第1頁/共1頁2022-2024北京重點校高一（上）期末匯編條件概率與事件的獨立性一、單選題1．（2023北京昌平高一上期末）已知射擊運動員甲擊中靶心的概率為，射擊運動員乙擊中靶心的概率為，且甲?乙兩人是否擊中靶心互不影響.若甲?乙各射擊一次，則至少有一人擊中靶心的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022北京海淀高一上期末）甲?乙?丙?丁四位同學將代表高一年級參加校運會米接力賽，教練組根據訓練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，假設三次交接棒相互獨立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2024北京人大附中朝陽學校高一上期末）有四張大小相同標有數字的卡片，如圖所示．從這四張卡片中隨機抽一張，令事件：“抽到卡片上有數字”，，則；已知命題：事件與相互獨立，則為命題（用“真”“假”填空）4．（2024北京昌平高一上期末）甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為.若三人各投籃一次，則甲、乙、丙三人都投中的概率為；至少有兩人投中的概率為.5．（2022北京西城高一上期末）已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是．6．（2022北京石景山高一上期末）制造一種零件，甲機床的正品率為，乙機床的正品率為．從它們制造的產品中各任抽1件，則兩件都是正品的概率是．三、解答題7．（2024北京房山高一上期末）一個問題，甲正確解答的概率為，乙正確解答的概率為.記事件甲正確解答，事件乙正確解答.假設事件與相互獨立.(1)求恰有一人正確解答問題的概率；(2)某同學解“求該問題被正確解答的概率”的過程如下：解：“該問題被正確解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正確解答了問題”，所以隨機事件“問題被正確解答”可以表示為.所以.請你指出這位同學錯誤的原因，并給出正確解答過程.8．（2024北京石景山高一上期末）已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨立的.(1)求丙投籃命中的概率；(2)甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率.9．（2023北京西城高一上期末）某射手打靶命中9環、10環的概率分別為0.25，0.2．如果他連續打靶兩次，且每次打靶的命中結果互不影響．(1)求該射手兩次共命中20環的概率；(2)求該射手兩次共命中不少于19環的概率．10．（2023北京海淀高一上期末）高考英語考試分為兩部分，一部分為聽說考試，滿分50分，一部分為英語筆試，滿分100分.英語聽說考試共進行兩次，若兩次都參加，則取兩次考試的最高成績作為聽說考試的最終得分，如果第一次考試取得滿分，就不再參加第二次考試.為備考英語聽說考試，李明每周都進行英語聽說模擬考試訓練，下表是他在第一次聽說考試前的20次英語聽說模擬考試成績.假設：①模擬考試和高考難度相當；②高考的兩次聽說考試難度相當；③若李明在第一次考試未取得滿分后能持續保持聽說訓練，到第二次考試時，聽說考試取得滿分的概率可以達到.4650474849505047484748495049505048504950(1)設事件為“李明第一次英語聽說考試取得滿分”，用頻率估計事件的概率；(2)基于題干中假設，估計李明英語高考聽說成績為滿分的概率的最大值.11．（2023北京石景山高一上期末）甲、乙兩人進行羽毛球比賽，采取“三局兩勝”制，即兩人比賽過程中，誰先勝兩局即結束比賽，先勝兩局的是勝方，另一方是敗方.根據以往的數據分析，每局比賽甲勝乙的概率均為，甲、乙比賽沒有平局，且每局比賽是相互獨立的.(1)求比賽恰進行兩局就結束的概率；(2)求這場比賽甲獲勝的概率.12．（2023北京延慶高一上期末）已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．13．（2023北京門頭溝高一上期末）甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，甲、乙都中靶的概率為0.72，求下列事件的概率；(1)乙中靶；(2)恰有一人中靶；(3)至少有一人中靶.14．（2022北京懷柔高一上期末）某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為.甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲料．（Ⅰ）求三位同學都沒有中獎的概率；（Ⅱ）求三位同學中至少有兩位沒有中獎的概率.

