清單02：一元一次不等式與一元一次不等式組【考點題型一】不等式的性質性質1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性質2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．性質3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．【例1】（22-23八年級下·廣東深圳·期中）下列關于不等式的命題正確的是（

）A．如果，，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質：傳遞性、性質：同時加上或減去同一個數，不等式的符號不變；同時乘上或除以不等于0的正數，不等式的符號不變；同時乘上或除以不等于0的負數，不等式的符號改變，據此逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、如果，，那么的大小關系不確定，該選項是錯誤的；B、如果，且，那么，故該選項是錯誤的；C、如果，且，那么，故該選項是錯誤的；D、如果，那么，故該選項是正確的；故選：D【變式1-1】（23-24八年級上·浙江寧波·期中）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了不等式的性質，根據不等式兩邊同時乘以一個負數，不等式改變方向得到，進而得到，據此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，根據現有條件無法判斷的符號，∴四個選項中只有A選項符合題意，故選：A．【變式1-2】（22-23八年級下·山東聊城·期中）如圖，數軸上的點與點所表示的數分別為，則下列不等式不成立是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了數軸，不等式的性質，由數軸可得，再根據不等式的性質逐項判斷即可，熟練掌握不等式的基本性質：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變，是解此題的關鍵．【詳解】解：由數軸可得，A．，故原選項不成立，符合題意；B．，故原選項成立，不符合題意；C.，故原選項成立，不符合題意；D．，故原選項成立，不符合題意；故選：A．【變式1-3】（23-24八年級上·浙江杭州·期中）若實數a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查不等式的性質，掌握不等式的性質1：不等式的兩邊都加上或減去同一個代數式不等號的方向不變，不等式的性質2：不等式的兩邊都乘以或除以正數，不等號的方向不變，不等式的性質3：等式的兩邊都乘以或除以負數，不等號的方向改變，是正確判斷的關鍵．根據不等式的性質逐項進行判斷即可；【詳解】A．∵，因此選項A不符合題意；B．∵，因此選項B符合題意；，因此選項C不符合題意；當時，，當，時，，因此選項D不符合題意．故選：B．【變式1-4】（23-24八年級上·黑龍江大慶·期中）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．據此逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、由不等式的性質可知，或，即原不等式不一定成立，不符合題意，選項錯誤；B、由不等式的性質可知，，，即原不等式不成立，不符合題意，選項錯誤；C、由不等式的性質可知，當時，；當時，；當時，；即即原不等式不一定成立，不符合題意，選項錯誤；D、，由不等式的性質可知，，原不等式一定成立，符合題意，選項正確；故選：D．【考點題型二】一元一次不等式1．一元一次不等式的概念只含有一個未知數，且未知數的次數是1，系數不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其標準形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0)，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法1.一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，不等號要改變方向．2.解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)化系數為1．【例2】（21-22八年級下·山東聊城·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元一次不等式的定義：含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判斷即可得．【詳解】解：A、x2+3x＞1中x2的次數為2，不是一元一次不等式；B、含有2個未知數x、y，不是一元一次不等式；C、是一元一次不等式；D、中是分式，不是一元一次不等式；故選：C．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的定義，解題的關鍵是掌握含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式．【變式2-1】（22-23八年級下·陜西西安·期中）在數軸上表示不等式的解集，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據解一元一次不等式的方法可以求得該不等式組的解集，然后在數軸上表示出其解集即可．【詳解】解：，移項及合并同類項，得：，系數化為1，得：，其解集在數軸上表示如下所示，

，故選：B．【點睛】本題考查解一元一次不等式、在數軸上表示不等式的解集，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．【變式2-2】（22-23八年級上·廣西桂林·期中）若正整數a滿足關于x的分式方程的解為非負數，則符合條件的所有正整數a的和為（

