「初中數(shù)學(xué)」利用對(duì)稱求線段和最值用軸對(duì)稱思想解決線段最值問題是常用的方法，本質(zhì)是利用三角形三邊關(guān)系或兩點(diǎn)之間線段最短解決問題，即化折為直。常見的類型筆者歸納為五種：即兩定一動(dòng)型，一定兩動(dòng)型，兩定兩動(dòng)型，兩定滑動(dòng)型（架橋），三動(dòng)型等類型一：兩定一動(dòng)型【模型介紹】已知直線l同側(cè)有A,B兩點(diǎn)，在l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。作法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B，與直線l的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，線段A'B的長(zhǎng)度即為最小值。驗(yàn)證：如圖，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AB=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是__________.【分析】這是兩定一動(dòng)模型，需要作一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)本題圖形特征，B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，連接CE，CE即為所求的最小值。【答案】10【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，1），B（5，5），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PB值最小時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)【分析】這是兩定一動(dòng)模型，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，A'B與x軸的交點(diǎn)即為P，P點(diǎn)坐標(biāo)可以用直線解析式或勾股定理求，初三學(xué)生也可用相似。【答案】P（2.5，0）類型二：一定兩動(dòng)型【模型介紹】已知，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)M，在邊OA,OB上分別找點(diǎn)P,Q，使MP+MQ+PQ最小。作法：作M關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)M‘，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M''，連接M'M''，交OA于點(diǎn)P，交OB于點(diǎn)Q，此時(shí)則MP+MP+PQ的值最小，最小值即為線段M'M''的長(zhǎng)。驗(yàn)證:如圖，OA上取一點(diǎn)P',OB上取一點(diǎn)Q'，連接M'P',M''Q',則MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(兩點(diǎn)之間線段最短)【例3】五邊形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小，則△AMN周長(zhǎng)的最小值為____.【分析】這是一定兩動(dòng)模型，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A’，關(guān)于ED的對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A'A''，交BC于M，交ED于N，此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，最小值即為A'A''的長(zhǎng)。解含120°的△AA'A'‘即可求出A'A''。【答案】2√7。倘若追加一問：此時(shí)∠AMN+∠ANM=_____°，你能答對(duì)嗎？【例4】如圖，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，BP=2，∠ABC=60°，分別在邊AB,BC上作出點(diǎn)M,N，使△PMN的周長(zhǎng)最小，求這個(gè)最小值。【分析】這是一定兩動(dòng)模型，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P’，關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''，交AB于M,交BC于N，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小。在△BP'P''中，∠P'BP''=120°，BP'=BP=BP''=2，P'P''的長(zhǎng)度很容易求。【答案】2√3【例5】如圖，在矩形ABCD中，AB=20，AC=10，若在AC,AB上各取一點(diǎn)M,N，求BM+MN的最小值。【分析】這是一定兩動(dòng)型的變異模型，其變化在于：①定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)所在的直線在同一直線上，②求的是兩條線段和的最小值，而不是周長(zhǎng)最小值。要使BM+MN的值最小，應(yīng)設(shè)法把折線BM+MN拉直(即化折為直)，從而想到用軸對(duì)稱性質(zhì)來做。畫出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B1，則B1N的長(zhǎng)就是最小值；又因?yàn)镹也是動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)B1N⊥AB時(shí)這個(gè)值最小，利用勾股定理和三角形面積公式可以求得這個(gè)最小值，初三的同學(xué)也可以用相似或三角函數(shù)求解。