高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省言蹊七月聯考2025屆高三上學期摸底考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，且，，又，，.故選：B.2.已知集合，集合B由全體合數組成，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以集合中沒有合數，則，故選：D.3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據雙曲線的一條漸近線為y=2x，則，所以，故選：B.4.用a、b、c表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題，正確的有（）①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.A.①② B.②④ C.①④ D.③④〖答案〗C〖解析〗對于①，因為，，所以，所以①正確，對于②，若a、b、c三條直線在同一個平面，則當，時，∥，所以②錯誤，對于③，如圖當，時，與相交，所以③錯誤，對于④，因為，，所以，所以④正確.故選：C.5.已知，，則（）A.2 B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗因為，所以，即，因為，所以，故，所以，故選：D.6.用“作切線”的方法求函數零點時，若數列滿足，則稱該數列為言蹊數列.若函數有兩個零點1和2，數列為言蹊數列.設，已知，的前n項和為，則（）A.2022 B.2023 C. D.〖答案〗D〖解析〗函數有兩個零點，,則由題意得,,,且,所以數列是以1為首項,以2為公比的等比數列,所以,,故選：D.7.如圖，將圓柱的下底面圓置于球O的一個水平截面內，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球O的內壁相接（球心O在圓柱內部），已知球O的半徑為3，，則圓柱體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設R為圓上任意一點，過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，設與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，當點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，所以，令，所以，所以，另，解得兩根所以，所以在時單調遞減，所以．故選：B．8.已知函數，，則存在，使得（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗當時，，，所以，即，（一個正數乘以一個小于1的正數，積一定小于這個數）故排除A，D．對于B，設，則．因為當時，，所以，即，所以在上單調遞減，．又當時，，，所以，所以，即，故B錯誤．對于C，令，因為，，且函數的圖象是連續不斷的，所以函數在內存在零點，即存在，使得，即存在，使得，故C正確.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某中學高中女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（，2，3，…，n），由最小二乘法近似得到y關于x的回歸直線方程為，則下列結論中正確的是（）A.該回歸直線必過點B.y與x是負相關的C.若該中學某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該中學某高中女生身高為160cm，則其體重必為50.29kg〖答案〗AC〖解析〗對于A，回歸直線恒過樣本中心點，則回歸直線必過點，A正確；對于B，由，得y與x是正相關的，B錯誤；對于C，由回歸方程為，得該中學某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg，C正確；對于D，當時，，該中學某高中女生身高為160cm，則其體重約為50.29kg，D錯誤.故選：AC.10.在銳角中，，角A、B、C對邊分別為a，b，c，則（）A.B.C.D.若上有一動點P，則最小值為〖答案〗C〖解析〗對于A，，則，即，，即,又，,由正弦定理得，，故A錯；對于B，由及余弦定理，可得，即，由基本不等式知，，當且僅當，即時等號成立，，故B錯；對于C，在銳角中，由，且,由基本不等式可得，，整理得，當且僅當時，等號成立，又由，，故C正確；對于D，過作，則，又在之間運動時，與的夾角為鈍角，因此要求的最小值，應在之間運動，即，又當時，取最小值為,故D錯誤.故選：C.11.對于實數a，b下列錯誤的是（）A.在直線上是到距離為的充要條件B.若，，，則最大值是C.如果存在一個定義在R上的函數滿足，那么必存在一個數m，使得函數對所有有理數t均成立D.若，，則〖答案〗AD〖解析〗在直線上到直線距離也為，不是必要條件，A選項錯誤；因為，所以當且僅當時取最大值，B選項正確；因為,令,可得,滿足題意；設所以,所以C選項正確；構造函數單調遞減，令所以,D選項錯誤.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以.13.已知函數，其處的切線是函數在處的切線，則函數恒過定點______.〖答案〗,〖解析〗由，，又，即函數，在處的切線的斜率為，切點為，故切線方程為：，即.由，，又，即函數在處的切線的斜率為1，切點為，故切線方程為：，即.又函數，其處的切線是函數在處的切線，因此與重合，即，則，代入得，，即當，解得，當時，，當時，，因此可得函數恒過定點,.14.已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合，M是橢圓與拋物線的一個公共點，，則橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗設橢圓其右焦點為，橢圓上一點，則，此公式為橢圓的焦半徑公式.因為橢圓的右焦點F與拋物線y2=2px所以，設是橢圓與拋物線的一個公共點，因為，根據拋物線的定義，，即①又由橢圓的焦半徑公式有②由①②解得，所以離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側面底面且，E為中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）求點C到平面的距離.