專題5.7三角函數的圖象與性質-重難點題型精講1．正弦函數與余弦函數的圖象(1)正弦函數的圖象①根據三角函數的定義，利用單位圓，我們可以得到函數y=,x∈[0,2π]的圖象，如圖所示.

②五點法觀察圖，在函數y=,x∈[0,2π]的圖象上，以下五個點：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在確定圖象形狀時起關鍵作用.描出這五個點，函數y=,x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數的簡圖.這種作圖的方法叫做“五點(畫圖)法”.(2)余弦函數的圖象

①圖象變換法作余弦函數的圖象

由誘導公式六，我們知道，而函數,x∈R的圖象可以通過正弦函數y=,x∈R的圖象向左平移個單位長度而得到.所以將正弦函數的圖象向左平移個單位長度，就得到余弦函數的圖象，如圖所示.②五點法作余弦函數的圖象

類似于正弦函數圖象的作法，從余弦函數y=,x∈R的圖象可以看出，要作出函數y=在[0,2]上的圖象，起關鍵作用的五個點是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出這五個點，然后把這五個點用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數y=在[0,2]上的簡圖，再通過左右平移(每次移動2個單位長度)即可得到余弦函數y=,x∈R的圖象.(3)正弦曲線、余弦曲線

正弦函數的圖象和余弦函數的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.它們是具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.2．正弦函數與余弦函數的性質(1)周期函數①定義：一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.

②最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函數與余弦函數的性質正弦函數與余弦函數的圖象與性質如下表：3．正弦型函數及余弦型函數的性質函數和的性質4．正切函數的性質與圖象(1)正切函數的圖象及性質(2)三點兩線法作正切曲線的簡圖類比于正、余弦函數圖象的五點法，我們可以采用三點兩線法作正切函數的簡圖.“三點”是指點(-,-1),(0,0),(,1);“兩線”是指直線x=-和x=.在三點、兩線確定的情況下,可以大致畫出正切函數在區(qū)間(-,)上的簡圖.5．余切函數的圖象及性質正切函數的圖象及性質：=，即將的圖象先向右平移個單位長度，再以x軸為對稱軸上下翻折，可得的圖象.余切函數的圖象與性質如下表：【題型1正、余弦函數圖象的應用】【方法點撥】正、余弦函數圖象的應用主要有：函數圖象的識別問題、解三角不等式、利用圖象解決與函數零點或圖象交點個數有關的問題；需要結合具體條件，根據正、余弦函數的圖象及性質進行求解.【例1】（2022·上海高一期中）函數y=10sinx與函數y=x的圖像的交點個數是（A．3 B．6 C．7 D．9【變式1-1】（2022·湖南·高三開學考試）與圖中曲線對應的函數可能是（

）A．y=|sinx| C．y=?|sinx| 【變式1-2】（2021·江蘇·高一課時練習）從函數y=cosx,x∈[0,2π)的圖象來看，當x∈[0,2π)時，對于cosx=?32A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1-3】（2021·全國·高一專題練習）在x∈0,2π上，滿足cosx>sinx的A．π4,5π4 B．0,π4【題型2定義域、值域與最值問題】【方法點撥】求與三角函數有關的函數的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助正弦函數的有界性、單調性求解；(2)轉化為關于的二次函數求解.注意求三角函數的最值對應的自變量x的值時，要考慮三角函數的周期性.【例2】（2022·全國·高一課時練習）函數f(x)=sin(2x+π6)A．1，-1 B．12，?12 C．1，1【變式2-1】（2022·甘肅·高二開學考試）函數f(x)=tanx+πA．x|x≠kπ+πC．x|x≠kπ?π【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）函數fx=sin(2x+πA．0,1 B．?C．?32,1 【變式2-3】（2022·湖南高三階段練習）奇函數f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,φ∈(0,π))在區(qū)間[?π3,A．[2,6) B．[2,92) C．[【題型3單調性問題】【方法點撥】單調性問題主要有：函數的單調區(qū)間的求解、比較函數值的大小；結合具體條件，根據三角函數的圖象與性質進行求解即可.【例3】（2022·廣東廣州·高二期中）下列區(qū)間中，函數fx=2sinA．π,10π9 B．2π3,π【變式3-1】（2022·內蒙古·高三階段練習（文））已知函數fx=1+2sinωxω>0，若fx在A．0,12 B．0,2 C．9,10 D．0,2【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）函數fx=tanA．2k?32,2k+12，k∈C．k?32,k+12，k∈【變式3-3】（2022·廣西南寧·高三階段練習（文））若函數fx=2cosωx+π4A．1 B．114 C．113 【題型4奇偶性與對稱性問題】【方法點撥】掌握正弦、余弦、正切函數的奇偶性和對稱性相關知識，結合具體題目，靈活求解.【例4】（2022·全國·高三專題練習）下列函數中，偶函數是（