【解答】作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B1,再過B1作AB的垂線，垂足為N，與AC的交點(diǎn)為M，此時(shí)BM+MN的值最小。類型三：兩定兩動(dòng)型【模型介紹】在∠MON內(nèi)有兩點(diǎn)P,Q，在邊OM,ON上分別找點(diǎn)R,S，使得PR+RS+SQ+PQ最小。作法：作點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)P',點(diǎn)Q關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接P'Q'，與OM,ON的交點(diǎn)就是R,S，此時(shí)四邊形PRSQ的周長(zhǎng)最小。驗(yàn)證：在OM上取一點(diǎn)R‘，ON上取一點(diǎn)S’，則PR'+R'S'+QS'=P'R'+R'S'+S'Q'>P'Q'(兩點(diǎn)之間，線段最短)【例6】如圖，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON，OD=4，C在OM上的任意一點(diǎn)，B是ON上的任意一點(diǎn)，則折線ABCD的最短長(zhǎng)度為______.【分析】作D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D'，A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A‘，連接D'A'，交OM于C，交ON于B，則AB+BC+CD的值最小，最小值即為D'A'。此時(shí)∠D'OA'=90°，OD'=4,OA'=2，D'A'=2√5類型四：兩定滑動(dòng)型（架橋）【模型介紹】在A和B兩地之間有一條河，現(xiàn)要在這條河上建一座橋CD，橋建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）作法：過點(diǎn)B作BB'垂直于河岸，且使BB'長(zhǎng)等于這條河寬，連接AB'交河的一岸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直于河岸，與另一岸交點(diǎn)D,則CD即為架橋最合適的位置。驗(yàn)證：在河的兩岸任取一點(diǎn)C',D'，連接B'C'，易知四邊形BB'C'D'是平行四邊形，則AC'+C'D'+BD'=AC'+B'C'+BB'>AB'+BB'=AC+CD+DB（三角形的兩邊之和大于第三邊）【例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)中，已知點(diǎn)A（0，2）、B（4，0），點(diǎn)C、D分別在直線x=1與x=2上，且CD∥x軸，則AC+CD+DB的最小值為______．【分析】這是典型的架橋問題，將B沿x軸向左平移一個(gè)單位到B’，連接AB'，交直線x=1于點(diǎn)C，交直線x=2于點(diǎn)D，此時(shí)AC+CD+DB的值最小，最小值為AB'+CD=√13+1.【例8】如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長(zhǎng)線段PQ在a上平行移動(dòng)，問PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ+QB的長(zhǎng)最短？【分析】本題與架橋問題有所區(qū)別，動(dòng)線段不是在平行線間移動(dòng)了，而是在一條直線上移動(dòng)，故處理策略截然不同，需用軸對(duì)稱及平行四邊形的性質(zhì)化折為直。作AA'平行且等于PQ，再作A'關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A''B，與直線a的交點(diǎn)為D，在D的左邊截取線段CD，使CD=PQ,則當(dāng)PQ移動(dòng)到與CD重合的位置時(shí)，AP+PQ+QB的長(zhǎng)最短。類型五：三動(dòng)型【模型介紹】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的點(diǎn)，求DE+EF+DF的最小值。分析：首先假設(shè)F點(diǎn)固定，作關(guān)于AB,BC的對(duì)稱點(diǎn)F',F''（如圖1），則DE+EF+FD=DE+F'D+F''E，此時(shí)最小值就是線段F'F''的長(zhǎng)。于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)'F''什么時(shí)候最短。將Rt△ABC補(bǔ)全為菱形（如圖2），發(fā)現(xiàn)F‘，F(xiàn)''是這個(gè)菱形對(duì)邊上的關(guān)于B中心對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，很容易發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)'F''的最短距離就是菱形對(duì)邊的距離，即菱形的高。此時(shí)（如圖3）F就是斜邊AC上的高的垂足點(diǎn)，D,E與B點(diǎn)重合。驗(yàn)證：如圖所示，在AB,BC上任取點(diǎn)D,E，則FD+DE+EF=F'D+DE+EF''>F'F''(兩點(diǎn)之間線段最短)【例9】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的點(diǎn)，AB=3,BC=4,求DE+EF+DF的最小值。【答案】構(gòu)造菱形，其對(duì)邊間距離為4.8，即DE+EF+DF的最小值為4.8【總結(jié)】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型是較為簡(jiǎn)單的一種類型