北京曲一線圖書策劃有限公司2023版《5年高考3年模擬》A版第第頁專題一集合與常用邏輯用語1.1集合應用篇知行合一應用集合在實際問題中的應用1.(2021江蘇徐州二模,4)某班45名學生參加“3·12”植樹節活動,每位學生都參加除草、植樹兩項勞動.依據勞動表現,評定為“優秀”“合格”兩個等級,結果如下表:優秀合格合計除草301545植樹202545若在兩個項目中都“合格”的學生最多有10人,則在兩個項目中都“優秀”的人數最多為()A.5B.10C.15D.20答案C用集合A表示除草優秀的學生,集合B表示植樹優秀的學生,全班學生用全集U表示,則?UA表示除草合格的學生,?UB表示植樹合格的學生,作出Venn圖,如圖.設兩個項目都優秀的人數為x,兩個項目都合格的人數為y,由圖可得20-x+x+30-x+y=45,化簡得x=y+5,因為ymax=10,所以xmax=10+5=15.故選C.2.(2021長沙長郡中學模擬,6)為滿足新高考要求,某校實行選課走班教學模式.高一某班共40人,每人選了物理、化學、生物中的一科或兩科,沒有同時選三科的同學.其中選物理的有23人,選化學的有18人,選生物的有25人,則該班選其中兩科的學生人數為()A.24B.25C.26D.27答案C設同時選擇物理、化學的有x人,同時選擇物理、生物的有y人,同時選擇生物、化學的有z人,故由題意可知23-x-y+18-x-z+25-y-z+x+y+z=40,所以x+y+z=26,故該班選其中兩科的學生人數為26.故選C.3.(實際生活)某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數分別是14,10,8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數是20,則這三天都開車上班的職工人數至多是()A.5B.6C.7D.8答案B如圖所示,(a+b+c+x)表示周一開車上班的人數,(b+d+e+x)表示周二開車上班的人數,(c+e+f+x)表示周三開車上班的人數,x表示三天都開車上班的人數,則有a+b∴b+c+e+2x=12,當b=c=e=0時,x取得最大值6,即三天都開車上班的職工人數至多是6.4.(2022屆河南師大附中11月月考,13體育運動)2021年某高中舉辦學生運動會,某班60名學生中有一半的學生沒有參加比賽,參加比賽的學生中,參加田賽的有16人,參加徑賽的有20人,則田賽和徑賽都參加的人數為.

答案6解析設田賽和徑賽都參加的學生人數為x,因為60名學生中有一半的學生沒有參加比賽,所以參加比賽的學生有30名.根據題意知,只參加田賽的人數為16-x,只參加徑賽的人數為20-x,則16-x+20-x+x=30,解得x=6,即田賽和徑賽都參加的人數為6.創新篇守正出奇創新新定義法則類型1.(2021浙江寧波月考,9)設U是一個非空集合,F是U的子集構成的集合,如果F同時滿足:①?∈F,②若A,B∈F,則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F,那么稱F是U的一個環,下列說法錯誤的是()A.若U={1,2,3,4,5,6},則F={?,{1,3,5},{2,4,6},U}是U的一個環B.若U={a,b,c},則存在U的一個環F,F含有8個元素C.若U=Z,則存在U的一個環F,F含有4個元素且{2},{3,5}∈FD.若U=R,則存在U的一個環F,F含有7個元素且[0,3],[2,4]∈F答案D對于A,由題意可得F={?,{1,3,5},{2,4,6},U}滿足環的兩個要求,故F是U的一個環,故A中說法正確;對于B,若U={a,b,c},則U的子集有8個,則U的所有子集構成的集合F滿足環的定義,且有8個元素,故B中說法正確;對于C,如F={?,{2},{3,5},{2,3,5}}滿足環的要求,且含有4個元素,{2},{3,5}∈F,故C中說法正確;對于D,∵[0,3],[2,4]∈F,∴[0,3]∩?U[2,4]=[0,2)∈F,[2,4]∩?U[0,3]=(3,4]∈F,[0,3]∪[2,4]=[0,4]∈F,∴[0,3]∩?U[0,2)=[2,3]∈F,[0,4]∩?U[2,3]=[0,2)∪(3,4]∈F,再加上?,F中至少8個元素,故D中說法錯誤,符合題意.故選D.2.(2021上海楊浦二模,10)非空集合A中所有元素的乘積記為T(A).已知集合M={1,4,5,7,8},從集合M的所有非空子集中任選一個子集A,則T(A)為偶數的概率是(結果用最簡分數表示).