）A．fx=sinC．fx=tan【變式4-1】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數fx=2sinx+A．?1 B．1 C．1或-1 D．2【變式4-2】（2023·北京市高三期中）函數f（x）的圖象是中心對稱圖形，如果它的一個對稱中心是（π2，0），那么f（x）的解析式可以是（

A．sinx B．cosx C．sinx+1 D．【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）設函數fx=2cos2x+φ的圖象關于點5πA．7π6 B．5π6 C．【題型5三角函數的周期性】【方法點撥】證明一個函數是否為周期函數或求函數周期的大小常用以下方法：(1)定義法：即對定義域內的每一個x值，看是否存在非零常數T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，則函數是周期函數且T是它的一個周期.(2)公式法：利用三角函數的周期公式來求解.(3)圖象法：畫出函數的圖象，通過圖象直觀判斷即可.【例5】在函數y=sin2x,y=sinx,y=cosA．y=sin2x B．y=sinx C．【變式5-1】（2022·河南安陽·高三期中（文））已知函數fx=sinωx?πA．f2<f0C．f?2<f0【變式5-2】（2020·福建省高三階段練習）給出下列函數：①y=cos2x；②y=cosx；③y=其中最小正周期為π的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【變式5-3】（2022·河南省高一階段練習）下列四個函數中，在區(qū)間π2,π上單調遞增，且最小正周期為π的是（A．y=?sin2x B．y=cosx C．【題型6三角函數的圖象與性質的綜合應用】【方法點撥】解決正(余)弦型函數的圖象與性質的綜合應用問題的思路：1.熟練掌握函數或的圖象，利用基本函數法得到相應的函數性質，然后利用性質解題.2.直接作出函數圖象，利用圖象形象直觀地分析并解決問題.【例6】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數fx=2sin(1)求函數fx(2)若函數gx=fx?m在【變式6-1】（2022·湖南·高二階段練習）已知函數fx=sinωx+φ（ω>0，(1)若fx的最小正周期為2π，求(2)若x=?π4是fx的零點，是否存在實數ω，使得fx在【變式6-2】（2022·湖北·高三階段練習）已知函數f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤(1)若fx的最小正周期為2π，求f(2)若?x∈R，fx+π4=fπ4?x，是否存在實數【變式6-3】（2022·湖北·高三階段練習）已知函數fx=Acosωx+φ+3(A>0,ω>0,0<φ<π)(1)求fx(2)將曲線y=fx向左平移π12個單位長度，得到曲線專題5.7三角函數的圖象與性質-重難點題型精講1．正弦函數與余弦函數的圖象(1)正弦函數的圖象①根據三角函數的定義，利用單位圓，我們可以得到函數y=,x∈[0,2π]的圖象，如圖所示.

