2025屆內蒙古呼和浩特市高二數學第一學期期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m2．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直3．若是等差數列的前項和，，則（）A.13 B.39C.45 D.214．已知，,2成等差數列，則在平面直角坐標系中，點M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.5．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.6．若且，則下列選項中正確的是（）A B.C. D.7．已知數列滿足，，令，若對于任意不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標系下，點關于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.9．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.10．一動圓與圓外切，而與圓內切，那么動圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支11．工業生產者出廠價格指數（PRoduceRPRiceIndexfoRIndustRialPRoducts，簡稱PPI）是反映工業企業產品第一次出售時的出廠價格的變化趨勢和變動幅度，是反映某一時期生產領域價格變動情況的重要經濟指標，也是制定有關經濟政策和國民經濟核算的重要依據．根據下面提供的我國2020年1月—2021年11月的工業生產者出廠價格指數的月度同比（將上一年同月作為基期進行對比的價格指數）和月度環比（將上月作為基期進行對比的價格指數）漲跌情況的折線圖判斷，以下結論正確的（）A.2020年各月的PPI在逐月增大B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C.2021年1月—11月各月的PPI在逐月減小D.2021年1月—11月各月的PPI均高于2020年同期水平12．設F是雙曲線的左焦點，，P是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A.5 B.C. D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足：，，，則______14．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點，若，則點到平面的距離為___________.15．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F構成一個斜三角形，則______16．記為等比數列的前n項和，若，公比，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）若，求函數的單調區間；（2）若函數有兩個不相等的零點，證明：18．（12分）已知等差數列滿足：，，數列的前n項和為（1）求及；（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前項和19．（12分）橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的斜率為2的直線交橢圓于、兩點，求的面積.20．（12分）已知等差數列中，首項，公差，且數列的前項和為（1）求和；（2）設，求數列的前項和21．（12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，且.（1）求的面積；（2）若a、b、c成等差數列，求b的值.22．（10分）已知數列的首項，，，.（1）證明：為等比數列；（2）求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設半徑為R，根據垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.2、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，可得結論【詳解】因為，，所以，所以∥，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B3、B【解析】先根據等差數列的通項公式求出，然后根據等差數列的求和公式及等差數列的下標性質求得答案.【詳解】設等差數列的公差為d，則，則.故選：B.4、A【解析】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數的運算以及化簡公式的應用，也涉及到了軌跡的問題，求點的軌跡，通常是求誰設誰，再根據題干將等量關系轉化為代數關系，從而列出方程，化簡即可.5、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當時，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C6、C【解析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內接正邊形的面積小于內接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯誤；，故錯誤；在單位圓中，內接正邊形的面積小于內接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術），則，故正確；，故錯誤故選：C【點睛】關鍵點點睛：此題考查不等式的綜合應用，考查基本不等式的推廣式的應用，考查放縮法的應用，對于C項解題的關鍵是利用了在單位圓中，內接正邊形的面積小于內接正邊形的面積求解，考查數學轉化思想，屬于難題7、D【解析】根據遞推關系，利用裂項相消法，累加法求出，可得，原不等式轉化為恒成立求解即可.【詳解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，對于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D8、C【解析】根據空間坐標系中點的對稱關系求解【詳解】點關于平面的對稱點的坐標為，故選：C9、C【解析】設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結合余弦定理得，進而根據基本不等式求解得.【詳解】解：設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據題意，設，進而結合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.10、A【解析】依據定義法去求動圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設動圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動圓的圓心的軌跡是以為焦點長軸長為9的橢圓.故選：A11、D【解析】根據折線圖中同比、環比的正負情況，結合各選項的描述判斷正誤.【詳解】A：2020年前5個月PPI在逐月減小，錯誤；B：2020年各月同比為負值，即低于2019年同期水平，錯誤；C：2021年1月—11月各月的PPI環比為正值，即逐月增大，錯誤；D：2021年1月—11月各月的PPI同比為正值，即高于2020年同期水平，正確.故選：D.12、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設雙曲線的由焦點為，且點A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當且僅當三點共線時，取得等號.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】運用累和法，結合等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以當時，有，因此有：，即，當時，適合上式，所以，故答案為：.14、【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】因為底面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為.故答案為：.15、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據拋物線定義可得，應用數形結合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：應用拋物線的定義將轉化為，再由三角函數的定義及點在拋物線上求值.16、4【解析】根據給定條件列式求出數列的首項即可計算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞增區間是(4,+∞)，單調遞減區間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導函數，結合定義域及導數的符號確定單調區間；（2）法一：討論、時的零點情況，即可得，構造，利用導數研究在(0,2a)恒成立，結合單調性證明不等式；法二：設，由零點可得，進而應用分析法將結論轉化為證明，綜合換元法、導數證明結論即可.【小問1詳解】函數的定義域為(0,+∞)，當a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調遞增區間是(4,+∞)；單調遞減區間是(0,4).【小問2詳解】法一：當a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數不可能有兩個不相等的零點，當a>0時，函數在(2a,+∞)上單調遞增，在(0,2a)上單調遞減，因為函數有兩個不相等的零點，則，不妨設，設，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調遞減，即>=0，所以，即，又，故，因為，所以，因為函數在(2a,+∞)上單調遞增，所以，即法二：不妨設，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區間(1,+∞)單調遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點睛】關鍵點點睛：第二問，法一：應用極值點偏移方法構造，將問題轉化為在(0,2a)恒成立，法二：根據零點可得，再由分析法將問題化為證明，構造函數，綜合運用換元法、導數證明結論.18、（1）；（2）【解析】(1)先根據已知求出，再求及.(2)先根據已知得到，再利用分組求和求數列的前項和.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，因為，，所以，解得，所以；==.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點睛】(1)本題主要考查等差數列的通項和前n項和求法，考查分組求和和等比數列的求和公式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.(2)有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列，但是數列是等差數列或等比數列或常見特殊數列，則可以將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的特殊數列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.19、（1）（2）【解析】（1）根據題意和橢圓的定義可知a，c，再根據，即可求出b，由此即可求出橢圓的方程；（2）求出直線方程，將其與橢圓方程聯立，根據弦長公式求出的長度，再根據點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，再根據面積公式即可求出結果.【小問1詳解】由題意可得，，∴，，，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】直線l的方程為，代入橢圓方程得，設，，則，，，∴，又∵點O到直線AB的距離，∴，即△OAB的面積為.20、（1），；（2）.【解析】（1）根據題意，結合等差數列的通項公式與求和公式，即可求解；（2）根據題意，求出，結合等差數列求和公式，即可求解.【小問1詳解】根據題意，易知；.【小問2詳解】根據題意，易知，因為，所以數列是首項為2，公差為的等差數列，故21、（1）；（2）.【