答案24解析因為集合M={1,4,5,7,8},所以集合M的所有非空子集共有25-1=31個,若T(A)為奇數,則A中元素全部為奇數,又{1,5,7}的非空子集共有23-1=7個,所以T(A)為偶數的個數為31-7=24,故T(A)為偶數的概率是24313.(2022屆北京師大附中10月月考,10)已知有限集X,Y,定義集合X-Y={x|x∈X,且x?Y},|X|表示集合X中的元素個數.若X={1,2,3,4},Y={3,4,5},則|(X-Y)∪(Y-X)|=()A.3B.4C.5D.6答案A∵X={1,2,3,4},Y={3,4,5},∴X-Y={1,2},Y-X={5},∴(X-Y)∪(Y-X)={1,2,5},∴|(X-Y)∪(Y-X)|=3,故選A.4.(2022屆北京十三中期中,9)給定集合A,若對于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,則稱集合A為閉集合.下列結論正確的個數是()①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}為閉集合;③若集合A1,A2為閉集合,則A1∪A2為閉集合;④若集合A1,A2為閉集合,且A1?R,A2?R,則存在c∈R,使得c?(A1∪A2).A.0B.1C.2D.3答案C對于①,4-(-2)=6?A,故①錯誤;對于②,設a=3k1(k1∈Z),b=3k2(k2∈Z),則a+b=3k1+3k2=3(k1+k2)∈A(k1,k2∈Z),a-b=3k1-3k2=3(k1-k2)∈A(k1,k2∈Z),故②正確;設A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=5k,k∈Z},則3∈A1,5∈A2,3+5?(A1∪A2),故③錯誤,④正確.故選C.5.(2021北京科大附中10月月考,15)將集合M={1,2,3,…,15}表示為它的5個三元子集(三元集:含三個元素的集合)的并集,并且這些三元子集的元素之和都相等,則每個三元集的元素之和為;請寫出滿足上述條件的集合M的5個三元子集.(只寫出一組)

答案24;{1,8,15},{3,7,14},{5,6,13},{2,10,12},{4,9,11}(答案不唯一)解析因為5個三元子集的并集為集合M={1,2,3,…,15},所以元素總和為15×(1+15)2=120,又因為這5滿足上述條件的集合M的5個三元子集可以是{1,8,15},{3,7,14},{5,6,13},{2,10,12},{4,9,11}.(答案不唯一)6.(2022屆北京入學定位考試,15)記正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點組成的集合為S.若集合M?S,且滿足?Xi,Xj∈M,?Xk,Xl∈M,使得直線XiXj⊥XkXl,則稱M是S的“保垂直”子集.給出下列三個結論:①集合{A,B,C,C1}是S的“保垂直”子集;②集合S的含有6個元素的子集一定是“保垂直”子集;③若M是S的“保垂直”子集,且M中含有5個元素,則M中一定有4個點共面.其中所有正確結論的序號是.

答案②解析對于①,沒有直線與AC1垂直,所以集合{A,B,C,C1}不是S的“保垂直”子集,因而①錯誤.對于②,如圖,當集合M中的6個點是由上底面四個點和下底面兩個點或者由上底面兩個點和下底面四個點構成時,必有四個點共面,根據正方體的性質,得M是S的“保垂直”子集.當集合M中的6個點是由上底面三個點和下底面三個點構成時,若M={A1,B1,C1,A,B,C},則A1,A,B,B1四點共面,符合M是S的“保垂直”子集;若M={A,B,C,A1,D1,C1},取A,B,存在AB⊥A1D1,取B,C,存在BC⊥C1D1,取C,A,存在AC⊥BD1,取A,A1,存在AA1⊥BC,取A,D