②五點法觀察圖，在函數y=,x∈[0,2π]的圖象上，以下五個點：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在確定圖象形狀時起關鍵作用.描出這五個點，函數y=,x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數的簡圖.這種作圖的方法叫做“五點(畫圖)法”.(2)余弦函數的圖象

①圖象變換法作余弦函數的圖象

由誘導公式六，我們知道，而函數,x∈R的圖象可以通過正弦函數y=,x∈R的圖象向左平移個單位長度而得到.所以將正弦函數的圖象向左平移個單位長度，就得到余弦函數的圖象，如圖所示.②五點法作余弦函數的圖象

類似于正弦函數圖象的作法，從余弦函數y=,x∈R的圖象可以看出，要作出函數y=在[0,2]上的圖象，起關鍵作用的五個點是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出這五個點，然后把這五個點用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數y=在[0,2]上的簡圖，再通過左右平移(每次移動2個單位長度)即可得到余弦函數y=,x∈R的圖象.(3)正弦曲線、余弦曲線

正弦函數的圖象和余弦函數的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.它們是具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.2．正弦函數與余弦函數的性質(1)周期函數①定義：一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.

②最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函數與余弦函數的性質正弦函數與余弦函數的圖象與性質如下表：3．正弦型函數及余弦型函數的性質函數和的性質4．正切函數的性質與圖象(1)正切函數的圖象及性質(2)三點兩線法作正切曲線的簡圖類比于正、余弦函數圖象的五點法，我們可以采用三點兩線法作正切函數的簡圖.“三點”是指點(-,-1),(0,0),(,1);“兩線”是指直線x=-和x=.在三點、兩線確定的情況下,可以大致畫出正切函數在區(qū)間(-,)上的簡圖.5．余切函數的圖象及性質正切函數的圖象及性質：=，即將的圖象先向右平移個單位長度，再以x軸為對稱軸上下翻折，可得的圖象.余切函數的圖象與性質如下表：【題型1正、余弦函數圖象的應用】【方法點撥】正、余弦函數圖象的應用主要有：函數圖象的識別問題、解三角不等式、利用圖象解決與函數零點或圖象交點個數有關的問題；需要結合具體條件，根據正、余弦函數的圖象及性質進行求解.【例1】（2022·上海高一期中）函數y=10sinx與函數y=x的圖像的交點個數是（A．3 B．6 C．7 D．9【解題思路】作出函數y=10sinx和【解答過程】y=10sinx的最小正周期是2π，y=x∈[?10,10]時，x∈[?10,10]，作出函數y=10sinx和y=x的圖象，只要觀察故選：C．【變式1-1】（2022·湖南·高三開學考試）與圖中曲線對應的函數可能是（