參考答案1．A【分析】根據獨立事件的乘法公式和對立事件的概率公式可求出結果.【詳解】設甲擊中靶心為事件，乙擊中靶心為事件，則，，因為與相互獨立，所以與也相互獨立，則甲、乙都不擊中靶心的概率為，所以甲、乙至少有一人擊中靶心的概率為.故選：A2．C【分析】根據獨立事件概率的乘法公式直接計算即可.【詳解】由題意，三次交接棒不失誤的概率分別為，，，則該組合交接棒不失誤的概率為.故選：C.3．/0.75真【分析】根據題意求出；的概率，利用事件相互獨立的定義計算出，驗證是否相等即可判斷.【詳解】事件：“抽到卡片上有數字”，，則；，，命題：事件與相互獨立是真命題．故答案為：；真．4．/15/【分析】根據相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.【詳解】甲、乙、丙三人都投中的概率為.至少有兩人投中的概率為.故答案為：；5．0.38/【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式及互斥事件概率計算公式即求.【詳解】∵甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，∴甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是.故答案為：0.38.6．【分析】由獨立事件的乘法公式求解即可.【詳解】由獨立事件的乘法公式可知，兩件都是正品的概率是.故答案為：7．(1)(2)答案見解析【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正確解答”可表示為，利用互斥事件和獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）指出該同學作答的錯誤之處，分析可知，“問題被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正確解答了問題”，可以表示為，利用互斥事件和獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率，或利用對立事件和獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）解：事件“恰有一人正確解答”可表示為，因為、互斥，與相互獨立，所以.（2）解：該同學錯誤在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.正確的解答過程如下：“問題被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正確解答了問題”，可以表示為，且、、兩兩互斥，與相互獨立，所以.或者.8．(1)(2)(3)【分析】（1）首先設甲，乙，丙投籃命中分別為事件，根據獨立事件概率公式，即可求解；（2）根據（1）的結果，根據公式，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根據概率的運算公式，即可求解.【詳解】（1）設甲投籃命中為事件，乙投籃命中為事件，丙投籃命中為事件，由題意可知，，，，則，,所以丙投籃命中的概率為；（2）甲和乙命中，丙不中為事件，則，所以甲和乙命中，丙不中的概率為；（3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中為事件，則,9．(1)0.04(2)0.14【分析】（1）根據相互獨立事件概率的乘法公式即可求解，（2）分類討論，結合獨立事件的概率公式即可求解.【詳解】（1）兩次共命中20環,意味著兩次都是命中10環，根據相互獨立事件的概率公式可得概率為：（2）第一次9環第二次10環的概率為,第一次10環第二次9環的概率為,兩次都是10環的概率為，所以兩次共命中不少于19環的概率為10．(1)；(2).【分析】（1）根據古典概型公式計算，即可求解；（2）計算出李明第二次英語聽說考試取得滿分的概率，然后根據題意，由獨立事件的乘法公式計算李明英語高考聽說成績為滿分的概率的最大值.【詳解】（1）依題意，李明在20次英語聽說模擬考試中有8次取得滿分，取得滿分的頻率為，所以用頻率估計事件的概率為.（2）設事件為“李明第二次英語聽說考試取得滿分”，事件為“李明高考英語聽說考試取得滿分”.依題意，，所以，所以如果李明在第一次未取得滿分時，堅持訓練參加第二次考試，那么他英語高考聽說考試最終成績為滿分的概率的最大值可以達到.11．(1)(2)【分析】（1）比賽兩局就結束即甲連勝兩局或乙連勝兩局，分別求概率即可；（2）分別比賽兩局結束和比賽三局結束，分別求概率即可.【詳解】（1）比賽恰進行兩局就結束對應的事件A有兩種可能，事件：甲勝乙，事件：乙勝甲.，，.（2）這場比賽甲獲勝對應的事件B有兩種可能，事件：比賽兩局結束且甲獲勝；事件：比賽三局結束且甲獲勝.，，∴.12．(1)0.21；(2)0.44；(3)0.94.【分析】（1）根據概率乘法得三人都命中概率為；（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三種情況討論，結合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正難則反的原則，求出其對立事件即三人全未命中的概率，再根據對立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）設事件：甲投籃命中;事件：乙投籃命中;事件：丙投籃命中.甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率.所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.（2）設事件:恰有兩人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.（3）設事件:至少有一人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.13．(1)0.9(2)0.26(3)0.98【分析】（1）由相互獨立事件的乘法公式即可求解；（2）分兩種情況考慮即可求解；（3）根據對立事件的概率即可得解.【詳解】（1）設甲中靶為事件，乙中靶為事件，則事件與事件相互獨立，且，則，即乙中靶的概率為0.9.（2）設恰有一人中靶為事件，則.即恰有一人中靶的概率為0.26.（3）設至少有一人中靶為事件，則，即至少有一人中靶得概率為0.98.14．（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）因為甲、乙、