）A．6 B．10 C．15 D．12【答案】D【分析】根據解分式方程的一般步驟得出，再由解為非負數，得出，然后確定a的取值，求和即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項合并同類項得：，系數化為1得：，∵分式方程的解為非負數，∴，∴，∴a的值為，∵分式方程中，即，∴，∴a的值為其和為：，故選：D．【點睛】題目主要考查解分式方程的一般步驟及不等式的應用，熟練掌握解分式方程的方法步驟是解題關鍵．【變式2-3】（23-24八年級上·山東東營·期中）關于x的分式方程的解是負數，則字母m的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．且【答案】C【詳解】本題考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正確掌握解分式方程和解一元一次不等式是解題的關鍵．解分式方程，得到含有得方程的解，根據“方程的解是負數”，結合分式方程的分母不等于零，得到兩個關于的不等式，解之即可．【分析】解：，方程兩邊同時乘以得：，解得：，，即，解得：，又方程的解是負數，，解不等式得：，綜上可知：且，故選：C．【變式2-4】（23-24八年級上·福建福州·期中）已知實數a，b滿足，且，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用完全平方公式求出ab的取值范圍，再將變形為即可解答．【詳解】解：∵∴，∴，∵，∴，即．故選：C．【點睛】本題主要考查配方法的應用、完全平方公式等知識點，靈活運用完全平方公式解決問題是解題的關鍵．【考點題型三】一元一次不等式組1．一元一次不等式組及其解集含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分．叫做這個一元一次不等式組的解集．一元一次不等式組的解集通常利用數軸來確定．2．一元一次不等式組的解法由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表．不等式組（其中a＞b）圖示解集口訣（同大取大）（同小取小）（大小取中間）無解（空集）（大大、小小找不到）【例3】（22-23八年級下·廣東深圳·期中）不等式組的解集表示在數軸上，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先求出不等式組的解集，然后將解集在數軸上表示即可．本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．也考查了不等式組解集在數軸上的表示方法．【詳解】解：解不等式組；∴不等式組的解集為．即故選：A．【變式3-1】（23-24八年級上·重慶渝北·期中）如果關于的不等式組有且只有個整數解，且關于的方程的解為非負整數，則符合條件的所有整數的和為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查一元一次不等式組的整數解、解一元一次方程，解答本題的關鍵是求出的取值范圍．根據不等式組有且只有5個整數解可以是，即可得到，解得，由關于的方程的解為非負整數，可以求得滿足條件的整數的值，然后求出它們的和即可．【詳解】由，得，由，得，∵關于的不等式組有且只有5個整數解，∴這5個整數解是，∴，解得，由方程，可得，∵方程的解為非負整數，∴且為整數，解得且為整數，∴且為整數，∴滿足條件的整數的值為，∴符合條件的所有整數的和為3，故選：B．【變式3-2】（23-24八年級上·浙江溫州·期中）關于的不等式組的解集為，則的值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】A【分析】本題主要考查了一元一次不等式的解法，首先計算出兩個不等式的解集，再根據不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案．【詳解】解：，由①得：，由②得：，∵關于x的不等式組的解集為，∴，，解得：，則，故選：A．【變式3-3】（23-24八年級上·浙江杭州·期中）已知關于x的不等式組的整數解共有5個，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查的是一元一次不等式的解法，求不等式組的解集．首先解不等式組確定不等式組的解集，然后根據不等式組的整數解有5個，即可得到一個關于a的不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵關于的不等式組的整數解共有5個，即3，2，1，0，，∴，即．故選：C．【變式3-4】.（23-24八年級上·山東泰安·期中）若關于的不等式組無解，且關于的分式方程有整數解，則滿足條件的整數的值為（