（1）證明：取中點，連接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，過作，由，得，而平面，則，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：由，，得，中點，則，因此，即，所以.（2）由（1）知，，設平面的法向量，則，令，得，設平面法向量，則，令，得，設二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值.（3）由（1）（2）知，，平面的法向量，所以點C到平面的距離.16.已知正項數列an中且，其中為數列an的前n項和.（1）求數列an（2）若是和的等比中項，求k值；（3）令，求數列bn前n項和.解：（1）在數列an中，又，且，兩式相除得，，所以數列是以2為首項，公差為2的等差數列，則，所以，當，，當時，，也滿足上式，所以數列an的通項公式為；（2）由（1）得，，因為是和的等比中項，所以，即，解得或（舍去）；（3），所以數列bn前n項和.17.已知函數，.（1）當時，求函數的最小值；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由題意知：時，Fx=則，令，令hx則在0,+∞上單調遞增，即hx所以g'x>x+所以在0,+∞上單調遞增，又，則，有，x>1，有，則在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，則，所以的最小值為；（2）易知，則，即恒成立，令t=ax-lnxx>0令，顯然，有，x>0，有u't>0所以0,+∞上單調遞增，上單調遞減，則，u-2=e-2即使得，故要滿足題意有或恒成立，易知t=ax-ln若，則單調遞減，時，，時，不滿足題意，若，則上單調遞減，上單調遞增，同上仍有時，，不存在恒成立的情形，故有，即；綜上所述的取值范圍為.18.某工廠生產的產品分為一等品、二等品和三等品.已知生產一件產品為一等品、二等品、三等品的概率分別為，且.從該工廠生產的產品中隨機抽取n件，設其中一等品的數量為X，二等品的數量為Y.（1）已知X的數學期望，X的方差，求的值.（2）若，且，求的值.（3）已知，，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的數量之和為M.M的數學期望是否有最大值，若有，求出最大值；若沒有，說明理由.解：（1）由題意知，則，解得；（2）由，則，由得，，化簡可得，即，解得；（3）由題意知，，又，，所以，則，當增大時，也增大.所以，當，，故的數學期望沒有最大值.?但在實際情境中，?的取值是有限的，比如取工廠的總產量時，取最大值.19.對于求解方程的正整數解（，，）的問題，循環構造是一種常用且有效地構造方法．例如已知是方程的一組正整數解，則，將代入等式右邊，得，變形得：，于是構造出方程的另一組解，重復上述過程，可以得到其他正整數解．進一步地，若取初始解時滿足最小，則依次重復上述過程可以得到方程的所有正整數解．已知雙曲線（，）的離心率為，實軸長為2．（1）求雙曲線的標準方程；（2）方程的所有正整數解為，且數列單調遞增．①求證：始終是4整數倍；②將看作點，試問的面積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）由題意知解得，則，故雙曲線E的標準方程為．（2）①方法一：由得，其中是方程一組正整數解，則，在循環構造中，對任意正整數，由，是正整數，第k組解中的為二項式的展開式中不含的部分，為二項式的展開式中含的部分，注意到二項式的展開式中不含的部分與二項式的展開式中不含的部分相同，二項式的展開式中含的部分與二項式的展開式中含的部分互為相反數，于是由二項式定理有，，從而，于是對任意的正整數，，因為是正整數，所以是4的整數倍．方法二：在循環構造中，對任意正整數，由，是正整數，第組解中的為二項式的展開式中不含的部分，為二項式的展開式中含的部分；第組解中的為二項式的展開式中不含的部分，為二項式的展開式中含的部分，故，于是，，即，由得，，代入得，整理得，即．因為是正整數，所以是4的整數倍．②，，設，的夾角為，則的面積，由得，，代入得，，由得，從而，故，，．，，，，即，代入得，于是的面積為定值．福建省言蹊七月聯考2025屆高三上學期摸底考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，且，，又，，.故選：B.2.已知集合，集合B由全體合數組成，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以集合中沒有合數，則，故選：D.3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據雙曲線的一條漸近線為y=2x，則，所以，故選：B.4.用a、b、c表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題，正確的有（）①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.A.①② B.②④ C.①④ D.③④〖答案〗C〖解析〗對于①，因為，，所以，所以①正確，對于②，若a、b、c三條直線在同一個平面，則當，時，∥，所以②錯誤，對于③，如圖當，時，與相交，所以③錯誤，對于④，因為，，所以，所以④正確.故選：C.5.已知，，則（）A.2 B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗因為，所以，即，因為，所以，故，所以，故選：D.6.用“作切線”的方法求函數零點時，若數列滿足，則稱該數列為言蹊數列.若函數有兩個零點1和2，數列為言蹊數列.設，已知，的前n項和為，則（）A.2022 B.2023 C. D.〖答案〗D〖解析〗函數有兩個零點，,則由題意得,,,且,所以數列是以1為首項,以2為公比的等比數列,所以,,故選：D.7.如圖，將圓柱的下底面圓置于球O的一個水平截面內，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球O的內壁相接（球心O在圓柱內部），已知球O的半徑為3，，則圓柱體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設R為圓上任意一點，過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，設與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，當點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，所以，令，所以，所以，另，解得兩根所以，所以在時單調遞減，所以．