）A．y=|sinx| C．y=?|sinx| 【解題思路】判斷各選項中函數在區(qū)間0,π或π,2π上的函數值符號以及奇偶性，可得出合適的選項.【解答過程】對于A選項，當0<x<π時，y=sin對于B選項，當0<x<π時，0<x<π，對于C選項，當π<x<2π時，y=?sin對于D選項，令fx=?sinf?x=?sin當0<x<π時，fx故選：D.【變式1-2】（2021·江蘇·高一課時練習）從函數y=cosx,x∈[0,2π)的圖象來看，當x∈[0,2π)時，對于cosx=?32A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解題思路】畫出y=cosx,x∈[0,2π)和【解答過程】先畫出f(x)=cosx，x∈[0,2π)的圖象，即A與再畫出g(x)=?3由圖象可知它們有2個交點B、C，所以當x∈[0,2π)時，cosx=?32故選：C.【變式1-3】（2021·全國·高一專題練習）在x∈0,2π上，滿足cosx>sinx的A．π4,5π4 B．0,π4【解題思路】作出y=sinx和y=cos【解答過程】作出y=sinx和y=cos根據函數圖象可得滿足cosx>sinx的x故選：C.【題型2定義域、值域與最值問題】【方法點撥】求與三角函數有關的函數的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助正弦函數的有界性、單調性求解；(2)轉化為關于的二次函數求解.注意求三角函數的最值對應的自變量x的值時，要考慮三角函數的周期性.【例2】（2022·全國·高一課時練習）函數f(x)=sin(2x+π6)A．1，-1 B．12，?12 C．1，1【解題思路】利用正弦型函數的性質求區(qū)間最值即可.【解答過程】由題設，2x+π6∈[所以f(x)最大值和最小值分別為1，?1故選：D.【變式2-1】（2022·甘肅·高二開學考試）函數f(x)=tanx+πA．x|x≠kπ+πC．x|x≠kπ?π【解題思路】根據正切函數的定義域可得結果.【解答過程】因為x+π4≠k故f(x)的定義域為x|x≠kπ故選：A.【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）函數fx=sin(2x+πA．0,1 B．?C．?32,1 【解題思路】根據正弦型函數的圖像和單調性即可求解.【解答過程】當x∈?π3,π3時，2x+π3∈?π3,π，當故值域為?3故選：C.【變式2-3】（2022·湖南高三階段練習）奇函數f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,φ∈(0,π))在區(qū)間[?π3,A．[2,6) B．[2,92) C．[【解題思路】由f(x)為奇函數且φ∈(0,π)得φ=π2，由已知有【解答過程】由f(x)為奇函數，則φ=kπ+π2，k∈Z，又φ∈(0,π)所以f(x)=?sinωx，在x∈[?π3,當0<ωπ4<π2當π2≤ωπ4<當?π2<?綜上，ω的取值范圍是[2,9故選：B.【題型3單調性問題】【方法點撥】單調性問題主要有：函數的單調區(qū)間的求解、比較函數值的大小；結合具體條件，根據三角函數的圖象與性質進行求解即可.【例3】（2022·廣東廣州·高二期中）下列區(qū)間中，函數fx=2sinA．π,10π9 B．2π3,π【解題思路】利用代入檢驗的方式，分別得到3x?π【解答過程】對于A，當x∈π,10π9時，對于B，當x∈2π3,π時，對于C，當x∈2π9,2π3對于D，當x∈π9,π2故選：A.【變式3-1】（2022·內蒙古·高三階段練習（文））已知函數fx=1+2sinωxω>0，若fx在A．0,12 B．0,2 C．9,10 D．0,2【解題思路】由2kπ?π2≤ωx≤2kπ+π2k∈Z【解答過程】令2kπ?π2≤ωx≤2kπ+故2kπω?π2ω∵ω>0，∴k＝0時，0<ω≤2；k＝1時，9≤ω≤10；k≥2時，∵12k?3>8k+2，故k≥2不符合題意．綜上所述，ω∈0,2故選：D．【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）函數fx=tanA．2k?32,2k+12，k∈C．k?32,k+12，k∈【解題思路】利用正切函數的單調遞增區(qū)間，可令?π2+k【解答過程】根據正切函數的單調性可得，欲求fx令?π2+kπ<π2所以函數fx的單調遞增區(qū)間為2k?32故選：A.【變式3-3】（2022·廣西南寧·高三階段練習（文））若函數fx=2cosωx+π4A．1 B．114 C．113 【解題思路】根據題意得3π4-π2=π4≤12T=πω，即0<【解答過程】因為函數f(x)=2cos所以3π4-所以x因為y=cosx的單調遞減區(qū)間為所以π2ω+由于-12+4所以當k=1時，得ω的最大區(qū)間：7故ω的最大值是113故選：C.【題型4奇偶性與對稱性問題】【方法點撥】掌握正弦、余弦、正切函數的奇偶性和對稱性相關知識，結合具體題目，靈活求解.【例4】（2022·全國·高三專題練習）下列函數中，偶函數是（

）A．fx=sinC．fx=tan【解題思路】根據誘導公式化簡函數解析式，再根據正弦、余弦、正切函數的奇偶性可得答案.【解答過程】對于A，f(x)=sin對于B，f(x)=cos對于C，fx=tan對于D，fx=sin故選：D.【變式4-1】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數fx=2sinx+A．?1 B．1 C．1或-1 D．2【解題思路】由函數為偶函數得到π4+φ=π【解答過程】由函數fx=2sinx+π4tanφ故選：B.【變式4-2】（2023·北京市高三期中）函數f（x）的圖象是中心對稱圖形，如果它的一個對稱中心是（π2，0），那么f（x）的解析式可以是（