）A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7【答案】D【分析】本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，先解不等式組，再解分式方程，從而確定的取值，進而解決此題．【詳解】解不等式組，得，不等式組無解，，，分式方程，方程的兩邊同時乘，得，，整理得，，，方程有整數解，或或或，或或或或或或或，，，，或或，故選：D．【考點題型四】一元一次不等式（組）的實際應用列一元一次不等式（組）解實際應用問題，可類比列一元一次方程解應用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式（組）解應用題，尋求的是不等關系，因此，根據問題情境，抓住應用問題中“不等”關系的關鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關系顯得十分重要．【例4】（23-24八年級上·浙江杭州·期中）某批服裝每件進價為200元，標價為300元，現商店準備將這批服裝降價處理，按標價打折出售，使得每件衣服的利潤不低于，根據題意可列出來的不等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查一元一次不等式的應用．設售價可以按標價打x折，根據“每件衣服的利潤不低于”即可列出不等式．【詳解】按標價打折出售，根據題意，得．故選：B．【變式4-1】（22-23八年級下·山西運城·期中）某種植物適宜生長溫度為的山區，已知山區海拔每升高100米，氣溫下降．現測得山腳下的氣溫為，問該植物種在山上的哪一部分為宜？如果設該植物種植在海拔高度為x米的山區較適宜，則由題意可列出的不等式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】每升高100米，氣溫下降，那么每升高1米，氣溫下降；海拔為米，則升高了米，氣溫就在的基礎上下降了，結合溫度適宜的范圍是即可解答．【詳解】解：根據題意，得．故選：A．【點睛】本題考查了解不等式組的應用，解題的關鍵在于逐步分析題意，能夠正確書寫連不等式．【變式4-2】（22-23八年級下·廣東深圳·期中）某學校擬向公交公司租借兩種車共8輛，用于接送八年級師生去社會實踐基地參加活動．兩種型號的車的載客能力和租金如下表所示：載客量（人/輛）5035租金（元/輛）450300設租用型車輛，(1)請用代數式表示出總租金是多少(2)保證租車費用不超過2900元，且八年級師生共305人，請在所有滿足的租車方案中，指出花費最少的方案租用了幾輛型車？【答案】(1)元(2)花費最少的方案一租用了輛型車【分析】本題考查不等式組解應用題，涉及列代數式、解一元一次方程組等，設租用型車輛，則租用種車輛輛，按照題意列代數式，列不等式組求解即可得到答案，讀懂題意，按要求列式是解決問題的關鍵．（1）設租用型車輛，則租用種車輛輛，由表中信息列代數式即可得到答案；（2）設租用型車輛，則租用種車輛輛，由題意列不等式組求解即可得到答案．【詳解】（1）解：設租用型車輛，則租用種車輛輛，總租金是元；（2）解：設租用型車輛，則租用種車輛輛，，解得，為正整數，可取或，即有兩種方案：方案一：租用型車輛，租用種車輛輛；花費元；方案二：租用型車輛，租用種車輛輛；花費元；花費最少的方案一租用了輛型車．【變式4-3】（23-24八年級上·山東泰安·期中）杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉辦，杭州亞運會吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人，分別取名“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”．一個批發兼零售的商店規定：凡一次購買印有吉祥物的小彩旗300支以上（不包括300支），可以按批發價付款，購買300支以下（包括300支），只能按零售價付款，小明來該店購買印有吉祥物的小彩旗，如果給八年級學生每人購買1支，那么只能按零售價付款，需用240元，如果多購買60支，那么可以按批發價付款，同樣需用240元．(1)若設八年級的學生總數為x，求x的取值范圍．(2)若按批發價購買360支與按零售價購買300支付款相同，那么這個學校八年級學生有多少人？【答案】(1)(2)八年級學生有300人【分析】本題考查一元一次不等式組和分式方程的實際應用．（1）根據“給八年級學生每人購買1支，那么只能按零售價付款，需用240元，如果多購買60支，那么可以按批發價付款”可得不等式組，求解即可；（2）設這個學校八年級學生有y人，根據“按批發價購買360支與按零售價購買300支付款相同”列方程求解即可．【詳解】（1）依題意得：，解得：．答：x的大概范圍為．（2）解：設這個學校八年級學生有y人，根據題意得：解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意．答：八年級學生有300人．【變式4-4】（23-24八年級上·福建泉州·期中）園林部門計劃在某公園建一個長方形苗圃．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為14米）．另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成兩個區域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），建成后所用木欄總長22米，設苗圃的一邊長為x米．