故選：B．8.已知函數，，則存在，使得（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗當時，，，所以，即，（一個正數乘以一個小于1的正數，積一定小于這個數）故排除A，D．對于B，設，則．因為當時，，所以，即，所以在上單調遞減，．又當時，，，所以，所以，即，故B錯誤．對于C，令，因為，，且函數的圖象是連續不斷的，所以函數在內存在零點，即存在，使得，即存在，使得，故C正確.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某中學高中女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（，2，3，…，n），由最小二乘法近似得到y關于x的回歸直線方程為，則下列結論中正確的是（）A.該回歸直線必過點B.y與x是負相關的C.若該中學某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該中學某高中女生身高為160cm，則其體重必為50.29kg〖答案〗AC〖解析〗對于A，回歸直線恒過樣本中心點，則回歸直線必過點，A正確；對于B，由，得y與x是正相關的，B錯誤；對于C，由回歸方程為，得該中學某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg，C正確；對于D，當時，，該中學某高中女生身高為160cm，則其體重約為50.29kg，D錯誤.故選：AC.10.在銳角中，，角A、B、C對邊分別為a，b，c，則（）A.B.C.D.若上有一動點P，則最小值為〖答案〗C〖解析〗對于A，，則，即，，即,又，,由正弦定理得，，故A錯；對于B，由及余弦定理，可得，即，由基本不等式知，，當且僅當，即時等號成立，，故B錯；對于C，在銳角中，由，且,由基本不等式可得，，整理得，當且僅當時，等號成立，又由，，故C正確；對于D，過作，則，又在之間運動時，與的夾角為鈍角，因此要求的最小值，應在之間運動，即，又當時，取最小值為,故D錯誤.故選：C.11.對于實數a，b下列錯誤的是（）A.在直線上是到距離為的充要條件B.若，，，則最大值是C.如果存在一個定義在R上的函數滿足，那么必存在一個數m，使得函數對所有有理數t均成立D.若，，則〖答案〗AD〖解析〗在直線上到直線距離也為，不是必要條件，A選項錯誤；因為，所以當且僅當時取最大值，B選項正確；因為,令,可得,滿足題意；設所以,所以C選項正確；構造函數單調遞減，令所以,D選項錯誤.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以.13.已知函數，其處的切線是函數在處的切線，則函數恒過定點______.〖答案〗,〖解析〗由，，又，即函數，在處的切線的斜率為，切點為，故切線方程為：，即.由，，又，即函數在處的切線的斜率為1，切點為，故切線方程為：，即.又函數，其處的切線是函數在處的切線，因此與重合，即，則，代入得，，即當，解得，當時，，當時，，因此可得函數恒過定點,.14.已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合，M是橢圓與拋物線的一個公共點，，則橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗設橢圓其右焦點為，橢圓上一點，則，此公式為橢圓的焦半徑公式.因為橢圓的右焦點F與拋物線y2=2px所以，設是橢圓與拋物線的一個公共點，因為，根據拋物線的定義，，即①又由橢圓的焦半徑公式有②由①②解得，所以離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側面底面且，E為中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）求點C到平面的距離.（1）證明：取中點，連接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，過作，由，得，而平面，則，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：由，，得，中點，則，因此，即，所以.（2）由（1）知，，設平面的法向量，則，令，得，設平面法向量，則，令，得，設二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值.（3）由（1）（2）知，，平面的法向量，所以點C到平面的距離.16.已知正項數列an中且，其中為數列an的前n項和.（1）求數列an（2）若是和的等比中項，求k值；（3）令，求數列bn前n項和.解：（1）在數列an中，又，且，兩式相除得，，所以數列是以2為首項，公差為2的等差數列，則，所以，當，，當時，，也滿足上式，所以數列an的通項公式為；（2）由（1）得，，因為是和的等比中項，所以，即，解得或（舍去）；（3），所以數列bn前n項和.17.已知函數，.（1）當時，求函數的最小值；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由題意知：時，Fx=則，令，令hx則在0,+∞上單調遞增，即hx所以g'x>x+所以在0,+∞上單調遞增，又，則，有，x>1，有，則在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，則，所以的最小值為；（2）易知，則，即恒成立，令t=ax-lnxx>0令，顯然，有，x>0，有u't>0所以0,+∞上單調遞增，上單調遞減，則，u-2=e-2即使得，故要滿足題意有或恒成立，易知t=ax-ln若，則單調遞減，時，，時，不滿足題意，若，則上單調遞減，上單調遞增，同上仍有時，，不存在恒成立的情形，故有，即；綜上所述的取值范圍為.18.某工廠生產的產品分為一等品、二等品和三等品.已知生產一件產品為一等品、二等品、三等品的概率分別為，且.從該工廠生產的產品中隨機抽取n件，設其中一等品的數量為X，二等品的數量為Y.（1）已知X的數學期望，X的方差，