方法總結：距離公式綜合應用的三種常用類型最值問題:①利用對稱轉化為兩點之間的距離問題②利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離，③利用距離公式將問題轉化為一元二次函數的最值問題，通過配方求最值求參數問題:利用距離公式建立關于參數的方程或方程組，通過解方程或方程組求值(3)求方程的問題:立足確定直線的幾何要素--點和方向、利用直線方程的各種形式、結合直線的位置關系：平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系，巧設直線方程，在此基礎上借助三種距離公式求解.【例8】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線l1:2xA．255 C．3510 【答案】C【分析】利用平行直線的距離公式可得.【詳解】將直線l1方程化為4由平行直線的距離公式得d=故選：C【變式8-1】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知過A(m,2),B(?A．2 B．6C．22 D．【答案】C【分析】利用傾斜角求出m=1【詳解】由題知，m?1?2解得m=1，故A則A,B兩點間的距離為故選：C【變式8-2】（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知直線l過點P?2,?3，若點M2,?1和點N4,5到直線lA．3x?yC．x?y?1=0【答案】BC【分析】由題意，直線l存在斜率，設直線l的方程為y+3=【詳解】當直線l的斜率不存在時，方程為x=?2，M2,?1和N4,5因此直線l存在斜率，設直線l的方程為y+3=kx若點M2,?1和點N4,5到直線則|2k+1+2k?3|k2+1∴直線l的方程為3x?y故選：BC.【變式8-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(3,?2)，B(?3,4)(1)求BC邊所在的直線方程；(2)求△ABC【答案】(1)2(2)15【分析】（1）由B，C兩點的坐標，得直線的兩點式方程，化簡得一般式方程；（2）用兩點間距離公式求B，C兩點間的距離，計算點A到直線BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.【詳解】（1）因為B(?3,4)，C(0,6)，所以BC所在的直線方程為即2x（2）B，C兩點間的距離為BC=點A到直線BC的距離d=所以△ABC的面積為1【變式8-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知直線l：m+n(1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標；(2)當點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程.【答案】(1)證明見解析，1,1；(2)3x【分析】（1）直線方程整理為關于m,n的方程，然后由（2）記定點為Q(1,1)，由直線l【詳解】（1）直線方程整理為(x由x?y=0所以直線過定點(1,1)．（2）記定點為Q(1,1)，易知點P到直線l的距離d≤PQ，當dkPQ=5?14?1直線l方程為y?1=?34【考點題型九】和差最值與對稱問題方法總結：將軍飲馬問題：利用三角形邊角關系，兩邊之和大于第三邊，兩