(1)苗圃的另一邊長為______米（用含x的代數式表示）；(2)當x為何值時，苗圃的面積最大，最大面積為多少平方米？【答案】(1)(2)當x為4米時，苗圃的面積最大，且最大面積為48平方米【分析】（1）根據木欄總長22米，兩處各留1米寬的門，苗圃的一邊長為x米，即可求得長；（2）根據題意得苗圃的面積為：，根據完全平方公式，即可得出結果．【詳解】（1）解：∵木欄總長22米，兩處各留1米寬的門，苗圃的一邊長為x米，∴米，故答案為：；（2）解：根據題意可知：，解得：，苗圃的面積為：，∵，∴當時，最大，且最大值為48，∴當x為4米時，苗圃的最大面積為48平方米．【點睛】本題考查了列代數式，完全平方公式的應用，不等式組的應用，解題的關鍵是讀懂題意，根據已知列出相應的代數式．【考點題型五】一元一次不等式和一次函數一次函數，當函數值時，一次函數轉化為一元一次方程；當函數值或時，一次函數轉化為一元一次不等式，利用函數圖象可以確定的取值范圍.【例5】（23-24八年級上·福建寧德·期中）一次函數與的圖象如圖所示，下列結論中正確的有（

）對于函數來說，的值隨值的增大而減小函數的圖象不經過第一象限A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，一次函數的圖象與性質，根據函數圖象直接得到結論；根據、的符號即可判斷；當時，；當時，根據圖象得不等式，利用數形結合是解題的關鍵．【詳解】解：由圖象可得：對于函數來說，隨的增大而減小，故正確；由于，，∴函數的圖象經過第二，三，四象限，不經過第一象限，故正確；∵一次函數與的圖象的交點的橫坐標為，∴，∴，即，故正確；當時，，，由圖象可知，∴，故錯誤；綜上都正確，故選：．【變式5-1】（23-24八年級上·遼寧沈陽·期中）函數的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】A【分析】本題考查一次函數的性質，根據函數解析式和一次函數的性質解答即可．【詳解】解：在中，令時，，∴當時，，故A選項正確；當時，；時，，故B、C選項不正確；當時，，故D選項不正確；故選：A．【變式5-2】（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖所示，一次函數與正比例函數(是常數，且)的圖象相交于點，下列判斷正確的是()