A．sinx B．cosx C．sinx+1 D．【解題思路】判斷各選項中函數是否有對稱中心(π【解答過程】四個選項中函數都是連續(xù)函數，x=π由余弦函數性質知，B正確．故選：B．【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）設函數fx=2cos2x+φ的圖象關于點5πA．7π6 B．5π6 C．【解題思路】利用5π6,0為對稱中心，列出方程，求出φ=?【解答過程】由題意得：2×5π6解得：φ=?7π6+k所以φ=?7π當k=1時，φ取得最小值為π6故選：D.【題型5三角函數的周期性】【方法點撥】證明一個函數是否為周期函數或求函數周期的大小常用以下方法：(1)定義法：即對定義域內的每一個x值，看是否存在非零常數T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，則函數是周期函數且T是它的一個周期.(2)公式法：利用三角函數的周期公式來求解.(3)圖象法：畫出函數的圖象，通過圖象直觀判斷即可.【例5】在函數y=sin2x,y=sinx,y=cosA．y=sin2x B．y=sinx C．【解題思路】根據正余弦、正切函數的性質求各函數的最小正周期即可.【解答過程】由正弦函數性質，y=sin2x的最小正周期為2π2=由余弦函數性質，y=cosx的最小正周期為由正切函數性質，y=tanx2綜上，最小正周期為π的函數是y=sin故選：A.【變式5-1】（2022·河南安陽·高三期中（文））已知函數fx=sinωx?πA．f2<f0C．f?2<f0【解題思路】由周期性得ω，再由對稱性與單調性判斷，【解答過程】因為fx的最小正周期為π，所以ω=2令2x?π3∈[?即fx在[?π12?而?2+π?5π12=24?7π12由三角函數性質得f故選：D.【變式5-2】（2020·福建省高三階段練習）給出下列函數：①y=cos2x；②y=cosx；③y=其中最小正周期為π的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【解題思路】結合函數周期的定義以及三角函數的圖像與性質即可.【解答過程】對于①，y=cos2x=對于②，結合圖象，知y=cosx的最小正周期為對于③，y=cos2x+π對于④，y=tan2x?π故選：A．【變式5-3】（2022·河南省高一階段練習）下列四個函數中，在區(qū)間π2,π上單調遞增，且最小正周期為π的是（A．y=?sin2x B．y=cosx C．【解題思路】根據正弦、余弦函數的性質計算可得；【解答過程】解：y=?sin2x在區(qū)間y=cosx在區(qū)間π2y=sinx在區(qū)間y=sinx2故選：B.【題型6三角函數的圖象與性質的綜合應用】【方法點撥】解決正(余)弦型函數的圖象與性質的綜合應用問題的思路：1.熟練掌握函數或的圖象，利用基本函數法得到相應的函數性質，然后利用性質解題.2.直接作出函數圖象，利用圖象形象直觀地分析并解決問題.【例6】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數fx=2sin(1)求函數fx(2)若函數gx=fx?m在【解題思路】（1）由最小正周期求得ω，函數式化簡后由正弦函數的單調性求得結論；（2）轉化為求f(x)在[0,π【解答過程】（1）因為函數fx=2sin所以T=2πω=π，由于ω<0所以fx所以函數fx單調遞增區(qū)間，只需求函數y=2令π2+2kπ?2x?π所以函數fx單調遞增區(qū)間為π（2）因為函數gx=fx所以函數y=fx的圖像與直線y=m在0,因為x∈0,故函數fx在區(qū)間0,π所以當m∈?2,1時，函數y=fx的圖像與直線y=m在所以當m∈?2,1時，函數gx=f【變式6-1】（2022·湖南·高二階段練習）已知函數fx=sinωx+φ（ω>0，(1)若fx的最小正周期為2π，求(2)若x=?π4是fx的零點，是否存在實數ω，使得fx在【解題思路】（1）由題意，利用正弦函數的周期性和對稱性，求出ω和φ，可得函數的解