①關于的方程的解是；②關于，的方程組的解是；③關于的不等式的解集是；④當時，函數的值比函數的值大．A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的圖象和性質；圖象法解一元一次方程和解二元一次方程組的方法，根據兩直線的交點坐標即可判斷①②，根據圖象即可判斷③④．【詳解】解：∵兩直線相交于點，∴方程的解是，方程組的解是：，故①②正確；∵當時，直線在直線的下方，∴當時，，整理得：，故③錯誤；∵當時，直線在直線的上方，∴當時，函數的值比函數的值大，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④，故C正確．故選：C．【變式5-3】（22-23八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，一次函數的圖象與x軸交于點D，一次函數的圖象與x軸交于點A，且經過點，兩函數圖象交于點．(1)求m的值和一次函數的表達式；(2)根據圖象，直接寫出的解集【答案】(1)，一次函數的表達式是；(2)【分析】本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式，一次函數與一元一次不等式，一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的圖象和性質等知識點：（1）把點C的坐標代入，求出m，再把B、C的坐標代入得出方程組，再求出k、b即可；（2）根據函數的圖象得出不等式的解集即可．【詳解】（1）解：兩函數圖象交于點，把點C的坐標代入，得，解得，即．一次函數圖象經過點，，解得．即，所以，一次函數的表達式是；（2）解：由圖象得：不等式的解集是．【變式5-4】（22-23八年級下·貴州貴陽·期中）如圖，直線的解析式為，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且經過點，直線，交于點．(1)求的值；(2)求直線的解析式；(3)根據圖象，直接寫出的解集．【答案】(1)；(2)直線的解析式為；(3)解集為．【分析】本題考查的知識點是求一次函數自變量或函數值、求一次函數解析式、兩直線的交點與二元一次方程組的解、根據兩條直線的交點求不等式的解集，解題關鍵是熟練掌握一次函數的相關知識點．把點的坐標代入直線的解析式即可求出的值；根據、的坐標，利用待定系數法列出二元一次方程組即可求解；根據圖象解答即可．【詳解】（1）解：直線經過點，，解得．（2）解：由得，，直線經過，，，解得：，直線的解析式為．（3）解：由圖得：即的解集為．【考點題型六】一元一次不等式（組）綜合問題此考點一般都是不等式和函數或者實際應用的交匯，在解答此題的時候注意數形結合，注意分類討論的應用【例6】（23-24八年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，已知函數的圖象與y軸交于點A，一次函數的圖象經過點，與x軸以及的圖象分別交于點C，D，且點D的坐標為．(1)則，，；(2)若函數的值大于函數的函數值，則x的取值范圍是；(3)則四邊形的面積；(4)在平面內是否存在點P，使得以點P，C，D為頂點的三角形是以為腰的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3，，2(2)(3)(4)，，，【分析】（1）把把點的坐標為代入得，從而得到點的坐標，將點、的坐標代入，可求得到，；（2）要使得函數的值大于函數的函數值，只需函數的圖象在函數上方，由此直接根據函數圖象即可得到答案；（3）連接，由函數解析式求得、坐標，再根據即可求解；（4）分四種情況：當，，點在右側時，當，，點在左側時，當，，點在右側時，當，，點在左側時，構造全等三角形，根據，兩點坐標求出相應邊的長度，進而求得點的坐標．【詳解】（1）解：把點的坐標為代入得：，∴，即：點的坐標為，將點，點代入得：，解得：，故答案為：3，，2；（2）由（1）得點的坐標為，要使得函數的值大于函數的函數值，只需函數的圖象在函數上方，∴由圖象可得：當時，函數的函數值大于函數的函數值，故答案為：；（3）由（1）可知：直線的解析式為，，，當時，，得，∴點的坐標為，∵函數的圖象與軸交于點，則當時，，即：，連接，∴；（4）當，，點在右側時，如圖，過點作軸，過點作，則，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，，則，∴，∴，則點坐標為；當，，點在左側時，如圖，過點作軸，過點，點作，，同上可得：點坐標為；當，，點在右側時，如圖，過點，點作，，同上可得：點坐標為；當，，點在左側時，如圖，過點，點作，，同上可得：點坐標為；綜上：坐標為或或或．【點睛】此題考查了一次函數與幾何的綜合應用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質，利用分類討論和數形結合思想方法求解．【變式6-1】.（23-24八年級上·安徽合肥·期中）如圖，已知直線與直線交于點，直線在軸上的截距為．

(1)求的值；(2)過直線上一點作軸的垂線交直線于點，交直線于點．①當時，求點的坐標；②當時，請通過計算比較與的大小．【答案】(1)；(2)①或；②時；時，；時，【分析】（1）根據直線在軸上的截距為，得出，將點代入，即可得出的值；（2）依題意，，根據，列出方程，解方程，即可求解．（3）設與交于點，則,分別求得的長，根據，分類討論，利用作差法比較大小，解不等式，即可求解．【詳解】（1）解：∵直線在軸上的截距為．∴，將點代入，即解得：，∴（2）解：①依題意，，∵∴或，解得：或∴或，②依題意，，∵，∴，設與交于點，則，解得：，

∴，當時，，當時，解得：（不合題意）當時，解得：，則時；當時，，，當時，即時，，當時，即時，，當時，即時，，綜上所述：時；時，；時，．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，熟練掌握一次函數的性質，數形結合是解題的關鍵．【變式6-2】（22-23八年級下·四川達州·期中）若關于x的不等式組最多有2個整數解，且關于y的一元一次方程的解為非正數，則符合條件的所有整數k的和為多少？【答案】1